平行四边形与多边形
重难点1 与平行四边形性质有关的计算
在?ABCD中，AD＝10，AB＝7.
(1)如图1，∠BCD的平分线CE交AD于点E，则AE＝3；
(2)在(1)的条件下，若∠CED＝65°，则∠A＝130°；
图1 图2 图3
(3)在(1)的条件下，延长CE交BA的延长线于点F，如图2所示，则AE＋AF的值等于6；
(4)如图3，若BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，则EF的长为4．
【拓展问题】 问题(4)中，CE与BF的位置关系是垂直．
利用平行四边形的性质进行相关计算，一般运用平行四边形性质转化角度或线段之间的等量关系：
(1)对边平行可得相等的角，进而得到相似三角形；
(2)对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；
(3)当有角平分线的条件时，可利用“平行＋角平分线?等腰三角形”的结论得到等角、等边．如：例1，图1中△CED，图2中△BCF，△CED均是等腰三角形．
(4)①当有一条线段过对角线的交点和一边的中点时，可利用三角形中位线的性质进行计算．如：例2中OE是△BCD或△ACD的中位线．
②当有一条线段过对角线的交点且与其中的一条对角线垂直时，得到线段的垂直平分线、等腰三角形，进而可以用线段垂直平分线、等腰三角形的性质进行计算．如：例2中拓展问题2，OF是线段AC的垂直平分线，△AFC是等腰三角形．
平行四边形中常涉及整体思想，如?ABCD，已知AB＋BC的长，则C?ABCD＝2(AB＋BC)．
【变式训练1】 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上的一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，且AD＝5 cm，AP＝8 cm，则∠APB＝90°，DC＝10cm，△APB的周长是24cm.
【变式训练2】 在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝8或3．
如图1，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，且DE＋EO＝4，则?ABCD的周长为(B)
A．20 B. 16 C. 12 D．8
图1 图2
【拓展问题1】 如图1，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为40°．
【拓展问题2】 如图2，OF⊥AC，交AD于点F，连接CF.若△CDF的周长是8，则?ABCD的周长是16．
重难点2 平行四边形的性质与判定的综合
如图1，点E，F是?ABCD对角线AC上的两点，AE＝CF.
图1 图2 图3
(1)①求证：DF＝BE；
②如图2，连接DE，BF，求证：四边形DFBE是平行四边形．(请至少用两种判定方法证明)
(2)如图3，若BE⊥AC，DF⊥AC，延长BE，DF分别交CD，AB于点N，M.
①求证：四边形DMBN是平行四边形；
②已知CE＝4，FM＝3，求AM的长．
【自主解答】 解：(1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC.
∴∠DAF＝∠BCE.
∵AE＝CF，
∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.
∴△ADF≌△CBE.
∴DF＝BE.
②解法1：已证△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB.
∴∠DFC＝∠BEA.
∴DF∥BE.
又∵DF＝BE，
∴四边形DFBE是平行四边形．
解法2：同(1)①中的方法可证△CDE≌△ABF.
∴DE＝BF.
又∵DF＝BE，
∴四边形DFBE是平行四边形．
解法3：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴DO＝OB，AO＝OC.
又∵AE＝CF，
∴AE－AO＝CF－OC，即OE＝OF.
∴四边形DFBE是平行四边形．
(2)①证明∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.
∴四边形DMBN是平行四边形．
②∵四边形DMBN是平行四边形，
∴DN＝BM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB.
∴CN＝AM.
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠CEN＝∠AFM＝90°.
∴△AFM≌△CEN.
∴AF＝CE＝4.
在Rt△AFM中，AM＝＝5.
判定平行四边形的基本思路：
(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；
(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；
(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；
(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．
【变式训练3】 (中考永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
解：(1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°.
在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°.
∴BC∥AD.
在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE＝AE＝BE.
∴∠EAC＝∠ECA＝30°.
∴∠BEC＝∠EAC＋∠ECA＝60°.
又∵∠ABD＝60°，
∴CF∥BD.
∴四边形BCFD是平行四边形．
(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，
∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3.
∴S?BCFD＝3×3＝9.
考点1 多边形
1．(中考福建)一个n边形的内角和为360°，则n等于(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(中考菏泽)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是8．
3.(中考宿迁)一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是8.
