第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时
一、教学目标
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．理解二次函数的图象与横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h（h是实数）交点的横坐标．
二、教学重点及难点
重点：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程．
难点：理解一元二次方程的根在二次函数中的意义．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《抛小球》动画，，.
五、教学过程
【情境导入】
【情景演示】小球同时落地
演示自由落体运动时，两个小球同时落地的过程。
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么
（1）h与t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，引导学生回顾求二次函数表达式的方法，学生完成本题．
解：（1）∵该二次函数的图象经过点（0，0）和点（8，0），∴将这两点的坐标代入二次函数的解析式h=-5t2+v0t+h0，得h0=0，v0=40．所以该二次函数的关系式为h=-5t2+40t．
（2）通过观察图象或解方程-5t2+40t=0可得小球经过8 s后落地．
设计意图：让学生回顾确定二次函数表达式的方法并使学生初步感受二次函数与一元二次方程之间的联系．
【探究新知】
议一议 二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如下图所示．
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根？用判别式验证一下．一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗？
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
师生活动：教师出示问题，学生观察、思考、讨论、交流，教师找学生代表回答，最后教师总结．
解：（1）二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点，二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点，二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点．
（2）解方程x2+2x=0，得x1=0，x2=-2．∴此方程有两个不相等的实数根．
解方程x2-2x+1=0，得x1=x2=1．∴此方程有两个相等的实数根．
对于x2-2x+2=0，∵a=1，b=-2，c=2，b2-4ac=(-2)2-4×1×2=-4＜0，
∴此方程没有实数根．
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点；若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点；若一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，反之也成立．
归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
设计意图：培养学生解决问题的能力和归纳总结能力．
【典例精析】
例 一个足球被从地面向上踢出，他距地面的高度h(m)可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．
（1）画出函数h=-4.9t2+19.6t的图象；
（2）当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是多少？
（3）方程-4.9t2+19.6t=0，-4.9t2+19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？
师生活动：教师出示例题，学生尝试完成，最后教师给出规范的解题过程．
解：（1）①列表：
t 0 1 2 3 4
h 0 14.7 19.6 14.7 0
②描点、连线，图象如下图所示．
（2）当t=1时，h=-4.9×1+19.6×1=14.7；当t=2时，h=-4.9×4+19.6×2=19.6．
∴当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是14.7 m，19.6 m．
（3）方程-4.9t2+19.6t=0的根表示足球离开地面及落地的时间；-4.9t2+19.6t=14.7的根表示足球高度是14.7 m时的时间．图象上表示如上图所示．
设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
【课堂练习】
1．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
A．a＞0 B．ax2+bx+c=0的两根的和为负
C．b2-4ac＞0 D．ax2+bx+c=0的两根的和为正
3．一元二次方程x2-6x+4=1的根与二次函数y= x2-6x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．
4．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象回答：
（1）方程ax2+bx+c=0的解是什么？
（2）x取何值时，y＞0？
（3）x取何值时，y＜0？
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．A．2．D．
3．一元二次方程x2-6x+4=1的根就是二次函数y= x2-6x+4的图象与直线y=1交点的横坐标；图象表示略．
4．解：（1）由图可知，抛物线与x轴的公共点的横坐标是-1，3．
所以方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3．
（2）当-1＜x＜3时，y＞0．
（3）当x＜-1，或x＞3时，y＜0．
六、课堂小结
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.5 二次函数与一元二次方程（1）
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点．
2．一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：
有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．(共17张PPT)
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第 1 课时
学习目标
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．理解二次函数的图象与横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y=h（h是实数）交点的横坐标．
情境导入
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么
【情景演示】小球同时落地
演示自由落体运动时，两个小球同时落地的过程。
情境导入
（1）h与t的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
（2）通过观察图象或解方程-5t2+40t=0可得小球经过8s后落地．
解：（1）∵该二次函数的图象经过点（0，0）和点（8，0），∴将这两点的坐标代入二次函数的解析式h=-5t2+v0t+h0，得h0=0，v0=40
所以该二次函数的关系式为h=-5t2+40t．
探究新知
议一议 二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如下图所示．
（1）每个图象与x轴有几个交点？
解：
二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点，
二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点，
二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点
探究新知
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根？用判别式验证一下．一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗？
解：（2）解方程x2+2x=0，得x1=0，x2=-2．
∴此方程有两个不相等的实数根．
解方程x2-2x+1=0，得x1=x2=1．
∴此方程有两个相等的实数根．
对于x2-2x+2=0，∵a=1，b=-2，c=2，
b2-4ac=(-2)2-4×1×2=-4＜0， ∴此方程没有实数根．
探究新知
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
解：（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点；若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点；若一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，反之也成立．
探究新知
归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
典例精析
例 一个足球被从地面向上踢出，他距地面的高度h(m)可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．
（1）画出函数h=-4.9t2+19.6t的图象；
（2）当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是多少？
（3）方程-4.9t2+19.6t=0，-4.9t2+19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？
典例精析
解：（1）①列表：
t 0 1 2 3 4
h 0 14.7 19.6 14.7 0
②描点、连线，图象如图所示．
典例精析
（2）当t=1时，h=-4.9×1+19.6×1=14.7；当t=2时，h=-4.9×4+19.6×2=19.6．
∴当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是14.7 m，19.6 m．
（3）方程-4.9t2+19.6t=0的根表示足球离开地面及落地的时间；-4.9t2+19.6t=14.7的根表示足球高度是14.7 m时的时间．图象上表示如图所示．
课堂练习
1．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
A．a＞0 B．ax2+bx+c=0的两根的和为负
C．b2-4ac＞0 D．ax2+bx+c=0的两根的和为正
A
D
课堂练习
3．一元二次方程x2-6x+4=1的根与二次函数y= x2-6x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．
解：一元二次方程x2-6x+4=1的根就是二次函数y= x2-6x+4的图象与直线y=1交点的横坐标；图象表示略．
课堂练习
4．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象回答：
（1）方程ax2+bx+c=0的解是什么？
（2）x取何值时，y＞0？
（3）x取何值时，y＜0？
（1）由图可知，抛物线与x轴的公共点的横坐标是-1，3．
所以方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3．
（2）当-1＜x＜3时，y＞0．
（3）当x＜-1，或x＞3时，y＜0．
课堂小结
课堂小结
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根．
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
再见
