特殊的平行四边形
第1课时 矩形
重难点 矩形的性质与判定
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB＝2，求△OEC的面积．
【思路点拨】 (1)四边形ABCD中有两个角的度数为90°，再证明一个角的度数等于90°，则可以利用三个角是直角的四边形是矩形来证明．
(2)根据矩形的性质及DE平分∠ADC，易得△DEC为等腰直角三角形，从而CE＝DC＝AB＝2.从而要求的△OEC已求出一条底边的长，从而只需要求出该边上的高即可，不妨过点O作OF⊥BC.利用中位线的性质，求出OF的长即可．
【自主解答】 解：(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°.
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°.
∴四边形ABCD是矩形．
(2)过点O作OF⊥BC于点F.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴BF＝FC.∴OF为△ABC的中位线．∴OF＝AB＝1.
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°.
∴△EDC是等腰直角三角形，EC＝CD＝2.
∴S△OEC＝EC·OF＝1.
1．判定矩形的基本思路：
(1)若已知两个角的度数为90°，则再证明一个角为90°，可以证明该四边形是矩形；
(2)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；
(3)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；
(4)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．
2．应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系．
【拓展问题】 (3)如图，小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，小明认为GF＝DF，你同意吗？请说明理由．
【思路点拨】 连接EF，由折叠和中点性质可知EG＝ED，利用“HL”证明Rt△EGF≌Rt△EDF即可．
【自主解答】 解：同意．理由如下：连接EF.
根据折叠的性质，得AE＝EG，∠A＝∠BGE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠A＝90°.
∴∠D＝∠BGE＝∠EGF＝90°.
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED＝EG.
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)．
∴GF＝DF.
对于解决矩形中的折叠问题，有以下三方面的思路：(1)折叠的性质：折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段等均相等；
(2)找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系；
(3)一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，解方程来求线段长.
(4)在(3)的条件下，若DC＝2FC，试判断AD与AB的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】 不妨设CD＝x，根据题目中所给信息分别用含有x的代数式表示出CD，BC的长度，从而求得两条线段的比．
【自主解答】 解：AD＝AB.理由如下：
设FC＝x，则BG＝AB＝DC＝2x.
由(3)知，GF＝DF，∴GF＝x.
∴BF＝BG＋GF＝2x＋x＝3x.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝＝＝2x.
∴＝＝＝.
∴AD＝AB.
【变式训练】 (中考青岛)已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠AFC＝∠DCG.
∵GA＝GD，∠AGF＝∠DGC，
∴△AGF≌△DGC(ASA)．
∴AF＝DC.
∴AB＝AF.
(2)结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°.
∴∠FAG＝60°.
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形．
∴AG＝GF.
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG.∵AG＝GD，
∴AD＝CF.
∴四边形ACDF是矩形．
考点1 矩形的性质
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(D)
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC等于(C)
A．8 B．10 C．12 D．18
3．(中考内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为(D)
A．31° B．28° C．62° D．56°
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且BE平分∠AEC，则△ABE的面积为(D)
A．2.4 B．2 C．1.8 D．1.5
5．(中考株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为．
6．(中考江西)如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为3.
7.(中考湘西州)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
在△ADE与△BCE中，
∴△ADE≌△BCE(SAS)．
(2)由(1)知，△ADE≌△BCE，则DE＝EC.
在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝AB＝3.
由勾股定理知，DE＝＝＝5.
∴△CDE的周长＝2DE＋CD＝2DE＋AB＝16.
考点2 矩形的判定
8．(中考上海)已知?ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B)
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
9．(中考湘潭)如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是(B)
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
10．(中考新疆)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(SAS)．
(2)四边形EBFD是矩形．
∵△DOE≌△BOF，
∴∠ODE＝∠OBF，DE＝BF.
∴DE∥BF.
∴四边形EBFD是平行四边形．
又∵BD＝EF，
∴四边形EBFD是矩形．
11．(中考通辽)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
证明：(1)∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∠EAF＝∠EDB.
∴△AEF≌△DEB(AAS)．
(2)四边形ADCF是矩形．
证法(一)：连接DF.
∵AF平兴奇CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵△AEF≌△DEB，
∴BE＝FE.
又AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∴DF＝AB.
又AB＝AC，
∴DF＝AC.
∴四边形ADCF是矩形．
证法(二)：∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵△AEF≌△DEB.
