1
专题训练一 等腰三角形的存在性问题
专题攻略
如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得
解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
课前热身
1．已知线段 AB＝5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什
么？
2．已知线段 AB＝6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是
什么？
针对训练
1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D 的坐标为(3，4)，点 P 是 x 轴正半轴上的一
个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标．
2
2．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，动点 P 以 2 个单位/秒的速度从点 A 出发，
沿 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 个单位/秒的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，当
P、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在 P、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰
三角形时，求 t 的值．
3
3．如图，直线 y＝2x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于
点 B，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，直线 PQ 与直线 AB
垂直，交 y 轴于点 Q，如果△APQ 是等腰三角形，求点 P
的坐标．
4
4．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．动线段 DE（端点 D 从点 B
开始）沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当端点 E 到达点 C 时运动停止．过
点 E 作 EF//AC 交 AB 于点 F（当点 E 与点 C 重合时，EF 与 CA 重合），联结 DF，设运动的
时间为 t 秒（t≥0）．
（1）直接写出用含 t 的代数式表示线段 BE、EF 的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出 t 的值；若不能，
请说明理由．
5
5．如图，已知四边形 ABCD 是矩形，AB＝16，BC＝12．点 E 在射线 BC 上，点 F 在
线段 BD 上，且∠DEF＝∠ADB．设 BE＝x，当△DEF 为等腰三角形时，求 x 的长．
6
6．如图，在等腰直角三角形 BCE 中，斜边 BC＝4 2 ，P 是 BE 延长线上一点，联结
PC，以 PC 为直角边向下方作等腰直角三角形 PCD，CD 交线段 BE 于点 F．若 PE＝x，当
△BDF 为等腰三角形时，求 x 的长．
7
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0, 2)，动点 P 在
3
3
y x? 的图像上运动（不与 O
重合），连接 AP，过点 P 作 PQ⊥AP，交 x 轴于点 Q，联结 AQ．
（1）求线段 AP 长度的取值范围；
（2）试问：点 P 运动的过程中，∠QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，
请说明理由．
（3）当△OPQ 为等腰三角形时，求点 Q 的坐标．
8
8．已知在平面直角坐标系中，直线 l1分别交 x 轴和 y 轴于点 A(－3, 0)，B(0, 3)．直线
l2：y＝3x－3 分别交 x 轴和 y 轴于点 C 和点 D，点 Q 是直线 l2 上的一个动点，以 Q 为圆心，
2 2 为半径画圆．设⊙Q 与直线 l1 相交于 M，N 两点，连结 QM，QN．问：是否存在这样
的点 Q，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理
由．
1
专题训练一 等腰三角形的存在性问题
1．因为 D（3，4），所以 OD＝5，
3
cos
5
DOP? ? ．
①如图 1，当 PD＝PO 时，作 PE⊥OD 于 E．
在 Rt△OPE 中，
3
cos
5
OE
DOP
OP
? ? ? ，
5
2
OE ? ，所以
25
6
OP ? ．
此时点 P 的坐标为
25
( ,0)
6
．
②如图 2，当 OP＝OD＝5 时，点 P 的坐标为(5，0)．
③如图 3，当 DO＝DP 时，点 D 在 OP 的垂直平分线上，此时点 P 的坐标为(6，0)．
第 1 题图 1 第 1 题图 2 第 1 题图 3
2
2．在 Rt△ABC 中， 1086
2222 ????? BCABAC .因此
4
cos
5
ACB? ? .
在△PQC 中，CQ＝t，CP＝10－2t.
第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3
①如图 1，当CP CQ? 时， 10 2t t? ? ，解得
10
3
t ? (秒).
②如图 2，当QP QC? 时，过点 Q 作 QM⊥AC 于 M，则 CM＝
1
5
2
PC t? ? ? .
在 Rt△QMC 中，
4 5
cos
5
CM t
QCM
CQ t
?
? ? ? ? ，解得
25
9
t ? (秒).
③如图 3，当 PCPQ ? 时，过点 P 作 PN⊥BC 于 N，则 CN＝
1 1
2 2
QC t? ? .
在 Rt△PNC 中，
1
4 2cos
5 10 2
t
CN
PCN
CP t
? ? ? ?
?
，解得
80
21
t ? (秒).
综上所述，当 t 为 秒秒、秒、
21
80
9
25
3
10
时，△PQC 为等腰三角形.
