(共26张PPT)
第一章整式的乘除
1.5 平方差公式（2）
学习目标
1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想；
2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.
1．平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 ．
2．公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差．
3．应用平方差公式的注意事项：
(1)注意平方差公式的适用范围；
(2)字母a，b可以是数，也可以是整式；
(3)注意计算过程中的符号和括号．
复习巩固
在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：
1．21×19=？ 2．103×97=？
主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出．
同学们，你知道他是如何计算的吗？
问题情境
问题1：如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
a
b
a
b
a2-b2
(a+b)(a-b)
探究新知
(a+b)(a-b)=
a2-b2
问题2：相邻两个自然数的乘积
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点
63
64
143
144
6399
6400
一个自然数的平方比它相邻两数的积大1
探究新知
是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，
则有(a+1)(a－1)=a2－1．
探究新知
例1．用平方差公式进行计算：
（1）103×97
解：∵103=100+3，97=100－3，
∴103×97
=（100+3）（100-3）
=1002-32
=9991
典型例题
（2）118×122
解： ∵ 118=120－2，122 = 120+2．
∴ 118×122
=(120－2)(120+2)
=1202－4
=14400－4
=14396
典型例题
例2．计算：
（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2； （2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4
=(2x)2－52－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x-25
典型例题
例3.计算
(1)704×696 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
(3)x(x－1)－(x－ )(x+ )
=(700+4)(700－4)
=490000－16
=489984
=(x2－4y2)+(x2－1)
=x2－4y2+x2－1
=2x2－4y2－1
=(x2－x)－［x2－( )2］
=x2－x－x2+ = －x
典型例题
典型例题
例4.（1）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )
A．(－a－b)(a－b) B．(c2－d2)(d2+c2)
C．(x3－y3)(x3+y3) D．(m－n)(－m+n)
（2）用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是( )
A．x4－1 B．x4+1
C．(x－1)4 D．(x+1)4
D
A
典型例题
（3）下列各式中，结果是a2－36b2的是( )
A．(－6b+a)(－6b－a) B．(－6b+a)(6b－a)
C．(a+4b)(a－4b) D．(－6b－a)(6b－a)
例5．（1）(5x+3y)·( )=25x2－9y2
（2）(－0.2－0.4y)( )=0.16y2－0.04x2
（3）(－ x－11y)( )=－ x2+121y2
（4）若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2，则A= ，B= ．
D
5x－3y
0.2x－0.4y
4n
7m
例6．公式的逆用
(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便．
解：(1)(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
典型例题
随堂练习
1．（1）对于任意整数n，能整除代数式 的整数是（ ）．
A．4 B．3 C．5 D．2
（2）在 的计算中，第一步正确的
是（ ）．
A． B．
C． D．
C
C
随堂练习
（3） ，则
（4）
．
4b
3a
0.9999
随堂练习
2．计算：
（1） ；
（2） ；
解：（1）1；（2） ；
随堂练习
3．计算
(1)(2x2+3y)(3y－2x2)．
(2)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5)．
(3)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3)．
解．(1)9y2－4x4 (2)p4－29p2+100 (3)x2y－10
随堂练习
4．已知x2－2x=2，将下式先化简，再求值.
(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)
解：原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=1
5．解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1
4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1
6x=12
x=2
随堂练习
6．利用平方差公式计算：
(1)20 ×19 ； (2)13.2×12.8．
分析：(1)把20 ×19 写成(20＋ )×(20－ )，然后利用平方差公式进行计算；
(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．
随堂练习
解：(1)20 ×19
＝(20＋ )×(20－ )
＝202－( ) 2
＝400－
＝399
(2)13.2×12.8
＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝169－0.04
＝168.96
随堂练习
7.计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1．
分析：先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式．
解：原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)
=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=
=1981045
随堂练习
8．王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
分析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16．
∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
随堂练习
1．设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1．
2．应用平方差公式的注意事项：
（1）注意平方差公式的适用范围；
（2）字母a、b可以是数，也可以是整式；
（3）注意计算过程中的符号和括号．
课堂小结
再 见
第一章 整式的乘除
1.5平方差公式（2）
一、教学目标
1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想；
2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.
二、教学重点及难点
重点：利用平方差公式进行简便运算．
难点：利用几何知识探索平房差公式，培养数形结合的思想.