∴AF＝DB.
又AF＝CD，
∴DB＝CD，即AD是△ABC的中线．
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF是矩形．
12．(中考威海)矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝(C)
A．1 B. C. D.
13．(中考玉林)如图，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.
(1)求证：四边形EFNM是矩形；
(2)已知AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．
解：(1)证明：过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别为G，H.
∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，
∴EG＝ME，GE＝EM′.
∴EG＝ME＝ME′＝MM′.
同理可证，FH＝NF＝N′F＝NN′.
∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，
∴MM′＝NN′.
∴ME＝NF＝EG＝FH.
又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，
∴四边形EFNM是矩形．
(2)∵DC∥AB，
∴∠CDA＋∠DAB＝180°.
∵∠3＝∠CDA，∠2＝∠DAB，
∴∠3＋∠2＝90°.
在Rt△DEA中，∵AE＝4，DE＝3，
∴AD＝＝5.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB.
又∵∠2＝∠DAB，∠5＝∠DCB.
∴∠2＝∠5.
由(1)知，GE＝NF，
在Rt△GEA和Rt△NFC中，
∴△GEA≌△NFC(AAS)．
∴AG＝CN.
在Rt△DME和Rt△DGE中，
∵DE＝DE，ME＝GE，
∴Rt△DME≌Rt△DGE(HL)．
∴DM＝DG.
∴DM＋CN＝DG＋AG＝AD＝5.
∴MN＝CD－DM－CN＝9－5＝4.
∵四边形EFNM是矩形，
∴EF＝MN＝4.
14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指(D)
A．S长方形ABMN＝S长方形MNDC
B．S长方形EBMF＝S长方形AEFN
C．S长方形AEFN＝S长方形MNDC
D.S长方形EBMF＝S长方形NFGD
第2课时 菱形
重难点 菱形的性质与判定
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
(1)如图1，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形；
(2)如图2，若点E，F分别在射线DB和射线BD上，且BE＝DF.
①求证：四边形AECF是菱形；
②若∠AEC＝60°，AE＝6，AB＝BE，求AB的长．
图1 图2
【思路点拨】 (1)要证明四边形AEOF是菱形，由于题目所给条件都是和边相关的，故考虑利用四边都相等的四边形是菱形来证明．利用菱形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形AEOF的四条边相等即可．
(2)①要证明四边形AECF是菱形，则考虑利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形来证明；②要求AB的长，可将AB放在Rt△ABO中，解直角三角形即可．
【自主解答】 解：(1)证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点，
∴AE＝AB，AF＝AD.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.∴AE＝AF.
又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO⊥BD.
∵E，F是AB，AD的中点，
∴OE＝AB，OF＝AD.
∴AE＝AF＝OE＝OF.
∴四边形AEOF是菱形．
(2)①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，BD⊥AC.
∵BE＝DF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．
②∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，AO⊥EF，∠AEO＝∠CEO.
∵∠AEC＝60°，∴∠AEO＝30°.
∵AE＝6，∴AO＝3.
∵AB＝BE.∴∠AEB＝∠BAE＝30°.
∴∠ABO＝∠AEB＋∠BAE＝60°.
∴AB＝＝2.
1．与菱形有关的计算常涉及下面几种：
(1)求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角线相等、邻角互补等，结合等腰三角形和平行线的相关性质，转化要求的角，找到与已知角存在的关系求解；
(2)求长度(线段长或周长)时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中有一个顶角为60°，连接相邻两边的顶点，菱形被对角线分割为两个等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角函数等进行计算．
2．判定菱形的基本思路：
(1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；
(2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；
(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．
【拓展问题】 如图，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，M是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PM＋PB的最小值为.
【变式训练1】 (中考十堰)如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED＝20°．
【变式训练2】 (中考安顺T22，10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵E为AD的中点，
∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE.
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE(AAS)．
∴AF＝DB. 3分
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝BD.
∴AF＝DC. 5分
(2)四边形ADCF的形状是菱形．理由如下：
由(1)知，AF＝DC.∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形. 7分
又∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
∵AD为中线，
∴AD＝BC＝DC.
