2.3.1 离散型随机变量的均值（第一课时） 课件 26张PPT
文档属性
| 名称 | 2.3.1 离散型随机变量的均值（第一课时） 课件 26张PPT |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-06 21:03:48 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
高二数学 选修2-3
2.3.1 离散型随机变量的均值
同时分别掷骰子，各押赌注32个金币
规定谁先掷出3次“6点”就算赢对方，
赌博进行了一段时间，A赌徒已掷出了2次“6点”，
B赌徒也掷出了1次“6点”，
发生意外，赌博中断。
A赌徒
B赌徒
实力相当
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
高二数学 选修2-3
2.3.1 离散型随机变量的均值
大姚一中 白杨
１.通过事例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单的随机变量的均值。
２.通过探究概念的过程，体会由具体到抽象的数学探究方法。
３.通过本节的学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识。
学习目标
高二（1）班有45人，本学期期中考试数学平均分为80分，高二（2）班有55人，平均分为90分，求两班的数学平均分。
提问2：能否用各班的分数乘以人数所占的比例求均
值？
提问1：能否利用两个平均数相加除以二求平均数？
如果不能，应该怎么做？
某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？
18×1/2+24×1/3+36×1/6
=23元/kg
18×1/2+24×1/3+36×1/6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？
随机变量均值（概率意义下的均值）
样本平均值
x 18 24 36
p 1/2 1/3 1/6
离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为
则称 为随机变量
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
X … …
P … …
练习1
离散型随机变量 X 的概率分布列为
①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值
X 1 100
P 0.01 0.99
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的均值
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为
所以随机变量X的均值为EX=1× 1/6+2× 1/6
+3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5
你能理解3.5
的含义吗？
你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?
变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的期望
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为
所以随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6
+7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8
你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?
变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？
Y 3 5 7 9 11 13
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
你能猜想出
结果吗?
aEX+b
证：设离散型随机变量X的概率分布为
所以Y的分布列为
X … …
P … …
Y … …
P … …
离散型随机变量均值的性质
(1)随机变量均值的线性性质
32个金币
32个金币
A已掷出了2次“6点”
B也掷出了1次“6点”
A赌徒赢的概率
归纳求离散型随机变量期望的步骤：
①确定离散型随机变量可能的取值。
②写出分布列，并检查分布列的正确与否。
③求出期望。
小结
解:ξ的分布列为
所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
ξ 0 1
P 0.15 0.85
解:ξ的分布列为
所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2
P
1-P
P
1-P
P
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
ξ 0 1
P 0.15 0.85
例题2
变式：若姚明在某次比赛中罚球10次，
求他罚球的得分ξ的均值？
若ξ～B(1，0.85), 则Eξ=0.85
若ξ～B(10，0.85), 则Eξ=?
你能猜想出
结果吗?
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
求证： 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
证明：
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
= np(p+q)n-1=np
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。
例题3
解：
设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则
ξ～B(20，0.9)，
η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18，
Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
2某篮球运动员3分球投篮命中的概率是 , 在某次三分远投比赛中,共投篮
3次,设 是他投中的次数.
1) 求E ;
2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值;
10
练习2
离散型随机变量均值的性质
离散型随机变量的均值
离散型随机变量均值的定义
(1)随机变量均值的线性性质
(2)服从两点分布的均值
若X~B(1，p)， 则E(X)= p
(3)服从二项分布的均值
若X~B(n，p)， 则E(X)= np
归纳求离散型随机变量均值的步骤
①确定所有可能取值；②写出分布列；③求出均值
作业
1、课本习题2.3A组2、4
2、（选做题）课本习题2.3 B组2
3、（预习作业）预习2.3.2 离散型随机变量的方差
高二数学 选修2-3
2.3.1 离散型随机变量的均值
同时分别掷骰子，各押赌注32个金币
规定谁先掷出3次“6点”就算赢对方，
赌博进行了一段时间，A赌徒已掷出了2次“6点”，
B赌徒也掷出了1次“6点”，
发生意外，赌博中断。
A赌徒
B赌徒
实力相当
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
高二数学 选修2-3
2.3.1 离散型随机变量的均值
大姚一中 白杨
１.通过事例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单的随机变量的均值。
２.通过探究概念的过程，体会由具体到抽象的数学探究方法。
３.通过本节的学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识。
学习目标
高二（1）班有45人，本学期期中考试数学平均分为80分，高二（2）班有55人，平均分为90分，求两班的数学平均分。
提问2：能否用各班的分数乘以人数所占的比例求均
值？
提问1：能否利用两个平均数相加除以二求平均数？
如果不能，应该怎么做？
某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？
18×1/2+24×1/3+36×1/6
=23元/kg
18×1/2+24×1/3+36×1/6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？
随机变量均值（概率意义下的均值）
样本平均值
x 18 24 36
p 1/2 1/3 1/6
离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为
则称 为随机变量
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
X … …
P … …
练习1
离散型随机变量 X 的概率分布列为
①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值
X 1 100
P 0.01 0.99
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的均值
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为
所以随机变量X的均值为EX=1× 1/6+2× 1/6
+3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5
你能理解3.5
的含义吗？
你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?
变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
例题1
随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子
的点数X的期望
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为
所以随机变量Y的均值为 EY =3× 1/6+5× 1/6
+7×1/6+9× 1/6+11× 1/6+13× 1/6=8
你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?
变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，
即Y=2X+1，试求Y的均值？
Y 3 5 7 9 11 13
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
你能猜想出
结果吗?
aEX+b
证：设离散型随机变量X的概率分布为
所以Y的分布列为
X … …
P … …
Y … …
P … …
离散型随机变量均值的性质
(1)随机变量均值的线性性质
32个金币
32个金币
A已掷出了2次“6点”
B也掷出了1次“6点”
A赌徒赢的概率
归纳求离散型随机变量期望的步骤：
①确定离散型随机变量可能的取值。
②写出分布列，并检查分布列的正确与否。
③求出期望。
小结
解:ξ的分布列为
所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
ξ 0 1
P 0.15 0.85
解:ξ的分布列为
所以 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．
例题2
P
1-P
P
1-P
P
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
ξ 0 1
P 0.15 0.85
例题2
变式：若姚明在某次比赛中罚球10次，
求他罚球的得分ξ的均值？
若ξ～B(1，0.85), 则Eξ=0.85
若ξ～B(10，0.85), 则Eξ=?
你能猜想出
结果吗?
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
求证： 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
证明：
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
= np(p+q)n-1=np
一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。
例题3
解：
设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则
ξ～B(20，0.9)，
η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18，
Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，
E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
2某篮球运动员3分球投篮命中的概率是 , 在某次三分远投比赛中,共投篮
3次,设 是他投中的次数.
1) 求E ;
2)若投中1次得3分 ,求他得分的均值;
10
练习2
离散型随机变量均值的性质
离散型随机变量的均值
离散型随机变量均值的定义
(1)随机变量均值的线性性质
(2)服从两点分布的均值
若X~B(1，p)， 则E(X)= p
(3)服从二项分布的均值
若X~B(n，p)， 则E(X)= np
归纳求离散型随机变量均值的步骤
①确定所有可能取值；②写出分布列；③求出均值
作业
1、课本习题2.3A组2、4
2、（选做题）课本习题2.3 B组2
3、（预习作业）预习2.3.2 离散型随机变量的方差