3
3．由 y＝2x＋2 得，A(－1，0)，B(0，2)．所以 OA＝1，OB＝2．
如图，由△AOB∽△QOP 得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．
设点 Q 的坐标为(0，m)，那么点 P 的坐标为(2m，0)．
因此 AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．
①当 AP＝AQ 时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得 0m ? 或
4
3
m ? ? ．所以符
合条件的点 P 不存在．
②当 PA＝PQ 时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得 2 5m ? ? ．所以 (4 2 5,0)P ? ．
③当 QA＝QP 时，QA2＝QP2，解方程 m2＋1＝5m2，得
1
2
m ? ? ．所以 (1,0)P ．
第 3 题图
4
4． （1） 4BE t? ? ， 5 ( 4)
8
EF t? ? ．
（2）△DEF 中，∠DEF＝∠C 是确定的．
①如图 1，当 DE＝DF 时， DE EF
AB BC
? ，即
5
( 4)
4 8
10 16
t ?
? ．解得
156
25
t ? ．
②如图 2，当 ED＝EF 时， 54 ( 4)
8
t? ? ．解得
12
5
t ? ．
③如图 3，当 FD＝FE 时， FE AC
DE BC
? ，即
5
( 4)
108
4 16
t ?
? ．解得 0t ? ，即 D 与 B 重合．
第 8 题图 1 第 8 题图 2 第 8 题图 3
5
5．如图 1，在 Rt△ABD 中，AB＝16，AD＝12，所以 BD＝12，cos∠ADB＝
3
5
．
所以BD＝20．
如图2，由∠DEF＝∠DBE＝∠ADB，∠EDF＝∠BDE，得△DEF∽△DBC．
所以当△DEF是等腰三角形时，△DBC也是等腰三角形．
第5题图1 第5题图2
在△DBC中，cos∠DBC＝
3
5
，BD＝20，BE＝x．分三种情况讨论：
①如图3，当BE＝BD时，BE＝20．
②如图4，当DB＝DE时，点D在BE的垂直平分线上，所以BE＝2BC＝24．
③如图5，当EB＝ED时，
1 3
2 5
BD BE? ．所以
1 3
20
2 5
BE? ? ．此时BE＝
50
3
．
第5题图3 第5题图4 第5题图5
6
6．在等腰直角三角形 BCE 中，斜边 BC＝4 2 ，所以 BE＝CE＝4．
如图 1，因为△CBE 与△CDP 是等腰直角三角形，所以△CBE∽△CDP．
所以
CE CP
CB CD
? ．
如图 2，因为∠BCD＝∠ECP，所以△BCD∽△ECP．
所以∠BDC＝∠ECP，∠CBD＝∠CEP＝90°．
所以∠FBD＝∠CBP＝45°．所以△BDF∽△BPC（如图 3 所示）．
所以当△BDF 是等腰三角形时，△BPC 也是等腰三角形．分三种情况讨论：
第 6 题图 1 第 6 题图 2 第 6 题图 3
①如图4，当BP＝BC＝4 2 时，x＝PE＝4 2 4? ．
②如图5，当CP＝CB＝4时，△BCP是等腰直角三角形，CE是斜边上的高．此时x＝PE
＝4．
③如图6，当PB＝PC时，P、E重合，不符合题意．
第6题图4 第6题图5 第6题图6
7
7． （1）如图 1，作 AH⊥OP 于 H．
由直线 OP 的斜率 k＝
3
3
，得直线 l 与 x 轴的夹角为 30°．所以∠AOH＝60°．
在 Rt△AOH 中，AO＝2，∠AOH＝60°，所以 AH＝ 3 ．所以 AP≥ 3 ．
第 7 题图 1 第 7 题图 2
（2）∠QAP 为定值．理由如下：
如图 2，过点 P 构造矩形 AOMN，得△ANP∽△PMQ．
所以
PQ PM
AP AN
? ．因为 AN＝OM，所以 tan tan30
PQ PM
POM
AP OM
? ? ?∠ ＝ ．
由题意可知∠QAP 为锐角，所以∠QAP＝30°，为定值．
（3）当点 Q 在 x 轴正半轴时，分三种情况讨论．
①当 PO＝PQ 时，∠OPQ＝120°＞90°，所以这种情况不存在．
②如图 3，当 QP＝QO 时，Rt△AOQ≌Rt△APQ．所以∠OAQ＝∠PAQ＝30°．
在 Rt△AOQ 中，AO＝2，∠OAQ＝30°，所以 OQ＝
2 3
3
．所以 Q(
2 3
3
, 0)．
第 7 题图 3 第 7 题图 4
③如图 4，当 OQ＝OP 时，∠OPQ＝∠OQP＝75°．所以∠OPA＝15°．
作 AG//x 轴交 OP 于点 G，所以∠AGO＝∠POQ＝30°．
在 Rt△OAG 中，OA＝2，∠AGO＝30°，所以 AG＝2 3 ，OG＝4．
在△AGP 中，∠GAP＝∠OPA＝15°，所以 GP＝AG＝2 3 ．
所以 OQ＝OP＝OG＋GP＝ 4 2 3? ．所以 Q( 4 2 3? , 0)．
8
当点 Q 在 x 轴负半轴时，分三种情况讨论．
①当 QO＝QP 时，∠OQP＝120°＞90°，所以这种情况不存在．
②如图 5，当 OQ＝OP 时，∠OQP＝∠OPQ＝15°．所以∠AQO＝75°，∠QAO＝15°．
作 AQ 的垂直平分线交 OA 于点 E，联结 QE，得 QE＝AE．
在 Rt△QEO 中，∠QEO＝30°，设 OQ＝m，所以 QE＝AE＝2m，OE＝ 3m．
由 OA＝OE＋AE＝ 3 2m m? ＝2，解得 m＝4 2 3? ．
所以 Q( 2 3 4? , 0)．
第 7 题图 5 第 7 题图 6
③如图 6，当 PQ＝PO 时，∠OQP＝∠QOP＝30°．所以∠OQA＝30°．
在 Rt△AOQ 中，OA＝2，∠OQA＝30°，所以 OQ＝2 3 ．所以 Q(－2 3 , 0)．
9
8．由 l2：y＝3x－3，可得 C(1, 0)、D(0,－3)．
存在点 Q，使得△QMN 是等腰直角三角形．
此时∠MQN＝90°，∠QMN＝∠QNM＝45°．