∴平行四边线ADCF是菱形. 10分
考点1 菱形的性质
1．(中考十堰)菱形不具备的性质是(B)
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．(中考孝感)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为(A)
A．52 B．48 C．40 D．20
3．(中考贵阳)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F.如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为(A)
A．24 B．18 C．12 D．9
4．(中考哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝，则线段AB的长为(C)
A. B．2 C．5 D．10
5．(中考黔东南)已知一个菱形的边长为2 ，较长的对角线长为2 ，则这个菱形的面积是2．
6．(中考广州)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是(－5，4)．
7．(中考沈阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是4．
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
考点2 菱形的判定
8．(中考黑龙江)如图，在?ABCD中，添加一个条件答案不唯一，如AB＝AD，使四边形ABCD是菱形．
9．(中考遂宁)如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC.
∵DE＝BF，
∴AD－DE＝BC－BF.
∴AE＝FC.
∴AEFC.
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
10．(中考内江)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：
(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C.
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD(ASA)．
(2)由(1)知，△AED≌△CFD，则AD＝CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
11．(中考南京)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形OBCD是菱形．
证明：(1)延长AO到E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO.
又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO.
同理，∠DOE＝2∠DAO.
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，
即∠BOD＝2∠BAD.
又∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C.
(2)连接OC，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC(SSS)．
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD.
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO.
∴BO＝BC.
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO.
∴四边形OBCD是菱形．
12．(中考宿迁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是(A)
A. B．2 C．2 D．4
13．(中考新疆)如图，点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，点M，N分别AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是(B)
A. B．1 C. D．2
14．(中考成都)如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过点D，当EF⊥AD时，的值为．
15．(中考泰安)如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H.若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
(1)求证：△ECG≌△GHD；
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3)若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
解：(1)证明：∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA.
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG.
∴∠CAG＝∠FGA.
∴AC∥FG.
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC.
∴AC⊥BC.
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED.
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点．
∴FG是线段ED的垂直平分线．
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED.
∴∠CGE＝∠GDE.
∴△ECG≌△GHD(AAS)．
(2)证明：过点G作GP⊥AB于点P，
∴GC＝GP，而AG＝AG.
∴Rt△CAG≌Rt△PAG(HL)．
∴AC＝AP.
由(1)可得，EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL)．
∴EC＝DP.
∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.
(3)四边形AEGF是菱形．
理由：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°.
∴AE＝AD.
∴AE＝AF＝FG.
由(1)得，AE∥FG.
∴四边形AEGF是平行四边形．
∴四边形AEGF是菱形．
第3课时 正方形
重难点 正方形的性质与判定
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线BE平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
【自主解答】 解：(1)FG⊥ED.理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，
∴∠DEB＝∠ACB.
∵△ABC沿射线BE平移至△FEG，
∴∠GFE＝∠A.
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠ACB＝90°.
∴∠DEB＋∠GFE＝90°.
∴∠FHE＝90°.
∴FG⊥ED.
(2)证明：根据旋转和平移可得，∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，
∵CG∥EB，
∴∠BCG＝∠CBE＝90°.
∴四边形BCGE是矩形．
∵CB＝BE，
∴四边形CBEG是正方形．
判定正方形的基本思路：
(1)若四边形是平行四边形，则需要证一个角是直角和一组邻边相等；
(2)若四边形是矩形，则需要证一组邻边相等或者对角线互相垂直；
(3)若四边形是菱形，则需要证一个内角是直角或者对角线相等；
(4)若已知一个四边形，则需要先证明其为平行四边形，再证明其为正方形，也可以直接证明其既是矩形又是菱形．
【拓展问题1】 在(2)中的正方形CBEG中，若GH＝4，HF＝2，求正方形BEGC的面积．
解：∵△DBE≌△FEG，
∴ED＝GF＝GE＋HF＝6.
∴∠DEB＝∠FGE.
∵DE⊥FG，
∴∠GHE＝90°.
又∵∠DBE＝90°，
∴∠GHE＝∠DBE.
∴△GHE∽△EBD.
∴GE∶ED＝GH∶EB，即GE∶6＝4∶GE.
∴GE2＝24.
∴正方形BEGC面积是24.
【拓展问题2】 过点B作BP⊥DE于点P，连接PG.
(1)求证：EP＝GH；
(2)若EH＝2，四边形BEGP的面积为24，求∠PGH的正弦值．
解：(1)证明：∵∠HGE＋∠HEG＝90°，∠HEG＋∠PEB＝90°，
∴∠HGE＝∠PEB.
