第一章整式的乘除
1.6完全平方公式（2）
一、教学目标
1．通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系．
2．运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，提高最基本的运算技能．
3．进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．
二、教学重点及难点
重点：1．巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系．
2．熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义．
难点：熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【复习回顾】
一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少平方厘米？
提示：原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a－2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4，所以面积减少了(4a－4)平方厘米．
设计意图：解决问题的过程中我们用到了完全平方公式，这节课我们继续探究巩固完全平方公式的应用．
【问题情境】
老师给学生出了两道抢答题，看哪个学生做的快：
1．1022＝？ 2．1972＝？
老师题目刚在黑板上写完，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于10404，第二题等于38809．”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？
这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能这位同学一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因．
设计意图：通过速算问题情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课．
【探究新知】
活动1.怎样计算1022，1972更简便呢？你是怎样做的？与同伴进行交流．
提示：由前面学习平方差公式的应用，就联想能不能用完全平方公式计算呢? 把1022 改写成(a+b)2还是(a?b)2 ?于是
1022 =(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=1000+400+4
=10404
1972 =(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=4000-1200+9
=38809
由此联想到：靠近10的整数次幂的数的平方，可以借助完全平方式进行快速运算．
用字母表示为：设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有：
(a-1)2 =a2－2a+1 ，(a+1)2 =a2+2a+1．
设计意图：能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习．
活动2．老人分糖
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……
(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
分析：根据题意，可知：
第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所以一共发了a2块糖．
第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖．
第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖．
前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab．由于a>0，b>0，所以2ab>0．
由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果．
讨论：为什么会多出2ab块糖果呢？
下面讨论多出2ab块糖的原因：
对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；
同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块．
因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块．
设计意图：通过此游戏充分说明了(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2≠a2+b2．
【典型例题】
例1．计算：(1) (x+3)2 - x2 (2) (a+b+3)(a+b-3)
（3）(x+5)2–(x-2)(x-3)
解: (1)(x+3)2-x2
=x2＋6x+9-x2
=6x+9
（2）(a+b+3)(a+b-3)
=[(a+b)+3][(a+b)-3]
=(a+b)2-32
=a2+2ab+b2-9
（3）(x+5)2–(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6)
=x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
设计意图：通过此例可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用．
例2.利用完全平方公式计算：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）；
（2）；
（3）．
设计意图：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现的错误．
例3.（1）若a2+b2=2，a+b=1，则ab的值为( )B
A．-1 B．- C．- D．3
（2）已知x-y=4，xy=12，则x2+y2的值是( )B
A．28 B．40 C．26 D．25
例4．（1）(a-b)2+________=(a+b)2，x2+ +__________=(x-_____)2．4ab，2，
（2）如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=_________．±6
例5.计算：（1）；（2）；（3）．
解：（1）
（2）原式
或原式=
（3）原式
或原式
设计意图：完全平方公式的灵活应用.
例6. 用乘法公式计算：
(1)20022
(2) 20202-4040×2019+20192．
解：(1) 原式=（2000+2）2
=20002+2×2×2000+22
=4000000+8000+4
=4008004
(2)原式=20202-2×2020×2019+20192
=（2020-2019）2
=12．
例7.利用整式乘法公式计算：
(a－b－3)(a－b+3)
解：(a－b－3)(a－b+3)
=［(a－b)－3］［(a－b)+3］
=(a－b)2－32
=a2－2ab+b2－9
设计意图：考查学生的计算能力，解题的关键是将各式化为平方差公式或者完全平方公式进行运算.
【随堂练习】
1．选择题
(1)下列等式成立的是( )C
A、(a－b)2=a2－ab+b2 B、(a+3b)2=a2+9b2
C、(a+b)2=a2+2ab+b2 D、(x+9)(x－9)=x2－9
(2)(a+3b)2－(3a+b)2计算结果是( )C
A．8(a－b)2 B．8(a+b)2 C．8b2－8a2 D．8a2－8b2
(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是( )B
A．－25x4－16y4 B．－25x4+40x2y2－16y4
C．25x4－16y2 D．25x4－40x2y2+16y4
(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是( )C
A．(x2y2－1)2 B．(x2y+1)2
C．(x2y－1)2 D．(－x2y－1)2
2．填空题
(1)(4a－b2)2=_______________．16a2－8ab2+b4
(2)(－m－1)2=________________．m2+m+1
(3)(m+n+1)(1－m－n)=________________．1－m2－2mn－n2
(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B，则A=___________，B=________________．－b2 b4
(5)(a+2b)2－_____________=(a－2b)2．8ab
3．已知，a+b=8，ab=24．求(a2+b2)的值．8
解：a2+b2=（a+b）2-2ab=64+48=16， =8.
4．已知x+=4，求x2+的值.
解：由x+=4，得(x+)2=16．
x2+2+=16．所以x2+=16－2=14．
5．已知：x2－2x+y2+6y+10=0，求x+y的值．-2
解：∵x2-2x+1+y2+6y+9=0， ∴（x-1）2+（y+3）2=0，
∵x+1=0，y-3=0，
∴x=-1，y=3．
6． 利用完全平方公式进行计算：（1）；（2）；（3）
解：（1）；
（2）．
（3）＝
7．已知，求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）．
解：（1）
（2）
（3）
设计意图：结合学生情况进行综合练习，巩固完全平方公式的灵活应用.
