第一章整式的乘除
1.6完全平方公式（1）
一、教学目标
1.掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算；
2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景．
二、教学重点及难点
重点：弄清完全平方公式的结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点并会应用；
难点：熟练用完全平方公式进行运算．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
列出下列代数式吗？
（1）两数和的平方；
（2）两数差的平方；
你能计算出他们的结果吗？ 提示：；
．
（3）根据乘方的定义，我们知道：，那么应该写成什么样的形式呢？的运算结果有什么规律？
今天我们来探究这一问题．
设计意图：通过对比复习旧知识，引出新知识点．
【探究新知】
探究一、完全平方公式
活动1.计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
学生讨论，师生共同归纳，得出结果：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
分析计算结果，寻找规律：结果中有两个数的平方和，而2p＝2·p·1，4m＝2·m·2，恰好是两个数乘积的2倍；（1）与（3），（2）与（4）之间只差一个符号．
活动2.计算推广：计算；．
学生独立完成得到结果：
；
．
总结具有上述形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，得到完全平方公式：
；
．
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
活动3.引导学生观察公式的左右边，进一步挖掘公式的结构特征
①公式左边是一个二项式的完全平方．
②公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方）．
（1）；
（2）．
答案：①x，6；．
设计意图：通过计算得出完全平方公式，多层面多方位考察完全平方公式，加深理解
探究二、几何解析
你能根据图（1）和图（2）的面积说明完全平方公式吗？
图1大正方形的边长为(a＋b)，面积就是，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为，ab，ab，，因此，整个面积为，
即说明．
类似地可由图2说明．
设计意图：通过学生动手计算、讨论、交流，推导出完全平方公式，培养学生的代数推理能力，并从几何角度对公式进行解释，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．
【典型例题】
例1．用完全平方公式计算：
(1) (2x?3)2 ； (2) (4x+5y)2 ； (3) (mn?a)2
分析：找准与公式中与a，b对应因式，代入公式计算．
解：（1）(2x?3)2= (2x)2-2(2x)(3)+ (-3)2
=4x2-12x+9
（2）(4x+5y)2 =(4x)2-2(4x)(5y)+ (5y)2
=16x2-40xy+25y2
（3）(mn?a)2 =(mn)2-2mna+a2
=m2n2-2mna+a2
例2．运用完全平方公式计算：
（1）；（2）．
解：（1）；
（2）．
设计意图：通过将算式中的各项与公式里的a，b进行对照，进一步体会字母a，b的含义，加深对字母含义广泛性的理解．
例3.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61．
设计意图：认清完全平方式的特点：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式；注意积的2倍的符号，避免漏解．
例4.（1）下列等式能成立的是( )．C
A．(a-b)2＝a2-ab+b2 B．(a+3b)2＝a2+9b2
C．(a+b)2＝a2+2ab+b2 D．(x+9)(x-9)＝x2-9
（2）(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( )．C
A．8(a-b)2 B．8(a+b)2
C．8b2-8a2 D．8a2-8b2
（3）在括号内选入适当的代数式使等式·( )＝成立．A
A． B． C． D．
（4）(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是( )．B
A．-25x4-16y4 B．-25x4+40x2y2-16y2
C．25x4-16y4 D．25x4-40x2y2+16y2
设计意图：完全平方公式的灵活运用.
