人教版八年级数学 下册 18．2．3 正方形 课时练（含答案）

第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形

一、选择题
1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等
2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（ ）.
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
3、下列命题中是假命题的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )

A.3：4 B.5：8 C.9：16 D.1：2
5、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（?? ）
A.?1??????????????????????????????B.??????????????????????????????????
C.????????????????????????????????D.?


2、填空题
6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________?．





　 第6题图 第7题图
7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．
8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为　　，线段O1O2的长为　　．

9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为 .
10、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件　AC=BC　时，四边形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

三、解答题
11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，
求∠AEB的度数。



12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）




13、已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．



14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．


15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由.


16、如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．

（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；判断线段HG、OH、BG的数量关系，并说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．
参考答案：

一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C
二、6、
7、10、
8、
9、2a
10、考点： 正方形的判定．
专题： 计算题；开放型．
分析： 由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
解答： 解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF=AC=CE，
DE=BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
点评： 此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．

三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°
12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，
（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）
13、考点： 正方形的判定．
专题： 证明题．
分析： 由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．
解答： 解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形BEDF为矩形，
∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴矩形BEDF为正方形．
点评： 本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，
∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴?四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，
∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = （或= ）.

16、（1）∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，
∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．
在Rt△CDG和Rt△CBG中，
，
∴△CDG≌△CBG（HL）
（2）解：∵△CDG≌△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．
在Rt△CHO和Rt△CHD中，
∵ ，
∴△CHO≌△CHD（HL），
∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，
∴∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，
∴HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：四边形AEBD可为矩形．
如图，连接BD、DA、AE、EB，

四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．
∵DG=BG，
∴DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，
∴当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．
∵四边形DAEB为矩形，
∴AG=EG=BG=DG．
∵AB=6，
∴AG=BG=3．
设H点的坐标为（x，0），则HO=x
∵OH=DH，BG=DG，
∴HD=x，DG=3．
在Rt△HGA中，
∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，
∴（x+3）2=32+（6﹣x）2 ， 解得x=2．
∴H点的坐标为（2，0）．