人教版八年级下册17.1.2勾股定理应用—利用勾股定理解决平面几何问题 课件(共35张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册17.1.2勾股定理应用—利用勾股定理解决平面几何问题 课件(共35张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 947.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-02 16:49:27 | ||
图片预览
文档简介
(共35张PPT)
17.1.2勾股定理应用—利用勾股定理解决平面几何问题
南昌三中 成效
一复习提问
勾股定理的内容是什么?
A
C
B
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
在△ABC中，
a2+b2=c2
两点之间,线段最短．
二、新课导入
从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．
B
A
例1在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
问题情境
利用勾股定理解决平面几何问题1——最短路径问题
B
A
以小组为单位,研究蚂蚁爬行的最短路线．
合作探究
蚂蚁A→B的路线
B
A
A’
d
A
B
A’
A
B
B
A
O
A
B
A’
B
A
A’
r
O
h
怎样计算AB？
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得:
侧面展开图
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr) ．
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则:
B
A
A’
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
A’
B
用所学数学知识去解决实际问题的关键：
根据实际问题建立数学模型；
具体步骤：
1. 审题——分析实际问题；
2. 建模——建立相应的数学模型；
3. 求解——运用勾股定理计算；
4. 检验——是否符合实际问题的真实性．
方法提炼
练习1.如图:在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋友吃东西时留下一点食物在G处，恰好有两只蚂蚁路过A处（A在G的对面），它们的触角同时准确的捕捉到了这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，于是它们迫不急待的想从A处爬向G处。
A
B
C
D
E
F
G
H
3
2
4
蛋糕
求蚂蚁爬行的最短路径的长度？
下右
正右
正上
分组计算
A
B
F
E
G
H
3
4
2
正面
上面
解：当蚂蚁经过正面和上面时，如图，最短路径为
回5
正面
右侧面
A
B
E
F
C
G
3
2
4
解：当蚂蚁经过正面和右侧面时，如图，最短路径为
下底面
右侧面
A
B
D
C
F
G
3
4
2
解：当蚂蚁经过下底面和右侧面时，如图，最短路径为
回5
最短路径的长度为
利用勾股定理解决平面几何问题2——图形面积问题
（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示．那么S1，S2，S3之间有什么关系；
（2）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；
（3）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；
（4）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？
探究
探究
如图，以Rt△
的三边为边向外作正方形，其面积分别为 、 、
，请同学们想一想
、 、 之间有何关系呢？
A
B
C
a
b
c
+ =a2+b2
=c2
∵a2+b2=c2
+
=
A
B
C
A
B
C
A
B
C
a
b
c
探究S1、S2、S3之间的关系
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为___ .
S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB
24
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.
=625
225
400
A
225
81
B
=144
快速抢答
2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米
64
例3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求: (1)CF (2)EC.
A
B
C
D
E
F
8
10
10
6
X
8-X
4
8-X
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
在RtΔABF中
BF=
∴FC =4cm
设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm
∵EF2=EC2+FC2
∴ （8-x）2 = x2+42
解得x=3
∴CF =4cm，EC=3cm
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
小试牛刀
练习1、（泰安市中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）
解：设CE=x，由题意可得
AE=CE=x
BC=OC=OA=3
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
例题4、如图在三角形ABC中，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，M是BC边上的动点（点M不与点B、C重合），MD垂直AB，ME垂直AC，垂足分别是D、E。线段DE的最小值是_______cm
利用勾股定理解决平面几何问题4——直角三角形问题
解题技巧：巧用勾股定理、面积相等法
利用勾股定理解决平面几何问题4——直角三角形问题
温馨提示：有题无图，莫犯糊涂
三、当堂检测：小试牛刀
练习1
练习2
练习3
．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点．则：
AB=2×6=12(km)
AC=1×5=5(km)
在Rt△ABC中
∴BC=13(km) ．
即甲乙两人相距13 km.
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
解:
答：沿AB走最近，最近距离为25 ．
3．有一个高为1.5 m，半径是1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
你能画出示意图吗?
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
最短时:
∴最长是2.5+0.5=3(m) ．
答:这根铁棒的长应在2～3m之间．
∴最短是1.5+0.5=2(m) ．
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
B
食物
A
四、举一反三
B
A
B
两条线路,看明白了吗?
举一反三
1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹 !
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
举一反三
设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
举一反三
解：
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
2.右图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?