四、课堂练习
1.（1）计算，其结果为（ ）A
A． B． C． D．
（2）如果是完全平方公式，则的值为（ ）C
A．1 B． C． D．0
（3）等于（ ）A
A． B．
C． D．
（4）等于（ ）D
A． B．
C． D．
2.（1）(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ 24xy
（2）(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝ 9a4+2a2+1
（3）( )-24a2c2+( )＝( -4c2)2 9a4，16c4，3a2
设计意图：提高学生灵活运用完全平方公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．
3.利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2．
4．下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6．
解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．故填20．
设计意图：结合教材上的读一读，让学生明确对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
六、课堂小结
1． 完全平方公式和平方差公式不同：
（1）形式不同．
（2）结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 (a b)2＝a2 2ab+b2；
平方差公式的结果是两项，即(a+b)(a?b)＝a2?b2．
2． 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边， 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2．
设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握完全平方公式，并能灵活地运用公式进行计算．
(
1.5完全平方公式（1）
一
、
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加
上
（或减
去
）它们的积的
2
倍
．
；
．
二
、
练习
：
)七、板书设计
(共22张PPT)
第一章整式的乘除
1.6 完全平方公式
学习目标
1.掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算；
2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景．
你能列出下列代数式吗？
（1）两数和的平方；
（2）两数差的平方；
你能计算出他们的结果吗？
（3）根据乘方的定义，我们知道： ，那么 应该写成什么样的形式呢？ 的运算结果有什么规律？
复习巩固
（1）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①
②
③
④
结果中都有两个数的平方和，而①②中间项2p＝2·p·1，4m＝2·m·2，恰好是两个数乘积的2倍；
①与③，②与④中间项符号相反．
探究新知
（2）推广计算：
得到结果：
；
即：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
探究新知
（3）进一步挖掘公式的结构特征
①公式左边是一个二项式的完全平方．
②公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方）．
（1）
（2）
x
6
探究新知
几何解析：你能根据图1和图2的面积说明完全平方公式吗？
探究新知
图1大正方形的边长为(a＋b)，面积就是 ，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为 ，ab，ab， ，因此，整个面积为 ，即说明 ．
类似地可由图2说明 ．
探究新知
例1．用完全平方公式计算：
(1) (2x?3)2 ； (2) (4x－5y)2 ； (3) (mn?a)2
分析：找准与公式中a，b对应因式，代入公式计算．
解：
（1）(2x?3)2
= (2x)2-2(2x)(3)+ (-3)2
=4x2-12x+9
（2）(4x－5y)2
=(4x)2-2(4x)(5y)+ (5y)2
=16x2-40xy+25y2
（3）(mn?a)2
=(mn)2-2mna+a2
=m2n2-2mna+a2
典型例题
例2．运用完全平方公式计算：
（1） ； （2） ．
分析：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样，先把要计算的式子与完全平方公式对照，明确哪个是a，哪个是b．
（1）中可把4m看成a，n看成b；
（2）中可把y看成a， 看成b．
典型例题
解：（1）
（2）
典型例题
典型例题
例3.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61．
典型例题
例4.（1）下列等式能成立的是( )．
A．(a-b)2＝a2-ab+b2 B．(a+3b)2＝a2+9b2
C．(a+b)2＝a2+2ab+b2 D．(x+9)(x-9)＝x2-9
（2）(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( )．
A．8(a-b)2 B．8(a+b)2
C．8b2-8a2 D．8a2-8b2
C
C
典型例题
（3）在括号内选入适当的代数式使等式 ·( )＝
成立．
A． B． C． D．
（4）(5x2-4y2)(-5x2+4y2)运算的结果是( )．
A．-25x4-16y4 B．-25x4+40x2y2-16y2
C．25x4-16y4 D．25x4-40x2y2+16y2
A
B
随堂练习
1.（1）计算 ，其结果为（
A． B．
C. D．
（2）如果 是完全平方公式，则a的值为（ ）
A．1 B．
C． D．0
A）
C
随堂练习
（3） 等于（ ）
A． B．
C． D．
（4） 等于（ ）
A． B．
C． D．
A
D
随堂练习
2.（1）(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ ；
（2）(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝ ；
（3）( )-24a2c2+( )＝( -4c2)2
24xy
9a4+2a2+1
9a4
16c4
3a2
随堂练习
3.利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2．
4．下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，
填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋___a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6．
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
随堂练习
随堂练习
解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．故填20．
完全平方公式
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
课堂小结
再 见
