与圆相关的计算
重难点 弧长、扇形面积的计算
(中考枣庄改编)如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12.
(1)⊙O内接正三角形的边长为6；
(2)以⊙O的下半圆制作一个无底的圆锥，则圆锥的高为3；
(3)若∠C＝60°.
①求的长；
②求阴影部分的面积．
【自主解答】 解：①连接OE，OF.
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD.
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，即∠AOE＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵OA＝OF，
∴∠A＝∠OFA＝60°.
∴∠AOF＝60°.
∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝30°.
∴的长为＝π.
②根据①可知，OE是?ABCD的高，S?ABCD＝12×6＝72，
∴S△AOF＝×62＝9，S扇形BOF＝＝12π.
∴S阴影＝S?ABCD－S△AOF－S扇形BOF＝72－9－12π.
(1)已知圆的直径的情况下，要求圆内接正三角形的边长，只需在含120°的等腰三角形中解出GH即可．含120°的等腰三角形三边之比为1∶1∶；
(2)考查圆锥的高线的计算，h＝；(其中R表示圆锥的母线长，即半圆的半径，r表示圆锥底面圆的半径)
(3)①求弧长的关键是求圆心角的度数，在求圆心角的度数时，涉及切线的性质，平行四边形的性质等等知识点；
②求阴影部分的面积关键是要转化成规则图形的面积，然后再进行计算．
求阴影部分面积的常用方法：
(1)公式法：如果所求图形的面积是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；
(2)和差法：所求图形的面积是不规则的图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；
(3)等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．
【变式训练1】 (中考沈阳)如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2，则的长是(A)
A．π B.π C．2π D.π
【变式训练2】 如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是(B)
A.－ B.－ C.＋ D.－
【变式训练3】 (中考荆门)如图，在?ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为π－．
考点1 与正多边形有关的计算
1．正八边形的中心角是(A)
A．45° B．135° C．360° D．1080°
2．(中考德阳)已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是(B)
A．2 B．1 C. D.
考点2 弧长的计算
3．(中考黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为(D)
A.π B.π C．2π D.π
4．(中考宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB边于点D，则的长为(C)
A.π B.π C.π D.π
5．(中考白银)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为πa．
考点3 扇形面积的计算
6．(中考德州)如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形．则此扇形的面积为(A)
A. m2 B.π m2 C．π m2 D．2π m2
7．(中考山西)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是(A)
A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8
8．(中考济宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是(A)
A. B. C.－ D.
9．(中考云南)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：连接OC.
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点．
∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD.
∴∠BCD＋∠OCB＝90°.
∴∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠BOC＝60°，OD＝2OC.
∴∠AOC＝120°，∠A＝30°.
设⊙O的半径为x，则OB＝OC＝x.
∴x＋2＝2x，解得x＝2.
过点O作OE⊥AC，垂足为E.
在Rt△OEA中，OE＝OA＝1，AE＝＝＝.
∴AC＝2.
∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC
＝－×2×1
＝π－.
考点4 圆锥的有关计算
10．(中考衢州)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则sin∠ABC的值为(C)
A. B. C. D.
11．(中考通辽)如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是(C)
A．18π B．24π C．27π D．42π
12．(中考仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)
A．120° B．180° C．240° D．300°
13．(中考宿迁)已知圆锥的底面圆半径为3 cm，高为4 cm，则圆锥的侧面积是15πcm2.
14．(中考郴州)如图，圆锥的母线长为10 cm，高为8 cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为12πcm.(结果用π表示)
15．用半径为10 cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是5cm.
16．(中考株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．
17．(中考盐城)如图，左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分．右图中，图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°.则右图的周长为__cm．(结果保留π)
18．(中考烟台)如图，点O为正六边形ABCDEF的中点，点M为AF中点．以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1∶r2＝∶2．
19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？(A)
A．120 B．240 C．360 D．480
20．(中考宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1.若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S＝2．(结果保留根号)
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与圆相关的计算
重难点 弧长、扇形面积的计算
(中考枣庄改编)如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12.
(1)⊙O内接正三角形的边长为 ；
(2)以⊙O的下半圆制作一个无底的圆锥，则圆锥的高为 ；
(3)若∠C＝60°.
①求的长；
②求阴影部分的面积．
【变式训练1】 (中考沈阳)如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝2，则的长是( )
A．π B.π C．2π D.π
【变式训练2】 如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是( )
A.－ B.－ C.＋ D.－
【变式训练3】 (中考荆门)如图，在?ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
考点1 与正多边形有关的计算
1．正八边形的中心角是( )
A．45° B．135° C．360° D．1080°
2．(中考德阳)已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是( )
A．2 B．1 C. D.
考点2 弧长的计算
3．(中考黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为( )
A.π B.π C．2π D.π
4．(中考宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB边于点D，则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
5．(中考白银)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 ．
考点3 扇形面积的计算
6．(中考德州)如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形．则此扇形的面积为( )
A. m2 B.π m2 C．π m2 D．2π m2
7．(中考山西)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是( )
A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－8
8．(中考济宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C.－ D.
9．(中考云南)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．
考点4 圆锥的有关计算
10．(中考衢州)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则sin∠ABC的值为( )
A. B. C. D.
11．(中考通辽)如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是( )
A．18π B．24π C．27π D．42π
12．(中考仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )
A．120° B．180° C．240° D．300°
13．(中考宿迁)已知圆锥的底面圆半径为3 cm，高为4 cm，则圆锥的侧面积是 cm2.
14．(中考郴州)如图，圆锥的母线长为10 cm，高为8 cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为 cm.(结果用π表示)
15．用半径为10 cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是 cm.
16．(中考株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝ ．
17．(中考盐城)如图，左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分．右图中，图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°.则右图的周长为 cm．(结果保留π)
18．(中考烟台)如图，点O为正六边形ABCDEF的中点，点M为AF中点．以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1∶r2＝ ．
19．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )
A．120 B．240 C．360 D．480
20．(中考宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1.若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S＝ ．(结果保留根号)
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