由 A(－3，0)、B(0，3)，得直线 AB 的解析式为 y＝x＋3．
设 l1 与 l2的交点为 G．
如图 1，当点 Q 在点 G 下方时，由∠QMN＝∠BAO，得 QM//x 轴．所以 QN⊥x 轴．
设 Q(x, 3x－3)，N(x, x＋3)，所以 QN＝(x＋3)－(3x－3)＝2 2 ．
解得 3 2x ? ? ．此时 Q(3 2? , 6 3 2? )．
第 8 题图 1 第 8 题图 2
如图 2，当点 Q 在点 G 上方时，由∠QNM＝∠BAO，得 QN//x 轴．所以 QM⊥x 轴．
设 Q(x, 3x－3)，M(x, x＋3)，所以 QM＝ (3x－3)－(x＋3)＝2 2 ．
解得 3 2x ? ? ．此时 Q(3 2? , 6 3 2? )．
25
专题训练四 平行四边形的存在性问题
专题攻略
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可
以使计算又好又快．
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3 个点：以已知三个
定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点．
如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．
课前热身
1．已知 A、B、C 三点，以 A、B、C、D 为顶点的平行四边形有____个，怎么画？
2．数形结合：①点在图像上→用图像的解析式表示点的坐标→用点的坐标表示点到坐标轴
的距离．
②竖直线段的长可以用上、下两个端点的纵坐标的差表示．端点的纵坐标可以用图像的解析
式表示．
3．点在线上，已知线的解析式和点的横坐标，求点的纵坐标，就是______________；
已知线的解析式和点的纵坐标，求点的横坐标，就是______________．
针对训练
1．如图，已知抛物线 y＝－x2－2x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与
y 轴交于点 C，顶点为 P．若以 A、C、P、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标．
26
2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝－x2+2x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点，
点 M 在这条抛物线上，点 P 在 y 轴上，如果以点 P、M、A、B 为顶点的四边形是平行四边
形，求点 M 的坐标．
27
3．将抛物线 c1：
23 3y x? ? ? 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图所示．
现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交
点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶
点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E．在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M
为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由．
28
4．如图，抛物线 2
5
4
y x bx c? ? ? ? 与 y 轴交于点 A(0,1)，过点 A 的直线与抛物线交于另
一点 B
5
(3, )
2
，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 P 是 x 轴正半轴上的一动点，过点 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线
于点 N，设 OP 的长度为 m．联结 CM、BN，当 m 为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形？
29
5．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC
向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单
位长度的速度运动，过点 P 作 PD//BC，交 AB 于点 D，联结 PQ．点 P、Q 分别从点 A、C
同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（t≥0）．
（1）直接用含 t 的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说
明理由，并探究如何改变点 Q 的速度（匀速运动），使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求
点 Q 的速度．
图 1 图 2
30
6．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A(4, 0)，B(0, 3)，点
C 的坐标为(0, m)，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，点 D 为 x 轴正半轴的一动点，且满足 OD＝
2OC，连结 DE，以 DE、DA 为边作平行四边形 DEFA．
（1）当 m＝1 时，求 AE 的长；
（2）当 0＜m＜3 时，若平行四边形 DEFA 为矩形，求 m 的值；
（3）是否存在 m 的值，使得平行四边形 DEFA 为菱形？若存在，直接写出 m 的值；若
不存在，请说明理由．
31
