第一章整式的乘除
1.5平方差公式
第1课时
一、教学目标
1.掌握平方差公式，能正确利用公式进行计算；
2.通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力．
二、教学重点
重点：平方差公式的理解和应用．
难点：理解平方差公式的结构特征，并会简单应用．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【复习巩固】
1．知识复习——多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．
2.计算下列多项式的积：
（1）(x＋1)(x－1)；（2）(a＋2)(a－2)；（3）(3－x)(3＋x)；（4）(2m＋n)(2m－n)．
解：（1）(x＋1)(x－1)＝x2－1·x＋1·x＋1×（－1）＝x2－1；
（2）(a＋2)(a－2) ＝a2－2·a＋2·a＋2×（－2）＝a2－4；
（3）(3－x)(3＋x) ＝3×3+3·x－x·3－x2=9－x2；
（4）(2m＋n)(2m－n) ＝(2m)2－2m·n＋2m·n＋n·（－n）＝4m2－n2．
设计意图：利用多项式乘以多项式的法则进行运算，发现结果中的规律，既复习上节课知识，又本节课的学习作铺垫．
【探究新知】
1.前面我们学习了整式的乘法，根据整式的乘法法则完成下面的计算：
（1）（x+2）（x-2）； （2）（1+3a）（1-3a）；
（2）（x+5y）（x-5y）； （4）（2y+z）（2y-z）
让学生口答结果：
（1）（x+2）（x-2）=x2-4
（2）（1+3a）（1-3a）=1-9a2
（3）(x+5y)(x-5y)=x2-25y2
（4）（2y+z）（2y-z）=4y2-z2[
2.不计算，你来猜一下下面的式子的结果．
（1）（x+6）（x-6）=x2-36 （2）（a+2）（a-2）=a2-4 （3）（x+y）（x-y）=x2-y2
上述问题中，相乘的两个多项式有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？
总结：
（1）都是乘积的形式．
（2）这两个多项式都有两项，它们有两个数是完全相同的，有两个数是相反的．
（3）结果是这两项的平方差，而且是同号的平方减异号的平方．
追问：你能用字母表示这个规律吗？
用公式描述：(a+b)(a-b)=a2-b2
用文字描述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
这就是我们今天要学习的一个重要公式：平方差公式
设计意图：复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备． 使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述．
三、典例精讲
例1.利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
分析：直接利用平方差公式进行计算即可．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
设计意图：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
例2 利用平方差公式计算：
（1） ； （2）（ab+8）（ab－8）
解： 与y的和与差的积
=- 利用平方差公式得 与y的平方差
= 整理出最后结果
（2）（ab+8）（ab－8） ab与8的和与差的积
= - 利用平方差公式得ab与8的平方差
= 整理出最后结果
设计意图：例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解．
例3．（1）（2a－3b）（2a＋3b）； （2）（－p2＋q）（－p2－q）；
（1）4a2－9b2；（2）原式＝（－p2）2－q2＝p4－q2．
设计意图：针对学生计算中容易出现的问题作进一步练习.
【随堂练习】
1．（1）下列运算中，正确的是（ ）．C
A．（a＋3）（a－3）＝a2－3 B．（3b＋2）（3b－2）＝3b2－4
C．（3m－2n）（－2n－3m）＝4n2－9m2 D．（x＋2）（x－3）＝x2－6
（2）等式(－a－b)( )(a2＋b2)＝a4－b4中，括号内应填( )．A
A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．a＋b
2．若x2－y2＝20，且x＋y＝－5，则x－y的值是___________________．
解：用平方差公式，由x2－y2＝20得，(x＋y)(x－y)＝20，因为x＋y＝－5，所以x－y ＝－4．
设计意图：为学生提供演练机会，加强对平方差公式的理解及记忆．
3．计算：
（1）(x－3)(x2＋9)(x＋3)；（2）(x＋y－1)(x－y＋1)．
解：（1）原式＝[(x－3)(x＋3)](x2＋9)＝(x2－9)(x2＋9)＝x4－81；
（2）原式＝[x＋(y－1)][x－(y－1)]＝x2－(y－1)2＝x2－y2＋2y－1．
4（1）先化简，再求值：2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)，其中x＝2．
（2）化简求值：(1－4y)(1＋4y)＋(1＋4y)2，其中．
解：（1）2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)
＝2(1＋3x)(1－3x)＋(x－2)(x＋2)
＝2(1－9x2)＋(x2－4)
＝2－18x2＋x2－4
＝－17x2－2．
当x＝2时，原式＝－17×22－2＝－17×4－2＝－70．
（2）原式＝1－16y2＋(1＋8y＋16y2)
＝1－16y2＋1＋8y＋16y2
＝2＋8y
当时，．
5．已知下列算式：
32－12＝8＝8×1；
52－32＝16＝8×2；
72－52＝24＝8×3；
92－72＝32＝8×4．
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示，即___________________________________(n为正整数)
解：(1)数的平方差是8的倍数．
（2）用含n的式子表示，即(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n(n为正整数)．
设计意图：通过拓展练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．
六、课堂小结
1、平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差．
2、应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围；
2）字母a、b可以是数，也可以是整式；
3）注意计算过程中的符号和括号.
