人教A版数学选修2-3 1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计的综合应用 课件（66张）

(共66张PPT)
第2课时　
分类加法计数原理与分步乘法
计数原理的综合应用　
类型一　数字问题
【典例1】(1)从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的三位数的个数为 (　　)
A.13　　 B.16　　 C.18　　 D.19
(2)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位
偶数的个数为 (　　)
A.324　　 B.328　　　C.360　 D.648
【解题指南】(1)先分类,再把这三个数写成三位数.
(2)按照数字0是否在个位分成两类:0在个位,0不在个
位.
【解析】(1)选D.分两类(按照凑出和为9的三个数分类),
①有重复数字的数组
3,3,3;1,4,4;2,2,5;
②没有重复数字的数组
2,3,4;1,3,5;
由有重复数字的数组得到的三位数为333,144,414,441,225,252,522,共7个.
由没有重复数字的数组得到的三位数,
从2,3,4三个数字中选一个作为百位数字,有3种方法,
从余下的两个数字中选一个作为十位数字,有2种方法,
余下的一个数字作为个位数字,有1种方法,所以由数组
2,3,4得到的三位数有3×2×1=6个,
同理由数组1,3,5得到的三位数也有6个,
所以所求的三位数的个数为7+6+6=19.
(2)选B.首先应考虑“0”是特殊元素,
①当0在个位时,从其余9个数字中选取一个作为百位数字,有9种方法,从余下8个数字中取一个作为十位数字,有8种方法,所以这样的三位数有9×8=72个,
②当0不在个位时,从2,4,6,8中选一个作为个位数字,有4种方法,从余下的三个偶数数字和1,3,5,7,9中选一个作为百位数字,有8种方法,最后从余下的7个数字加上0中选一个作为十位数字,有8种方法,所以0不在个位的三位数有4×8×8=256个,
所以由分类计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328个.
【方法总结】用两个原理解决数字问题的方法
1.从数位入手,一般按照首位或末位数字分类.(例如:0不能在首位,偶数时要求个位数字是偶数,奇数时要求个位数字为奇数等)
2.在每一类中再确定各个数位的方法数,常常按特殊位置或特殊元素优先的策略分步完成.
【跟踪训练】
1.(2019·东营高二检测)回文数是指从左到右读与从
右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.
显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90
个101,111,121,…,191,202,…,999.则5位回文数有
________个.?
【解析】第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字
相同,有9种选法;第二步,选左边第二个数字和右边第
二个数字相同,有10种选法;第三步,选左边第三个数字
就是右边第三个数字,有10种选法,故5位回文数有
9×10×10=900(个).
答案:900
2.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个.?
【解析】按照数字2出现的次数分为三类:
第一类:一个2,三个3,
分两步,先确定2的位置,有4种方法,再确定3个3的位置,有1种方法,所以共有4个四位数.
第二类:两个2,两个3,
分两步,先确定两个2的位置,22**,2*2*,2**2,*22*,*2*2,**22,有6种方法,再确定2个3的位置,有1种方法,所以共有6个四位数.
第三类:三个2,一个3,和第一类的结果相同,也是4个.
所以由分类加法计数原理得这样的四位数共有4+6+4=14个.
答案:14
3.用0,1,2,3,4这5个数字可以组成多少个按下列要求的无重复数字?
(1)四位密码.
(2)四位数.
(3)四位奇数.
【解析】(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件
事,分为四个步骤:
第一步,取左边第一位上的数字,有5种选取方法;
第二步,取左边第二位上的数字,有4种选取方法;
第三步,取左边第三位上的数字,有3种选取方法;
第四步,取左边第四位上的数字,有2种选取方法.
由分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120(个).
(2)方法一:完成“组成无重复数字的四位数”这件事分为四个步骤:
第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有4种选取方法;
第二步、第三步、第四步与(1)类似,分别有4,3,2种选取方法.
由分步乘法计数原理知,可以组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96(个).
方法二:与第(1)问的区别在于:四位密码首位可以是0,而四位数首位不可以为0. 因此,只需求首位为0的四位密码有多少个,由(1)的总数减去首位为0的个数即为所求.
当首位是0时,第二位有4种选取方法,第三位有3种选取方法, 第四位有2种选取方法,由分步乘法计数原理知,首位是0的四位密码共有1×4×3×2=24(个).
故无重复数字的四位数共有120-24=96(个).
