3.1 数系的扩充与复数 课件 28张PPT

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章末复习
第三章　数系的扩充与复数

知识梳理
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的 和 .若
，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi为虚数，若 ，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).
实部
虚部
b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
a＝c且b＝d
a＝c且b＋d＝0
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.在复平面内 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示非纯虚数.
(5)复数的模
x轴
y轴
实数
纯虚数
|z|
|a＋bi|
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ；
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝ .
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
4.共轭复数的性质
R
z
(4)共轭复数对应的点关于 对称.
它本身
实数
实轴

1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　 　)
2.原点是实轴与虚轴的交点.(　 　)
3.方程x2＋x＋1＝0没有解.(　 　)
[思考辨析 判断正误]
×
×
√

题型探究

类型一　复数的概念
解　由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.
(2)z是虚数；
解　由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，

∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.
(3)z是0.
解　由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，
且a2－4≠0，得a＝3时，z＝0.
引申探究　
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.
解　由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.
跟踪训练1　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时z为虚数.

解　因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，

类型二　复数的四则运算
＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.

类型三　复数问题实数化思想





解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋(b－2)i|，
∴z＝2＋2i或z＝－2－2i.



类型四　复数的几何意义
例4　设复数z满足|z|＝1，求|z－(3＋4i)|的最值.
解　由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值.
|z－(3＋4i)|min＝|BC|＝|OC|－1＝4.

若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为________.
1
解析　因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上.
|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，
因此，距离的最小值为1.


达标检测
所以2＋a＝0，即a＝－2.
√
1
2
3
4

A.－1 B.1 C.i D.0
1
2
3
4
√

3.已知2＋ai，b＋i(a，b∈R)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为
A.p＝－4，q＝5 B.p＝4，q＝5
C.p＝4，q＝－5 D.p＝－4，q＝－5
√
1
2
3
4
解析　由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，
则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，
所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.

1
2
3
4
根据复数相等的充要条件，

1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.
2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.
课堂小结



本课结束