7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L1：y＝x
2＋bx＋c 经过点 C(0,－3)，与抛
物线 L2：
21 3 2
2 2
y x x? ? ?－ 的一个交点为 A，且点 A 的横坐标为 2，点 P、Q 分别是抛物线
L1、L2上的动点．
（1）求抛物线 L1 的函数表达式；
（2）若以 A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求点 P 的坐标．
32
8．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－1, 0)、点 B(－3, 0)与 y 轴交于点 C，
且 OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上两点 M、N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m＋4．点 D 是抛物
线上 M、N 之间的动点，过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E．
①求 DE 的最大值；
②点 D 关于点 E 的对称点为 F，当 DE 最大时，如果四边形 MDNF 为矩形，求 m 的值．
备用图 2 个
1
专题训练四 平行四边形的存在性问题
1．由 y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，
得 A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．
如图，过△PAC 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是
要求的点 M．
①因为 AM1//PC，AM1＝PC，那么沿 PC 方向平移点 A 可以得到点 M1．
因为点 P(－1，4)先向下平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位可以与点 C(0，3)重合，
所以点 A(－3，0)先向下平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位就得到点 M1(－2，－1)．
②因为 AM2//CP，AM2＝CP，那么沿 CP 方向平移点 A 可以得到点 M2．
因为点 C(0，3)先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位可以与点 P(－1，4)重合，
所以点 A(－3，0)先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位就得到点 M2(－4，1)．
③因为 PM3//AC，PM3＝AC，那么沿 AC 方向平移点 P 可以得到点 M3．
因为点 A(－3，0)先向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位可以与点 C(0，3)重合，
所以点 P(－1，4)先向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位就得到点 M3(2，7)．
第 1 题图
2
2．由 y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得 A(－1，0)，B(3，0)．
①如图 1，当 AB 是平行四边形的对角线时，PM 与 AB 互相平分，因此点 M 与点 P 关
于 AB 的中点（1，0）对称，所以点 M 的横坐标为 2．
当 x＝2 时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点 M 的坐标为(2，3)．
②如图 2，图 3，当 AB 是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．
所以点 M 的横坐标为 4 或－4．
如图 2，当 x＝4 时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点 M 的坐标为(4，－5)．
如图 3，当 x＝－4 时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点 M 的坐标为(－4，－21)．
第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3
3
3．抛物线 c1：
23 3y x? ? ? 与 x 轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为 (0, 3)．
抛物线 c1向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为 ( , 3)m? ，与 x 轴的两个交点为
( 1 ,0)A m? ? 、 (1 ,0)B m? ，AB＝2．
抛物线 c2在平移的过程中，与抛物线 c1关于原点对称．所以四边形 AMEN 是平行四边
形．如果以点四边形 AMEN 是矩形，那么 AE＝MN．所以 OA＝OM．
而 OM2＝m2＋3，所以(1＋m)2＝m2＋3．解得 m＝1（如图）．
第 3 题图
[另解]探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形 ABM 中，因为 AB＝2，AB 边上的高为 3 ，所以△ABM 是等边三角形．
同理△DEN 是等边三角形．
当四边形 ANEM 是矩形时，B、D 两点重合．
因为起始位置时 BD＝2，所以平移的距离 m＝1．
4
4． （1）将 A(0,1)、B
5
(3, )
2
分别代入 2
5
4
y x bx c? ? ? ? ，得
1,
45 5
3 .
4 2
c
b c
??
?
?
? ? ? ??
?