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,分两类方案.
第一类:这个四位奇数的个位数字是1,分三个步骤去完成.
第一步,选取千位上的数字,有3种(从2,3,4中选)不同选法;
第二步,选取百位上的数字,有3种不同选法;
第三步,选取十位上的数字,有2种不同选法.
由分步乘法计数原理知,该类中四位奇数共有1×3×3×2=18(个).
第二类:这个四位奇数的个位数字是3,也是分三个步骤去完成.
具体求法与个位数字是1时完全一样,因而这样的奇数也是18个, 由分类加法计数原理知,共可组成无重复数字的四位奇数18+18=36(个).
【补偿训练】一个小朋友用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9写
出的两位数中5的倍数有________个 (　　)?
A.18　　　　B.19　　　　C.20　　　　D.21
【解析】选A.因为一个两位数是5的倍数的条件是个位数字为5的倍数,即0,5,所以完成这件事分两个步骤,第一步写个位数字,从0,5中选一个,有2种方法,第二步,从1,2,3,4,5,6,7,8,9中选一个,有9种方法,所以由分步乘法计数原理得他写出的两位数中5的倍数有2×9=18个.
类型二　染色问题
【典例2】(1)如图,用赤橙黄绿青蓝紫7种颜色给A,B,C,D
染色,相邻的两块不能同色,则不同的染色方法有
________种 (　　)?
A B C D
A.1 512　 B.2 401　　
C.14 384　 D.840
【解题指南】分4个步骤:按照顺序A,B,C,D依次涂色.
【解析】选A.分4个步骤:
第一步,涂A,从7种颜色中选一种,有7种方法,第二步,涂B,从余下的6种颜色中选一种,有6种方法,
第三步,涂C,从与B颜色不同的6种颜色中选一种,有6种方法,
第四步,涂D,从与C颜色不同的6种颜色中选一种,有6种方法,所以由分步乘法计数原理得不同的染色方法有7×6×6×6=1 512种.
(2)如图所示的4块试验田,现有4种不同
的作物可供选择种植,每块试验田种植
一种作物,相邻的试验田(有公共边)不
能种植同一种作物,则不同的种植方法有________
种. ?
【解题指南】可分类完成此事件:A,D种相同作物,A,D种不同作物两类.
【解析】依题意,可分两类
第一类:若A,D种植同种作物,则A,D有4种不同的种法,B有3种种植方法,C也有3种种植方法,由分步乘法计数原理,共有4×3×3=36种种植方法.
第二类:若A,D种植不同作物,则A有4种种植方法,D有3种种植方法,B有2种种植方法,C有2种种植方法,由分步乘法计数原理,共有4×3×2×2=48种种植方法.综上所述,由分类加法计数原理,共有N=36+48=84种种植方法.
答案:84
【易错提醒】(1)容易出现选D的错误,忽略了题中所给的条件是相邻的两块不同色,但是不相邻的可以同色,也可以不同色,误以为四块的颜色各不相同.
(2)容易出现答案为72或108的错误,
误解1:A有4种种法,B有3种种法,C有3种种法,D有2种种法,所以答案为4×3×3×2=72.
误解2:A有4种种法,B有3种种法,C有3种种法,D有3种种法,所以答案为4×3×3×3=108,误解1有遗漏,误解2有重复.
【方法总结】涂色问题的三种求解方法
(1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法
计数原理分析.
(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”
问题,用分类加法计数原理分析.
(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.
【跟踪训练】
1.现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂
色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的
涂色方法有________种.?
【解析】根据题意,分4步进行分析:对于A部分,有5种颜色可选,即有5种情况;
对于B部分,与A部分有公共边,有4种颜色可选,即有4种情况;
对于C部分,与A,B部分都有公共边,有3种颜色可选,即有3种情况;对于D部分,与A,C部分都有公共边,有3种颜色可选,即有3种情况;则不同的涂色方法有5×4×3×3=180(种).
答案:180
2.如图所示,用5种不同的颜料给4块图形 (A,B,C,D)涂
色,要求共边两块颜色互异,求有多少种不同的涂色方
案.
【解析】方法一:按A,C颜色相同或不同进行分类.
若A,C颜色相同,则A有5种涂色方法,B有4种涂色方法,D
有4种涂色方法,故共有5×4×4=80(种)涂法.