1．课本习题17.1第1，2，3题．
五、课后作业
3. 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？
A
B
E
F
D
C
A
谢谢
17.1.2勾股定理应用—利用勾股定理解决平面几何问题
南昌三中 成效
一复习提问
勾股定理的内容是什么?
A
C
B
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
在△ABC中，
a2+b2=c2
两点之间,线段最短．
二、新课导入
从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．
B
A
例1在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
问题情境
利用勾股定理解决平面几何问题1——最短路径问题
B
A
以小组为单位,研究蚂蚁爬行的最短路线．
合作探究
蚂蚁A→B的路线
B
A
A’
d
A
B
A’
A
B
B
A
O
A
B
A’
B
A
A’
r
O
h
怎样计算AB？
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得:
侧面展开图
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr) ．
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则:
B
A
A’
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
A’
B
用所学数学知识去解决实际问题的关键：
根据实际问题建立数学模型；
具体步骤：
1. 审题——分析实际问题；
2. 建模——建立相应的数学模型；
3. 求解——运用勾股定理计算；
4. 检验——是否符合实际问题的真实性．
方法提炼
练习1.如图:在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋友吃东西时留下一点食物在G处，恰好有两只蚂蚁路过A处（A在G的对面），它们的触角同时准确的捕捉到了这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，于是它们迫不急待的想从A处爬向G处。
A
B
C
D
E
F
G
H
3
2
4
蛋糕
求蚂蚁爬行的最短路径的长度？
下右
正右
正上
分组计算
A
B
F
E
G
H
3
4
2
正面
上面
解：当蚂蚁经过正面和上面时，如图，最短路径为
回5
正面
右侧面
A
B
E
F
C
G
3
2
4
解：当蚂蚁经过正面和右侧面时，如图，最短路径为
下底面
右侧面
A
B
D
C
F
G
3
4
2
解：当蚂蚁经过下底面和右侧面时，如图，最短路径为
回5
最短路径的长度为
利用勾股定理解决平面几何问题2——图形面积问题
（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示．那么S1，S2，S3之间有什么关系；
（2）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；
（3）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；
（4）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？
探究
探究
如图，以Rt△
的三边为边向外作正方形，其面积分别为 、 、
，请同学们想一想
、 、 之间有何关系呢？
A
B
C
a
b
c
+ =a2+b2
=c2
∵a2+b2=c2
+
=
A
B
C
A
B
C
A
B
C
a
b
c
探究S1、S2、S3之间的关系
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为___ .
S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB
24
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.
=625
225
400
A
225
81
B
=144
快速抢答
2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米
64
例3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求: (1)CF (2)EC.
A
B
C
D
E
F
8
10
10
6
X
8-X
4
8-X
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
在RtΔABF中
BF=
∴FC =4cm
设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm
∵EF2=EC2+FC2
∴ （8-x）2 = x2+42
解得x=3
∴CF =4cm，EC=3cm
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
小试牛刀
练习1、（泰安市中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）
解：设CE=x，由题意可得
AE=CE=x
BC=OC=OA=3
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
例题4、如图在三角形ABC中，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，M是BC边上的动点（点M不与点B、C重合），MD垂直AB，ME垂直AC，垂足分别是D、E。线段DE的最小值是_______cm
利用勾股定理解决平面几何问题4——直角三角形问题
解题技巧：巧用勾股定理、面积相等法
利用勾股定理解决平面几何问题4——直角三角形问题
温馨提示：有题无图，莫犯糊涂
三、当堂检测：小试牛刀
练习1
练习2
练习3
．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点．则：
AB=2×6=12(km)
AC=1×5=5(km)
在Rt△ABC中
∴BC=13(km) ．
即甲乙两人相距13 km.
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
解:
答：沿AB走最近，最近距离为25 ．
3．有一个高为1.5 m，半径是1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
你能画出示意图吗?
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
最短时:
∴最长是2.5+0.5=3(m) ．
答:这根铁棒的长应在2～3m之间．
∴最短是1.5+0.5=2(m) ．
小试牛刀
练习1
练习2
练习3
1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
B
食物
A
四、举一反三
B
A
B
两条线路,看明白了吗?
举一反三
1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？
中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹 !
2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
举一反三
设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
举一反三
解：
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
2.右图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?
1．课本习题17.1第1，2，3题．
五、课后作业
3. 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为多少？
A
B
E
F
D
C
A
谢谢