又∵∠GHE＝∠EPB＝90°，BE＝EG，
∴△BPE≌△EHG(AAS)．
∴EP＝GH.
(2)设PE＝x，则GH＝x.
∵四边形BEGP的面积为24，EH＝BP＝2，
∴ x2＋×2x＝24.解得x1＝6，x2＝－8(舍)．
∴PH＝EP－EH＝6－2＝4.
在Rt△PHG中，PG＝＝2.
∴sin∠PGH＝＝＝.
与正方形有关的计算常涉及以下几种：
1．求线段长：正方形的四个角都为直角、四边相等且对边平行、对角线垂直平分，由这些已知可以得到边和角之间相等的关系，等量代换，构造直角三角形，将已知条件及所求量放入直角三角形中，利用勾股定理或者三角函数求解，当遇到折叠、旋转时应结合其性质找等量关系，通过等量代换或者三角形全等解题；
2．面积：(1)求面积：通过全等、相似或者勾股定理求出线段长进而求出面积；(2)求面积最值：设出一个未知量，根据等量代换用未知量表示出线段长，结合二次函数性质求解；Ｋ
3．求角度：正方形的对角线将正方形分为四个全等的三角形，所以在求角度的时候通过平行线的性质及互余，通过等量代换，结合全等，将所求角度转化到已知线段长度或角度的三角形中，利用三角函数或者三角形内外角关系求解；
4．求三角函数：构造直角三角形，若所求角度不能放在直角三角形中，则考虑利用平行线性质或者三角形内外角关系，互余等性质，通过转换，将其放入所构造的直角三角形中求解；
5．求点坐标：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，对角线、边的中线均为其对称轴，对角线的交点为对称中心．
考点1 正方形的性质
1．正方形具有而菱形不具有的性质是(B)
A．四边相等 B．四角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG.若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是(A)
A．65° B．55° C．70° D．75°
3．(中考白银)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为(D)
A．5 B. C．7 D.
4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长为(A)
A.－1 B. C．1 D．1－
5．(中考黄冈)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED＝45°．
6．(中考咸宁)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5)．
7．(中考甘肃)如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则BG＝4cm.
8．(中考盐城)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD.
∴∠ABD＝∠ADB.
∴∠ABE＝∠ADF.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)四边形AECF是菱形．
理由：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF.
∴OB＋BE＝OD＋DF，
即OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
9．(中考遵义)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.
(1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝∠OBA＝45°.
∴∠OAM＝∠OBN＝135°.
∵∠EOF＝∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON.
∴△OAM≌△OBN(ASA)．
∴OM＝ON.
(2)过点O作OH⊥AD于点H，则AE∥OH.
∵正方形的边长为4，
∴OH＝HA＝2.
∵E为OM的中点，
∴A为HM的中点．
∴HM＝4.
则OM＝＝2.
∴MN＝OM＝2.
考点2 正方形的判定
10．(中考滨州)下列命题，其中是真命题的为(D)
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
11．(中考兰州)在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是①③④．
12．(中考邵阳)如图，已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC.
∴AC＝BD.
∴?ABCD是矩形．
(2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
13．(中考临沂)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直相等．
其中正确的个数是(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
14．(中考海南)如图1，分别沿长方形ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的?KLMN.若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且?KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为(B)
图1 图2
A．24 B．25 C．26 D．27
15．(中考桂林)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为(C)
A．3 B．2 C. D.
16．(中考江西)在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，PD＝2AP，则AP的长为2或2或－.
17.(中考济宁)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
解：(1)结论：CF＝2DG.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，∠ADC＝∠C＝90°.
∵DE＝AE，
∴AD＝CD＝2DE.
∵EG⊥DF，∴∠DHG＝90°.
∴∠CDF＋∠DGE＝∠DGE＋∠DEG＝90°.
∴∠CDF＝∠DEG.
∴△DEG∽△CDF.
∴＝＝.
∴CF＝2DG.
(2)作点C关于MN的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短，周长的最小值＝CD＋PD＋PC＝CD＋PD＋PK＝CD＋DK.
由题意，得CD＝AD＝10，ED＝AE＝CF＝5，DG＝，EG＝，DH＝＝.
∴EH＝2.
∴HM＝＝2.
∴DM＝CN＝NK＝＝1.