解得
17
,
4
1.
b
c
?
??
?
? ??
所以抛物线的表达式为 2
5 17
1
4 4
y x x? ? ? ? ．
（2） 2 2
5 17 1 5 15
( 1) ( 1)
4 4 2 4 4
N MNM y y m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
5
2
BC ? ．
解方程 2
5 15 5
4 4 2
m m? ? ? ，得 m＝1 或 m＝2．
因此当 m＝1 或 m＝2 时，四边形 BCMN 为平行四边形（如图 2，图 3）．
图 2 图 3
5
5．（1）QB＝8－2t，PD＝
4
3
t ．
（2）先说明菱形是否存在．
如图 1，在四边形 PDBQ 中，QB＝8－2t，PD＝
4
3
t ，BD＝
5
10
3
t? ．
由 BQ＝PD，得
4
8 2
3
t t? ? ．解得
12
5
t ? ．
由 PD＝BD，得
4 5
10
3 3
t t? ? ．解得
10
3
t ? ．
由于
12 10
5 3
? ，所以四边形 PDBQ 是平行四边形时，邻边不相等．
所以四边形 PDBQ 不可能成为菱形．
再改变点 Q 的速度，使得四边形 PDBQ 是菱形．
如图 2，由 PD＝BD，知
10
3
t ? 时，四边形 PDBQ 是菱形．
所以菱形的边长 PD＝
4
3
t ＝
4 10 40
3 3 9
? ? ．
此时 CQ＝CB－BQ＝
40 32
8
9 9
? ? ．所以点 Q 的速度 Q
CQ
v
t
? ＝
32 10 16
9 3 15
? ? ．
第 5 题图 1 第 5 题图 2
6
6．（1）在 Rt△AOB 中，OA＝4，OB＝3，所以 AB＝5，cos∠B＝
3
5
．
在 Rt△BCE 中，BC＝3－m，所以 BE＝BC·cos∠B＝
3
(3 )
5
m? ＝
9 3
5 5
m? ．
所以 AE＝AB－BE＝
9 3
5 ( )
5 5
m? ? ＝
3 16
5 5
m ? ．
当四边形 DEFA 是矩形时，在 Rt△ADE 中，cos∠A＝
4
5
AD
AE
? ．
当点 C 在 x 轴上方时，OC＝m，OD＝2OC＝2m．所以 AD＝4－2m．
解方程
4 2 4
3 16 5
5 5
m
m
?
?
?
，得
18
31
m ? ．
当点 C 在 x 轴下方时，OC＝－m，OD＝2OC＝－2m．所以 AD＝4＋2m．
解方程
4 2 4
3 16 5
5 5
m
m
?
?
?
，得
18
19
m ? ? ．
第 6 题图 1 第 6 题图 2
（2）如果平行四边形 DEFA 为菱形，那么在等腰三角形 ADE 中，
5
8
AD
AE
?
当点 C 在 x 轴上方时，解方程
4 2 5
3 16 8
5 5
m
m
?
?
?
，得
16
19
m ? ．
当点 C 在 x 轴下方时，解方程
4 2 5
3 16 8
5 5
m
m
?
?
?
