第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
第1课时
一、教学目标
1．体会确定二次函数表达式所需要的条件．
2．会用待定系数法确定二次函数的表达式．
二、教学重点及难点
重点：用待定系数法求二次函数的表达式．
难点：根据条件恰当地选择二次函数表达式的形式．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《推铅球》动画，《小明和小颖的思考》动画，.
五、教学过程
【情境导入】
（推铅球）
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，你能求出y与x之间的关系式吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，初步感受本节课要学习的内容．
设计意图：创设问题情境导入本课，激发学生的学习兴趣．
【探究新知】
议一议 二次函数表达式的二种形式分别是什么？怎样解决上面的问题呢？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并回答问题．
答：二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；
二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)；
分析：要求y与x之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．此题设二次函数的顶点式进行求解较为简便，学生较易接受．
根据函数图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此可设该函数的关系式为y=a(x-4)2+3．又∵该函数的图象过点（10，0），∴(10-4)2a+3=0．解得．
∴该函数的表达式为．
设计意图：教师引导学生回顾二次函数的二种表示形式，为解决本节课开始提出的问题作准备，引导学生思考确定二次函数表达式的条件的个数．
想一想 确定二次函数的表达式需要几个条件？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：确定二次函数的关系式y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，通常需要3个条件，当知道顶点坐标（h，k）和知道图象上另一点的坐标两个条件，用顶点式y=a(x-h)2+k可以确定二次函数的关系式．
设计意图：培养学生的归纳总结能力，加深学生对知识的理解．
想一想 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？
小明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化为y=a(x-h)2+k(a≠0)，顶点坐标是（h，k），如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．
小颖：如果已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式．
（小明和小颖的思考）
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论后再展示两种思想，师生共同得出答案．
答：二次函数的表达式不确定，则需要的条件就不能确定．例如，求形如二次函数的表达式为y=ax2(a≠0)的形式，则只需已知图象上一个点的坐标就可以确定其表达式．
教师补充：如果二次函数的各项系数都是未知的，需要知道图象上的三个点的坐标才能确定这个二次函数的表达式．
设计意图：让学生结合具体实例进行思考.展示小明和小颖的思考结果，结合学生的具体思考进行适当的总结.重点是用待定系数法确定函数表达式的思路.
【典例精析】
例 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（-1，-3），求这个二次函数的表达式．
师生活动：教师出示例题，学生尝试完成，最后教师给出规范的解题过程．
解：将点（2，3）和（-1，-3）的坐标分别代入表达式y=ax2+c，得
解这个方程组，得所以，所求二次函数表达式为y=2x2-5．
设计意图：巩固学生对已知两个条件求函数表达式题型的认识与掌握．
【课堂练习】
1．二次函数y=ax2+x+1的图象必过点（ ）．
A．（0，a） B．（-1，-a）
C．（-1，a） D．（0，-a）
2．如果抛物线的对称轴是直线，则m的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为0.5米，在如图所示的坐标系中，这支喷水管喷出的水形成的抛物线对应的函数关系式为（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是________．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c的形状和开口方向与抛物线y=2x2的相同，并且该抛物线经过点（1，1）和点（-1，2），则a=________，b=________，c=_________．
6．已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式．
7．已知二次函数图象的顶点坐标是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式．
8．已知抛物线的顶点（2，k）在直线y=x+1上，且点（1，1）在该抛物线上，求该抛物线的解析式．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．C．2．B．3．C．
4．-1．5．2；；．
6．解：设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以此函数图象经过点（0，1），且经过点（2，5）和（-2，13）．
由题意，得解得所以该二次函数的表达式为y=2x2-2x+1．
7．这个二次函数的表达式为y=-x2-2x．
8．解：把点（2，k）代入y=x+1，得k=3．于是可设该抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3．
把点（1，1）代入y=a(x-2)2+3，得a+3=1．解得a=-2．
所以该抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3，即y=-2x2+8x-5．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．知道二次函数图象的顶点坐标和图象上异于顶点的另一点的坐标，可以设该二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，列出关于a的方程，从而确定该二次函数的表达式．
2．如果已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.3 确定二次函数的表达式（1）
1．待定系数法
(共16张PPT)
第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
第 1 课时
学习目标
1．体会确定二次函数表达式所需要的条件．
2．会用待定系数法确定二次函数的表达式．
情境导入
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，你能求出y与x之间的关系式吗？
探究新知
议一议 二次函数表达式的二种形式分别是什么？怎样解决上面的问题呢？
答：二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)；
二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)；
探究新知
解：根据函数图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此可设该函数的关系式为y=a(x-4)2+3．
又∵该函数的图象过点（10，0），
∴(10-4)2a+3=0．解得 ．
∴该函数的表达式为 ．
探究新知
想一想 确定二次函数的表达式需要几个条件？
答：确定二次函数的关系式y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，通常需要3个条件，当知道顶点坐标（h，k）和知道图象上另一点的坐标两个条件，用顶点式y=a(x-h)2+k可以确定二次函数的关系式．
探究新知
想一想 在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？
答：二次函数的表达式不确定，则需要的条件就不能确定．例如，求形如二次函数的表达式为y=ax2(a≠0)的形式，则只需已知图象上一个点的坐标就可以确定其表达式．
典例精析
例 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（-1，-3），求这个二次函数的表达式．
解：将点（2，3）和（-1，-3）的坐标分别代入表达式y=ax2+c，得 解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为y=2x2-5．
课堂练习
1．二次函数y=ax2+x+1的图象必过点（ ）．
A．（0，a） B．（-1，-a）
C．（-1，a） D．（0，-a）
2．如果抛物线 的对称轴是直线 ，则m的值为（ ）．
A． B． C． D．
C
B
课堂练习
3．某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管最大喷水高度为3米，此时喷水水平距离为0.5米，在如图所示的坐标系中，这支喷水管喷出的水形成的抛物线对应的函数关系式为（ ）．
A． B．
C． D．
C
课堂练习
4．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是________．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c的形状和开口方向与抛物线y=2x2
的相同，并且该抛物线经过点（1，1）和点（-1，2），则a=________，b=________，c=_________．
-1
2
课堂练习
6．已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以此函数图象经过点（0，1），且经过点（2，5）和（-2，13）．
由题意，得 解得
所以该二次函数的表达式为y=2x2-2x+1．
课堂练习
7．已知二次函数图象的顶点坐标是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式．
这个二次函数的表达式为y=-x2-2x．
课堂练习
8．已知抛物线的顶点（2，k）在直线y=x+1上，且点（1，1）在该抛物线上，求该抛物线的解析式．
解：把点（2，k）代入y=x+1，得k=3．于是可设该抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3．
把点（1，1）代入y=a(x-2)2+3，得a+3=1．解得a=-2．
所以该抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3，即y=-2x2+8x-5．
课堂小结
1．知道二次函数图象的顶点坐标和图象上异于顶点的另一点的坐标，可以设该二次函数的表达式为
y=a(x-h)2+k(a≠0)，列出关于a的方程，从而确定该二次函数的表达式．
2．如果已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式．
再见