在Rt△DCK中，DK＝＝＝2.
∴△PCD的周长的最小值为10＋2.
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特殊的平行四边形
第1课时 矩形
重难点 矩形的性质与判定
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB＝2，求△OEC的面积．
【拓展问题】 (3)如图，小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，小明认为GF＝DF，你同意吗？请说明理由．
【变式训练】 (中考青岛)已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
考点1 矩形的性质
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD
2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC等于( )
A．8 B．10 C．12 D．18
3．(中考内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F.已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28° C．62° D．56°
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且BE平分∠AEC，则△ABE的面积为( )
A．2.4 B．2 C．1.8 D．1.5
5．(中考株洲)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为 ．
6．(中考江西)如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为 .
7.(中考湘西州)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
考点2 矩形的判定
8．(中考上海)已知?ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
9．(中考湘潭)如图，已知点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
10．(中考新疆)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
11．(中考通辽)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
12．(中考威海)矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝( )
A．1 B. C. D.
13．(中考玉林)如图，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.
(1)求证：四边形EFNM是矩形；
(2)已知AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．
14．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指( )
A．S长方形ABMN＝S长方形MNDC
B．S长方形EBMF＝S长方形AEFN
C．S长方形AEFN＝S长方形MNDC
D.S长方形EBMF＝S长方形NFGD
第2课时 菱形
重难点 菱形的性质与判定
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
(1)如图1，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形；
(2)如图2，若点E，F分别在射线DB和射线BD上，且BE＝DF.
①求证：四边形AECF是菱形；
②若∠AEC＝60°，AE＝6，AB＝BE，求AB的长．
图1 图2
【拓展问题】 如图，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，M是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PM＋PB的最小值为 .
【变式训练1】 (中考十堰)如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED＝ ．
【变式训练2】 (中考安顺T22，10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
考点1 菱形的性质
1．(中考十堰)菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．(中考孝感)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为( )
A．52 B．48 C．40 D．20
3．(中考贵阳)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F.如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
4．(中考哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，tan∠ABD＝，则线段AB的长为( )
A. B．2 C．5 D．10
5．(中考黔东南)已知一个菱形的边长为2 ，较长的对角线长为2 ，则这个菱形的面积是 ．
6．(中考广州)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
7．(中考沈阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是4．
考点2 菱形的判定
8．(中考黑龙江)如图，在?ABCD中，添加一个条件 ，使四边形ABCD是菱形．
9．(中考遂宁)如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
10．(中考内江)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：
(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
11．(中考南京)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形OBCD是菱形．
12．(中考宿迁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点．若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( )
A. B．2 C．2 D．4
13．(中考新疆)如图，点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，点M，N分别AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( )
A. B．1 C. D．2
14．(中考成都)如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过点D，当EF⊥AD时，的值为 ．
15．(中考泰安)如图，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H.若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
(1)求证：△ECG≌△GHD；
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3)若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
第3课时 正方形
重难点 正方形的性质与判定
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线BE平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．
【拓展问题1】 在(2)中的正方形CBEG中，若GH＝4，HF＝2，求正方形BEGC的面积．
【拓展问题2】 过点B作BP⊥DE于点P，连接PG.
(1)求证：EP＝GH；
(2)若EH＝2，四边形BEGP的面积为24，求∠PGH的正弦值．
考点1 正方形的性质
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( )
A．四边相等 B．四角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在?ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG.若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是( )
A．65° B．55° C．70° D．75°
3．(中考白银)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为( )
A．5 B. C．7 D.
4．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长为( )
A.－1 B. C．1 D．1－
5．(中考黄冈)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED＝ ．
6．(中考咸宁)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为 ．
7．(中考甘肃)如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则BG＝ cm.
8．(中考盐城)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
9．(中考遵义)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.
(1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
考点2 正方形的判定
10．(中考滨州)下列命题，其中是真命题的为( )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
11．(中考兰州)在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是 ．
12．(中考邵阳)如图，已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
13．(中考临沂)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直相等．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14．(中考海南)如图1，分别沿长方形ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的?KLMN.若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且?KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为( )
图1 图2
A．24 B．25 C．26 D．27
15．(中考桂林)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为( )
A．3 B．2 C. D.
16．(中考江西)在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，PD＝2AP，则AP的长为 .
17.(中考济宁)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
(2)过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
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