，得
16
13
m ? ? ．
第 6 题图 3 第 6 题图 4
7
7．（1）将 x＝2 代入 2
1 3
2
2 2
y x x? ? ? ? ，得 y＝－3．所以 A(2,－3)．
因为 y＝x2＋bx＋c 经过 C(0,－3)，所以 c＝－3．
将 A(2,－3)代入 y＝x2＋bx－3，得 4＋2b－3＝－3．解得 b＝－2．
所以抛物线 L1的函数表达式为 y＝x
2－2x－3．
（2）已知 A(2,－3)、C(0,－3)，设 P(x, x2－2x－3)
分两种情况讨论．
①当 AC 为平行四边形的边时，PQ//AC//x 轴，PQ＝AC＝2．
（i）当点 Q 在点 P 的右侧时，点 Q 的坐标为(x＋2，x2－2x－3)．
将 Q (x＋2，x2－2x－3)代入 2
1 3
2
2 2
y x x? ? ? ? ，
得 x2－2x－3＝ 2
1 3
( 2) ( 2) 2
2 2
x x? ? ? ? ? ．
整理，得 x2＋x＝0．解得 x1＝0（与点 C 重合，舍去），x2＝－1．
此时 P(－1, 0)．（如图 1 所示）
（i i）当点 Q 在点 P 的左侧时，点 Q 的坐标为(x－2，x2－2x－3)．
将 Q (x－2，x2－2x－3)代入 2
1 3
2
2 2
y x x? ? ? ? ，
得 x2－2x－3＝ 2
1 3
( 2) ( 2) 2
2 2
x x? ? ? ? ? ．
整理，得 3x2－5x－12＝0．解得 x1＝
4
3
? ，x2＝3．
此时 P(
4
3
? ,
13
9
)或(3, 0)．（如图 2 所示）
第 7 题图 1 第 7 题图 2 第 7 题图 3
②当 AC 为平行四边形的对角线时，PQ 与 AC 互相平分．
所以 AC 的中点(1,－3)也是 PQ 的中点．
由中点坐标公式，可知 Q(2－x，－x2＋2x－3)．
将 Q (2－x，－x2＋2x－3)代入 2
1 3
2
2 2
y x x? ? ? ? ，
得－x2＋2x－3＝ 2
1 3
(2 ) (2 ) 2
2 2
x x? ? ? ? ? ．
整理，得 x2＋3x＝0．解得 x1＝0（与点 C 重合，舍去），x2＝－3．
此时 P (－3, 12)．（如图 3 所示）
8
8．（1）设抛物线的交点式为 y＝a(x＋1)(x＋3)，代入点 C(0,－3)，得－3＝3a．
解得 a＝－1．所以 y＝－(x＋1)(x＋3)＝－x2－4x－3．
（2）①第一步，用含 m 的式子表示直线 MN 的解析式．
设直线 MN 的解析式为 y＝kx＋n．
已知 M(m,－m2－4m－3)、N(m＋4,－(m＋4)2－4(m＋4)－3)， 那么
2
2
4 3,
( 4) ( 4) 4( 4) 3.
km n m m
k m n m m
? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ? ? ???
解得
2
2 8,
4 3.
k m
n m m
? ? ??
?
? ? ??
所以直线 MN 的解析式可以表示为 y＝－(2m＋8)x＋m2＋4m－3．
第二步，求 DE 的最大值．
设 D(x,－x2－4x－3)，E(x,－(2m＋8)x＋m2＋4m－3)．
所以 DE＝(－x2－4x－3)－[－(2m＋8)x＋m2＋4m－3]
＝－x2＋2(m＋2)x－m2－4m
＝－[x2－2(m＋2)x＋(m2＋4m＋4)－4]
＝－[x－(m＋2)]2＋4．
当 x＝m＋2 时，DE 取得最大值，最大值为 4．
②如图 1，当 DE 取得最大值时，x＝m＋2 的几何意义是 E 为 MN 的中点．
又因为 D、F 关于点 E 对称，所以 DF 与 MN 互相平分．
所以四边形 MDNF 为平行四边形．
如果四边形 MDNF 为矩形，那么对角线 MN＝DF＝2DE．
由 MN2＝4DE2，得 42＋(8m＋32)2＝4×42＝64．
解得
3
4
2
m ? ? ? （如图 2 所示），或
3
4
2
m ? ? ? （如图 3 所示）．
第 8 题图 1 第 8 题图 2 第 8 题图 3
41
专题训练六 面积的存在性问题
专题攻略
面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：
第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．
第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
课前热身
1．如下左图，计算规则图形的面积用公式．
2．如下中图、右图，计算不规则图形的面积“割”或“补”．
3．如下左图，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
4．如下中图，同底三角形的面积比等于高的比．
5．如下右图，同高三角形的面积比等于底的比．
针对训练
1．如图，矩形 ABCD 的顶点 C 在 y 轴右侧沿抛物线 y＝x2－6x＋10 滑动，在滑动过程
中 CD//x 轴，CD＝1，AB 在 CD 的下方．当点 D 在 y 轴上时，AB 落在 x 轴上．当矩形 ABCD
在滑动过程中被 x 轴分成两部分的面积比为 1:4 时，求点 C 的坐标．
42
2．如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，E、F 分别为 AB、DC 的中点，AB＝4，∠B＝60°．
（1）求点 E 到 BC 边的距离；
（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM⊥BC，垂足为 M，过点 M 作 MN//AB