4．(中考山西)图1是古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°．
图1 图2
5．(中考陕西)如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．
6.(中考聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是360°或540°．
考点2 平行四边形的性质
7．(中考眉山)如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)
A．14 B．13 C．12 D．10
8．(中考台州)如图，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3.以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是(B)
A. B．1 C. D.
9．(中考兰州)如图，将?ABCD的对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为(B)
A．102° B．112° C．122° D．92°
10．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．
11．(中考临沂)如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝4.
12.(中考大连)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，
∴OE＝OF.
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO(SAS)．
∴BE＝DF.
13．(中考曲靖)如图，在?ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM.
(1)求证：△AFN≌△CEM；
(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB.
∴∠AFN＝∠CEM.
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM(SAS)．
(2)∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF＝∠ECM.
∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，
∴107°＝72°＋∠ECM.
∴∠ECM＝35°.
∴∠NAF＝35°.
考点3 平行四边形的判定
14．(中考呼和浩特)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②DC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D.四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(C)
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
15．(中考岳阳)如图，在?ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
又∵AE＝CF，
∴BE＝DF.
∴BE∥DF且BE＝DF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
16．(中考济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，则∠P的度数是(C)
A．50° B．55° C．60° D．65°
17．(中考通辽)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE.下列结论：①S?ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE.其中正确的个数有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．(中考哈尔滨)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝，则该线段BC的长为4．
19．(中考兰州)如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF.
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．
解：(1)证明：∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠FAC.又∵E是AC的中点，∴AE＝EC.
在△CDE和△AFE中，
∴△CDE≌△AFE(ASA)．
∴CD＝AF.
又∵CD∥AB，
∴四边形AFCD是平行四边形．
(2)∵AB∥CD，
∴＝，即＝.解得DC＝.
∴AB＝AF＋BF＝CD＋BF＝＋＝6.
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平行四边形与多边形
重难点1 与平行四边形性质有关的计算
在?ABCD中，AD＝10，AB＝7.
(1)如图1，∠BCD的平分线CE交AD于点E，则AE＝ ；
(2)在(1)的条件下，若∠CED＝65°，则∠A＝ ；
图1 图2 图3
(3)在(1)的条件下，延长CE交BA的延长线于点F，如图2所示，则AE＋AF的值等于6；
(4)如图3，若BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，则EF的长为 ．
【拓展问题】 问题(4)中，CE与BF的位置关系是 ．
【变式训练1】 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上的一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，且AD＝5 cm，AP＝8 cm，则∠APB＝ ，DC＝ cm，△APB的周长是 cm.
【变式训练2】 在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝ ．
如图1，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，且DE＋EO＝4，则?ABCD的周长为( )
A．20 B. 16 C. 12 D．8
图1 图2
【拓展问题1】 如图1，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为 ．
【拓展问题2】 如图2，OF⊥AC，交AD于点F，连接CF.若△CDF的周长是8，则?ABCD的周长是 ．
重难点2 平行四边形的性质与判定的综合
如图1，点E，F是?ABCD对角线AC上的两点，AE＝CF.
图1 图2 图3
(1)①求证：DF＝BE；
②如图2，连接DE，BF，求证：四边形DFBE是平行四边形．(请至少用两种判定方法证明)
(2)如图3，若BE⊥AC，DF⊥AC，延长BE，DF分别交CD，AB于点N，M.
①求证：四边形DMBN是平行四边形；
②已知CE＝4，FM＝3，求AM的长．
【变式训练3】 (中考永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
考点1 多边形
1．(中考福建)一个n边形的内角和为360°，则n等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(中考菏泽)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是 ．
3.(中考宿迁)一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 .
4．(中考山西)图1是古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝ ．
图1 图2
5．(中考陕西)如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为 ．
6.(中考聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ．
考点2 平行四边形的性质
7．(中考眉山)如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
8．(中考台州)如图，在?ABCD中，AB＝2，BC＝3.以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是( )
A. B．1 C. D.
9．(中考兰州)如图，将?ABCD的对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )
A．102° B．112° C．122° D．92°
10．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
11．(中考临沂)如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝ .
12.(中考大连)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.
13．(中考曲靖)如图，在?ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM.
(1)求证：△AFN≌△CEM；
(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
考点3 平行四边形的判定
14．(中考呼和浩特)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②DC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D.四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
15．(中考岳阳)如图，在?ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
16．(中考济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，则∠P的度数是( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
17．(中考通辽)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE.下列结论：①S?ABCD＝AD·BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．(中考哈尔滨)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝，则该线段BC的长为 ．
19．(中考兰州)如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF.
(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；
(2)若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．
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