函数最值的求法专题讲座(共19张PPT)

(共19张PPT)
高中数学教师欧阳文丰
常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。
求函数最值的常用方法
例 1 求 y = 2x2 - 4x + 5 (x ? R) 的值域 .
解：y = 2( x –1 )2 + 3，
由于 2( x –1 )2 ? 0 ，
? y ? 3 .
? 函数的值域为 [ 3，+ ∞）.
注：对于二次函数，都可以用这种配方的方法
求函数的值域 .
例2 求函数
如图，
∴y∈[-3/4,3/2].
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值或值域的一般方法是：
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
闭区间上二次函数的最值解题方法
例3 求函数
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得：
(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0.
当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故y≠1/2.
当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2,
综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2 ）.
解法2：（函数的单调性法）
是增函数，u取最小值时，y也取最小值。
∴原函数的值域为y∈〔3/10,1／2）
注：对于分式函数，如果它的分子和分母都
是 x 的一次式，一般用反函数法或分离常数法求值域比较方便 .
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。
变式练习：求下列函数的值域
（1） y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.
（2）y=x-2+√4-x2.
分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。
解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数变形为：
解法2：(判别式法).
例7 求下列函数的值域：
分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2；故值域是y ∈〔1/2,+∞).
(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故y=log1/2u的定义域为（0，2]上的减函数，即原函数值域的为y ∈〔-1,+∞)。
例8 求函数y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。
分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。
A1(1,-3)
y
P
将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。
如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明
所以原函数值域的为y∈[√41,+∞).