交线段 AD 于点 N，连接 PN．探究：当点 P 在线段 EF 上运动时，△PMN 的面积是否发生
变化？若不变，请求出△PMN 的面积；若变化，请说明理由．
43
3．如图，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角∠AOB＝90°，点 C 是弧 AB 上的一个动
点，CD⊥OA 于 D，CE⊥OB 于 E，求四边形 ODCE 的面积的最大值．
44
4．如图，抛物线 y＝(x＋m)2＋k 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点 M 的坐标为(1,－4)．
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）设直线 AM 与 y 轴交于点 C，求△BCM 的面积；
（3）在抛物线上是否还存在点 P，使得 S△PMB=S△BCM，如存在，求出点 P 的坐标；如
果不存在，请说明理由．
45
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2
2 4
2
3 3
y x x? ? ? 与 x 轴交于 A、B 两点（A
在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D．设点 P(t, 0)，且 t＞3，如果△BDP 和△CDP 的
面积相等，求 t 的值．
46
6．如图，抛物线 y＝x2－6x＋5 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，设在直线 BC
下方的抛物线上有一点 Q，若 S△BCQ＝15，试求出点 Q 的坐标．
47
7．如图，已知二次函数的图像与 x 轴交于 A、B 两点，D 为顶点，其中点 B 的坐标为
(5,0)，点 D 的坐标为(1, 3)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）试问在该二次函数的图像上是否存在点 G，使得△ADG 的面积是△BDG 面积的
3
5
？若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由．
48
8．已知抛物线 2
3
4
2
y ax x? ? ? 的对称轴是直线 x＝3，与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在
点 A 右侧），与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标；
（2）如图，若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），是否存
在点 P，使四边形 PBOC 的面积最大？若存在，求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大
值；若不存在，请说明理由．
图 1
41
专题训练六 面积的存在性问题
1．1．当 x＝1 时，y＝x2－6x＋10＝5，所以 BC 边的长为 5．
如图 1，当矩形 ABCD 在 x 轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为 1:5 时，
点 C 的纵坐标为 1．
解方程 x2－6x＋10＝1，得 1 2 3x x? ? ．
此时点 C 的坐标为(3，1)．
如图 2，当矩形 ABCD 在 x 轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为 4:5 时，
点 C 的纵坐标为 4．
解方程 x2－6x＋10＝4，得 1 3 3x ? ? ， 2 3 3x ? ? ．
此时点 C 的坐标为(3 3? ，4)或(3－ 3 ，4)．
第 1 题图 1 第 1 题图 2
42
2．（1）如图 1，过点 E 作 EH⊥BC，垂足为 H．
在 Rt△EBH 中，EB＝2，∠B＝60°，所以 BH＝1，EH＝ 3 ．
所以点 E 到 BC 边的距离为 3 ．
（2）如图 2，过点 N 作 NQ⊥BC，垂足为 Q．
在 Rt△NMQ 中，NM＝4，∠NMQ＝60°，所以 MQ＝2．
△PMN 的底边 PM＝ 3 ，PM 边上的高 MQ＝2，所以面积为定值，S＝ 3 ．
第 2 题图 1 第 2 题图 2
43
3．如图 1，图 2，设矩形 ODCE 的对角线交于点 F，那么 OF＝1 为定值．
作 OH⊥DE 于 H，那么 OH≤OF．
因为 DE＝2 为定值，因此当 OH 与 OF 相等时（如图 3），△DOE 的面积最大，最大值
为 1．所以矩形 ODCE 的面积的最大值为 2．
第 3 题图 1 第 3 题图 2 第 3 题图 3
44
4．（1）由 y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，得 A(－1,0)，B(3,0)．
（2）因为 A、M 到 y 轴的距离相等，所以 C 是 AM 的中点．所以 C(0,－2)．
因此 S△BCM＝S△BCA
1
2
AB OC? ?
1
4 2 4
2
? ? ? ? ．
（3）过点 C 作 BM 的平行线与抛物线有两个交点，这两个交点都是符合条件的点 P．
设 P(x, x2－2x－3)，由 PC//BM，得∠CPE＝∠BMF．所以 CE BF
PE MF
? ．
解方程
2 2 3 2 4
2
x x
x
? ? ?