准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【复习回顾】
1．回顾上节课平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
2．公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；
右边是两数的平方差．
3．应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
【问题情境】
在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：
1． 2．
主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？
这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因．
设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.
【探究新知】
问题1：如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
（1）请表示图中阴影部分的面积．
提示：a2-b2
（2）如果将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
提示：长是a+b，宽是a-b；面积是（a+b）﹒（a-b）
比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
（a+b）﹒（a-b）= a2-b2
设计意图：会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景．
问题2：相邻两个自然数的乘积
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
探究： (1)中算式算出来的结果如下
从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．
问题3.是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
再找几个例子：
发现：对于所有的自然数都有上述规律．
问题4：你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1．
这个结论的正确性，用平方差公式可以说明．
设计意图：通过具体数的运算、发现规律、建立猜想、符号表示、证明或说明，让学生经历数学的探究与发现过程．
三、典例精讲
例1． 用平方差公式进行计算：
（1）103×97；（2）118×122．
解：（1）∵103=100+3，97=100－3，
∴103×97
=（100+3）（100-3）
=1002-32
=9991．
（2）118=120－2，122=120+2．
118×122
=(120－2)(120+2)
=1202－4
=14400－4
=14396．
设计意图：结合课本例题，让学生熟悉平房差公式，能进行简便运算．
例2．计算：
（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)．
分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定
解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4．
(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=(2x)2－52－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x-25．
设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．
例3.计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
(3)x(x－1)－(x－)(x+)
解：(1)704×696=(700+4)(700－4)
=490000－16=489984
(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
=(x2－4y2)+(x2－1)
=x2－4y2+x2－1
=2x2－4y2－1
(3)x(x－1)－(x－)(x+)
=(x2－x)－［x2－()2］
=x2－x－x2+=－x
设计意图：平方差公式的综合运用，要能正确辨析平方差公式.
例4.（1）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )D
A．(－a－b)(a－b) B．(c2－d2)(d2+c2)
C．(x3－y3)(x3+y3) D．(m－n)(－m+n)
（2）用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是( )A
A．x4－1 B．x4+1
C．(x－1)4 D．(x+1)4
（3）下列各式中，结果是a2－36b2的是( )D
A．(－6b+a)(－6b－a) B．(－6b+a)(6b－a)
C．(a+4b)(a－4b) D．(－6b－a)(6b－a)
例5．（1）(5x+3y)·( )=25x2－9y2 (5x－3y)
（2）(－0.2x－0.4y)( )=0.16y2－0.04x2 (0.2x－0.4y)
（3）(－x－11y)( )=－x2+121y2 (x－11y)
（4）若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2，则A= ，B= ．A=4n，B=7m
例6．公式的逆用
(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便．
解：(1)(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
【随堂练习】
1．（1）对于任意整数n，能整除代数式的整数是（ ）．C
A．4 B．3 C．5 D．2
（2）在的计算中，第一步正确的是（ ）．C
A． B．
C． D．
（3），则
（4）．0.9999
2．计算：
（1）；
（2）；
解：（1）1；（2）；
3．计算
(1)(2x2+3y)(3y－2x2)．
(2)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5)．
(3)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3)．
解．(1)9y2－4x4 (2)p4－29p2+100 (3)x2y－10
4．已知x2－2x=2，将下式先化简，再求值
(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)
解：原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=1
设计意图：通过练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．
5.解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1
4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1
6x=12 x=2
设计意图：平方差公式在解方程中的应用.
6．利用平方差公式计算：
(1)20×19； (2)13.2×12.8．
分析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13．2×12．8写成(13＋0．2)×(13－0．2)，然后利用平方差公式进行计算．
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝202－()2＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96．
设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．
7.计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1．
分析：先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式．
解：原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)
=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=
=1981045
设计意图：平方差公式的灵活运用.
8.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
分析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16．∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
设计意图：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．
六、课堂小结
1．设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)
=a2－1．
2．应用平方差公式的注意事项：
（1）注意平方差公式的适用范围
（2）字母a、b可以是数，也可以是整式
（3）注意计算过程中的符号和括号
设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算．
七、板书设计
a
b
a
b
1.5平方差公式
1. 方法1：a2-b2
方法2.长是a+b，宽是a-b；面积是（a+b）﹒（a-b）
（a+b）﹒（a-b）= a2-b2
2.计算：