六、课堂小结
1． 完全平方公式的应用：
（1）快速运算：
靠近10的整数次幂的数的平方，可以借助完全平方式进行快速运算
（2）通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式．
2．在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系．
设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握完全平方公式，并能灵活地运用公式进行计算．
七、板书设计
(
1.6完全平方公式（2）
一、
102
2
=(
100
+
2
)
2
二、练习：
=
100
2
+
2
×
100
×
2
+
2
2
=
1000
+
400
+
4
=
10404
197
2
=(
200
-
3
)
2
=
200
2
-
2
×
200
×
3
+
3
2
=
4000
-
1200
+
9
=
38809
)
(共24张PPT)
第一章整式的乘除
1.6完全平方公式（2）
学习目标
1．通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2，同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系；
2．运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，提高最基本的运算技能；
3．进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．
复习回顾
一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少平方厘米？
提示：原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a－2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4，所以面积减少了(4a－4)平方厘米．
老师给学生出了两道抢答题，看哪个学生做的快：
1．1022＝？ 2．1972＝？
老师题目刚在黑板上写完，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于10404，第二题等于38809．”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？
这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能和这位同学一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因．
问题情境
怎样计算1022，1972更简便呢？你是怎样做的？
由前面学习平方差公式的应用，就联想能不能用完全平方公式计算呢?
把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a?b)2 ?
1022 =(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=1000+400+4
=10404
1972 =(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
探究新知
探究新知
靠近10的整数次幂的数的平方，可以借助完全平方式进行快速运算．
用字母表示为：设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有：
(a-1)2 =a2－2a+1 ，(a+1)2 =a2+2a+1．
老人分糖
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……
(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
探究新知
(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多
多少？为什么？
分析：根据题意，可知：
第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所以一共发了a2块糖．
第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖．
第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖．
探究新知
前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为
(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab．
由于a＞0，b＞0，所以2ab＞0．
由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果．
探究新知
例1. 计算：
(1)(x+3)2-x2
=x2＋6x+9-x2
=6x+9
（2）(a+b+3)(a+b-3)
=[(a+b)+3][(a+b)-3]
=(a+b)2-32
=a2+2ab+b2-9
（3）(x+5)2–(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6)
=x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
典型例题
典型例题
例3.（1）若a2+b2=2，a+b=1，则ab的值为( )
A．-1 B． C． D．3
（2）已知x-y=4，xy=12，则x2+y2的值是( )
A．28 B．40 C．26 D．25
B
B
典型例题
例4．（1）(a-b)2+________=(a+b)2，
x2+ +__________=(x-_____)2．
（2）如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=_________．
4ab
2
±6
典型例题
例6. 用乘法公式计算：
(1)20022
(2) 20202-4040×2019+20192．
解：(1) 20022=（2000+2）2
=20002+2×2×2000+22
=4000000+8000+4
=4008004
(2) 20202-4040×2019+20192
=20202-2×2020×2019+20192
=（2020-2019）2
=12．
例7.利用整式乘法公式计算：
(a－b－3)(a－b+3)
解：(a－b－3)(a－b+3)
=［(a－b)－3］［(a－b)+3］
=(a－b)2－32
=a2－2ab+b2－9
典型例题
随堂练习
1．选择题
(1)下列等式成立的是( )
A.(a－b)2=a2－ab+b2 B.(a+3b)2=a2+9b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(x+9)(x－9)=x2－9
(2)(a+3b)2－(3a+b)2计算结果是( )
A．8(a－b)2 B．8(a+b)2 C．8b2－8a2 D．8a2－8b2
C
C
随堂练习
(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是( )
A．－25x4－16y4 B．－25x4+40x2y2－16y4
C．25x4－16y2 D．25x4－40x2y2+16y4
(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是( )
A．(x2y2－1)2 B．(x2y+1)2
C．(x2y－1)2 D．(－x2y－1)2
B
C
随堂练习
2．填空题
(1)(4a－b2)2=_______________．
?(2)(－ m－1)2=________________．
(3)(m+n+1)(1－m－n)=________________．
(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B，则A=_____， B=__________．
(5)(a+2b)2－_____=(a－2b)2．
16a2－8ab2+b4
m2+m+1
1－m2－2mn－n2
-b2
b4
8ab
随堂练习
3．已知，a+b=8，ab=24．求 (a2+b2)的值．
解：a2+b2=（a+b）2-2ab=64+48=16，
随堂练习
4．已知x+ =4，求x2+ 的值.
解：由x+ =4，得(x+ )2=16．
x2+2+ =16．所以x2+ =16－2=14．
随堂练习
5．已知：x2－2x+y2+6y+10=0，求x+y的值．
解：∵x2-2x+1+y2+6y+9=0， ∴（x-1）2+（y+3）2=0，
∵x+1=0，y-3=0，
∴x=-1，y=3．
随堂练习
6． 利用完全平方公式进行计算：
（1） ；（2） ；（3）
解：（1） ；
（2） ；
（3）
=
随堂练习
7．已知 ，求下列各式的值．
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1）
（2）
（3）
1．完全平方公式的应用：
（1）快速运算：靠近10的整数次幂的数的平方，可以借助完全平方式进行快速运算．
（2）通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式．
2．在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系．
课堂小结
再 见