? ，得 2 5x ? ? ．所以 (2 5,2 2 5)P ? ? 或 (2 5,2 2 5)? ? ．
第 4 题图
45
5．如图 1，由 2 2
2 4 2 2 8
2 ( 1)( 3) ( 1)
3 3 3 3 3
y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ，得 B(3, 0)，C(0,－2)，
D
8
(1, )
3
? ．
如图 2，过点 D 作 BC 的平行线交 x 轴于点 P，那么△BDP 和△CDP 是同底等高的两个
三角形，它们的面积相等．
如图 3，作 DH⊥x 轴于 H，由 tan∠HPD＝tan∠OBC，得
2
3
DH CO
PH BO
? ? ．
所以
3 3 8
4
2 2 3
PH DH? ? ? ? ．所以 t＝OP＝1＋4＝5．
第 5 题图 1 第 5 题图 2 第 5 题图 3
46
6．由 y＝x2－6x＋5＝(x－1)(x－5)，得 B(5, 0)，C(0, 5)．
所以 BC＝5 2 ，直线 BC 与 x 轴负半轴的夹角为 45°．
设BC边上的高为h，那么S△BCQ＝
1
5 2
2
h? ＝15．解得 3 2h ? ．
如图1，设y轴上点C下方的点G到直线BC的距离GH＝3 2 ，那么CG＝6，G(0,－1)．
过点G作BC的平行线与抛物线的交点就是要求的点Q，这条直线为y＝－x－1．
解方程组
2
1,
6 5,
y x
y x x
? ? ??
?
? ? ??
得
2,
3,
x
y
??
?
? ??
或
3,
4.
x
y
??
?
? ??
所以Q(2,－3)或(3,－4)．
第 6 题图
47
7．（1）设抛物线的顶点式为 y＝a(x－1)2＋3，代入点 B(5,0)，得 0＝16a＋3．
解得
3
16
a ? ? ．所以 2 2
3 3 3 45
( 1) 3
16 16 8 16
y x x x? ? ? ? ? ? ? ? ．
第 7 题图 1
（2）由 2
3 3 45 3
( 3)( 5)
16 8 16 16
y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ，得 A(－3, 0)．所以 AB＝8．
如图 2 所示，因为△ADG 与△BDG 有公共底边 DG，所以面积比等于高的比．
如果△ADG 的面积是△BDG 面积的
3
5
，那么 A、B 两点到直线 DG 的距离之比等于
3
5
．
设直线 DG 与 x 轴交于点 M，那么
3
5
AM
BM
? ．存在两种情况．
①如图 1，当点 M 在线段 AB 上时，由 AB＝8，得 AM＝3．
所以 M、O 重合．直线 DO 与抛物线的交点就是要求的点 G．
联立 2
3
( 2 15)
16
y x x? ? ? ? 和 3y x? ，消去 y，整理，得 x
2＋14x－15＝0．
解得 x＝－15，或 x＝1（与点 D 重合．）所以 G(－15,－45)，或(1, 3)．
②如图 2，当点 M 在 BA 的延长线上时，AM＝12．所以 M(－15, 0)．
由 D(1, 3)、M (－15, 0)，得直线 DM 的解析式为
3
( 15)
16
y x? ? ．
联立 2
3
( 2 15)
16
y x x? ? ? ? 和
3
( 15)
16
y x? ? ，消去 y，整理，得 x
2－x＝0．
解得 x＝0，或 x＝1（与点 D 重合．）所以 G
45
(0, )
16
，或(1, 3)．
第 7 题图 2
48
8．（1）由抛物线的对称轴为 x＝3，得
3
6
2
a ? ? ．解得
1
4
a ? ? ．
所以抛物线的解析式为 2
1 3 1
4 ( 8)( 2)
4 2 4
y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ，A(－2,0)，B(8,0)，C(0,4)．
（2）存在点 P 使四边形 PBOC 的面积最大．
如图，联结 BC，作 PE⊥x 轴交 CB 于点 E．
由 B(8,0)，C(0,4)，得直线 BC 的解析式为
1
4
2
y x? ? ? ．
设 P(x, 2
1 3
4
4 2
x x? ? ? )，E(x,
1
4
2
x? ? )．
所以 PE＝ 2
1 3
4
4 2
x x? ? ? ?
1
( 4)
2
x? ? ＝ 2
1
2
4
x x? ? ．
所以 S△CPB＝S△PEC＋S△PBE＝
1
( )
2
B CPE x x? ? ? ＝4PE ＝
2 8x x? ? ．
所以 S 四边形 PBOC＝S△CPB＋S△COB＝
2 8x x? ? ＋
1
8 4
2
? ? ＝
2( 4) 32x? ? ? ．
所以当 x＝4 时，S 四边形 PBOC 取得最大值 32，此时 P(4, 6)．
第 8 题图