设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算．
七、板书设计
(
1.5
平方差公式（
1
）
一、平方差公式：
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
．
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
二
、
计算
：
)
(共20张PPT)
第一章整式的乘除
1.5平方差公式
第1课时
学习目标
1.掌握平方差公式，能正确利用公式进行计算.
2.通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力．
1.多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．
复习巩固
复习巩固
2.计算下列多项式的积：
（1）(x＋1)(x－1)； （2）(a＋2)(a－2)；
（3）(3－x)(3＋x)； （4）(2m＋n)(2m－n)．
解：（1）(x＋1)(x－1)＝x2－1﹒x＋1﹒x＋1×（－1）＝x2－1；
（2）(a＋2)(a－2) ＝a2－2﹒a＋2﹒a＋2×（－2）＝a2－4；
（3）(3－x)(3＋x) ＝3×3+3﹒x－x﹒3-x2=9-x2；
（4）(2m＋n)(2m－n) ＝(2m)2－2m﹒n＋2m﹒n＋n﹒（－n）
＝4m2－n2．
1.根据整式的乘法法则完成下面的计算：
（1）（x+2）（x-2）
（2）（1+3a）（1-3a）
（2）（x+5y）（x-5y）
（4）（2y+z）（2y-z）
=x2-4
=1-9a2
=x2-25y2
=4y2-z2
探究新知
2.不计算，你来猜一下下面的式子的结果．
（1）
（2）
（3）
探究新知
上述问题中，相乘的两个多项式有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？
（1）都是乘积的形式．
（2）这两个多项式都有两项，它们有两个数是完全相同的，有两个数是相反的．
（3）结果是这两项的平方差，而且是同号的平方减异号的平方．
这就是我们今天要学习的一个重要公式：平方差公式
探究新知
用公式描述：(a+b)(a-b)=a2-b2
用文字描述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
探究新知
例1 利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5) (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m) (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
＝(3x)2－52
＝9x2－25
＝(－2a)2－b2
＝4a2－b2
＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2
＝(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16
典型例题
例2 利用平方差公式计算：
------- 与y的和与差的积
-------利用平方差公式得 与y的平方差
-------整理出最后结果
探究新知
（1）
（2）（ab+8）（ab－8）
-----利用平方差公式得ab与8的平方差
------整理出最后结果
------ab与8的和与差的积
典型例题
典型例题
例3（1）（2a－3b）（2a＋3b）；
（2）（－p2＋q）（－p2－q）；
解：（1）原式=4a2－9b2；
（2）原式＝（－p2）2－q2＝p4－q2．
随堂练习
1．（1）下列运算中，正确的是（ ）．
A．（a＋3）（a－3）＝a2－3
B．（3b＋2）（3b－2）＝3b2－4
C．（3m－2n）（－2n－3m）＝4n2－9m2
D．（x＋2）（x－3）＝x2－6
（2）等式(－a－b)( )(a2＋b2)＝a4－b4中，括号内应填( )．
A．－a＋b B．a－b C．－a－b D．a＋b
C
A
随堂练习
2．若x2－y2＝20，且x＋y＝－5，则x－y的值是___________．
解：用平方差公式，由x2－y2＝20得，(x＋y)(x－y)＝20，因为x＋y＝－5，所以x－y ＝－4．
-4
随堂练习
3．计算：
（1）(x－3)(x2＋9)(x＋3)；（2）(x＋y－1)(x－y＋1)．
解：（1）原式＝[(x－3)(x＋3)](x2＋9)＝(x2－9)(x2＋9)＝x4－81；
（2）原式＝[x＋(y－1)][x－(y－1)]＝x2－(y－1)2＝x2－y2＋2y－1．
随堂练习
4.（1）先化简，再求值：2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)，其中x＝2．
（2）化简求值：(1－4y)(1＋4y)＋(1＋4y)2，其中 ．
解：（1）2(3x＋1)(1－3x)＋(x－2)(2＋x)
＝2(1＋3x)(1－3x)＋(x－2)(x＋2)
＝2(1－9x2)＋(x2－4)
＝2－18x2＋x2－4
＝－17x2－2．
当x＝2时，原式＝－17×22－2＝－17×4－2＝－70．
随堂练习
（2）原式＝1－16y2＋(1＋8y＋16y2)
＝1－16y2＋1＋8y＋16y2
＝2＋8y
当 时， ．
随堂练习
5．已知下列算式：
32－12＝8＝8×1；
52－32＝16＝8×2；
72－52＝24＝8×3；
92－72＝32＝8×4．
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示，即 (n为正整数)
解：（1）数的平方差是8的倍数．
（2）用含n的式子表示，即(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n(n为正整数)．
1．平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2
公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差．
2．应用平方差公式的注意事项：
（1）注意平方差公式的适用范围；
（2）字母a、b可以是数，也可以是整式；
（3）注意计算过程中的符号和括号．
课堂小结
再 见
