1.3.3 导数的实际应用 课件 17张PPT

(共17张PPT)
1.4导数的实际应用
规格（L） 2 1.25 0.6
价格（元） 5.1 4.5 2.5
新课导入：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.
我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题.
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的
曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：
（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，
则这个极值一定是最值。



y










o
a
x1
x2
x3
x4
b
x


例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？














图3.4-1


因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，
当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。




解法二：由解法(一)得
2.在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.

1.设出变量找出函数关系式；
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
确定出定义域；
所得结果符合问题的实际意义。
例2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?






R
h

解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
又V=πR2h(定值),
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
r (0，2) 2 (2，6]
f '(r) 0
f (r)
-
+
减函数↘
增函数↗
-1.07p
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是


当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，
即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值。
２.半径为６cm时，利润最大。



图1.4-4
由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。
优化问题
用函数表示的数学问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案




练习2：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
练习1.一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
则两个正方形面积和为
1解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0由问题的实际意义可知：
2解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
解决优化问题的一般步骤：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，
找出问题的主要关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数
学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的
判断，确定其答案。
注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。