若A,C颜色不同,则A有5种涂色方法,C有4种涂色方法,B
有3种涂色方法,D有3种涂色方法,故共有5×4×3×3=
180(种)涂法.
根据分类加法计数原理,共有80+180=260(种)不同的涂色方案.
方法二:按涂色种类进行分类.
第一类:涂4种颜色,分四步,A有5种涂法,B有4种涂法,C有3种涂法,D有2种涂法.
故共有5×4×3×2=120(种)涂法.
第二类:涂3种颜色,则A,C颜色相同或B,D颜色相同.
当A,C颜色相同时,A,C有5种涂法,B有4种涂法,D有3种
涂法.
故共有5×4×3=60(种)涂法.
当B,D颜色相同时,同理也有60种不同的涂法.
故共有60+60=120(种)涂法.
第三类:涂2种颜色,则A,C颜色相同,B,D颜色相同,A,C有5种涂法,B,D有4种涂法.
故共有5×4=20(种)涂法.
根据分类加法计数原理,共有120+120+20=260(种)不同的涂色方案.
类型三　两个计数原理的综合应用
【典例3】(1)某地政府召集5家企业的负责人开会,其
中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有
3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数
为 (　　)
A.14　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.48
(2)(2019·菏泽高二检测)某学校高二年级有12名语文
教师、13名数学教师、15名英语教师,市教育局拟召开
一个新课程研讨会.
①若选派1名教师参会,有多少种派法?
②若三个学科各派1名教师参会,有多少种派法?
③若选派2名不同学科的教师参会,有多少种派法?
【解题指南】(1)可以分成两类,一类是甲企业有1人发言另两个发言人出自其余4家企业;一类是3人全来自4家企业.
(2)①分三类求解;②分三步完成这件事;③分三类,第一类派语文和数学教师;第二类派语文和英语教师;第三类派英语和数学教师.
【解析】(1)选B.分两类,
第一类:甲企业有1人发言,有2种情况,另两
个发言人出自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原
理N1=2×6=12;
第二类:3人全来自4家企业,有4种情况.
综上可知,有N=N1+N2=12+4=16(种)情况.
(2)①分三类:第一类选语文教师,有12种不同选法;第
二类选数学教师,有13种不同选法;第三类选英语教师,
有15种不同选法,共有12+13+15=40(种)不同的选法.
②分三步:第一步选语文教师,有12种不同选法;第二步
选数学教师,有13种不同选法;第三步选英语教师,有15
种不同选法,共有12×13×15=2 340(种)不同的选法.
③分三类:第一类选一位语文教师和一位数学教师共有12×13种不同的选法;第二类选一位语文教师和一位英语教师共有12×15种不同的选法;第三类选一位英语教师和一位数学教师共有15×13种不同的选法,共有12×13+12×15+13×15=531(种)不同的选法.
【方法总结】选(抽)取问题的解答策略
对于选(抽)取问题,一般带有某些限制条件,其解答方法是:
(1)当数目不大时,可用枚举法.为保证不重不漏,可用树形图法、框图法及表格法进行枚举.
(2)当数目较大时,符合条件的情况较多时,可用间接法计数.但一般还是根据选(抽)顺序分步,根据选(抽)元素特点分类,利用两个计数原理进行解决.
【跟踪训练】
1.(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,
a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的
“规范01数列”共有 (　　)
A.18个 B.16个 C.14个 D.12个
【解析】选C.由题意得必有4个0和4个1,具体情况如
下:00001111,00010111,00011011,00011101,
00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,
01000111,01001011,01001101,01010011,01010101;
共14个.
2.锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤
圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取
4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的方法有________
种.?
【解析】分3类:
第一类,芝麻馅汤圆2个,其他各1个,
把芝麻馅汤圆编号1,2,3,4,5,6,取2个的情形有12,13,
14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种,所
以这一类共有15×5×4=300种方法.
第二类,花生馅汤圆2个,其他各1个,把花生馅汤圆编号
1,2,3,4,5,取2个的情形有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10种,所以这一类
共有10×6×4=240种方法.
第三类,豆沙馅汤圆2个,其他各1个,把豆沙馅汤圆编号1,2,3,4,取2个的情形有12,13,14,23,24,34共6种,所以这一类共有6×5×6=180种方法.
所以由分类加法计数原理得每种汤圆都至少取到1个的方法有300+240+180=720种.
答案:720
【知识思维导图】