微专题三 函数与方程思想
方法指导
所谓函数与方程思想，简而言之就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数，把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，通过设参求解方程解题的思想。方程与函数有着极其密切的关系。从本质上观察函数就是方程，方程就是函数。例如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），通过整理，令y=0时，及变化为ax2+bx+c=0的一元二次方程。
考法1 设X，列方程（几何问题方程求解）
考法指导
对于常见的几何问题中求解线段长和角度问题，我们均可采取设参数X，列方程做法求解。
根据题目条件选择利用勾股定理，锐角三角函数定义，相似对应边成比例及基础线段和差及等量关系，列出只含一个未知数的方程，进而求解边长。
根据题目条件，设要求的角度为X，根据三角形基本性质，如内角和180，外角等于不相邻两内角之和，等边对等角，圆内接四边形对角互补等角度性质，把其他角度用含X的代数式表达，列出只含X的方程求解问题。
其典型的利用方程的思想，把几何中求解角度和边长的问题，变成简单的列方程计算过程。
【典例精析】
例题1．（2019·海南中考真题）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：；
（2）过点E作交PB于点F，连结AF，当时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当时，四边形AFEP是菱形
【详解】
解：（1）四边形ABCD是正方形，
，
E是CD的中点，
，
又，
；
（2）①，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形AFEP是平行四边形；
②当时，四边形AFEP是菱形．
设，则，
若四边形AFEP是菱形，则，
，E是CD中点，
，
在中，由得，
解得，
即当时，四边形AFEP是菱形．
【针对训练】
1．（2019·宁夏中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
【答案】．
【详解】
解：解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
2．（2019·江苏中考真题）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图①是由边长的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______(结果保留根号).
【答案】
【详解】
设小正方形边长为a，由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等， 所以大正方形对角线长4a，S大正方形==10×10，解得，舍去负值，得到，故填
3．（2019·甘肃中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为_____．
【答案】
【详解】
解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，
在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，
∴AF＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
即（6﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
故答案为．
4．（2019·上海中考真题）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且，那么AD的长是_________________.
【答案】
【详解】
如图，在和中，，，，，
，
设，则，
，
，，，
，
，，
，
，
，即，
解得，
的长为.
故答案为：.
5．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【详解】
设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
解得
故选C
6．（2019·福建中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.
(1)求证：∠BAC=2∠DAC；
(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值.
【答案】(1)见解析；(2) tan∠BAD=.
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，
∴=，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°?∠BAC）＝90°?∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°?∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝2∠DAC；
(2)∵DF=DC，
∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC,
∴CB=CF,
又BD⊥AC，
∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10.
又BC＝4，
设AE＝x, CE=10－x,
AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6
∴AE=6,BE=8,CE=4,
∴DE===3,
∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，
作DH⊥AB，垂足为H，
∵AB?DH＝BD?AE，
∴DH＝，
∴BH＝，
∴AH＝AB?BH＝10?，
∴tan∠BAD===.
7．（2019·浙江中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
⑴求线段CE的长；
⑵若点H为BC边的中点，连结HD，求证：.
【答案】（1）CE=；（2）见解析.
【详解】
根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
（1）设CE=x（0因为S1=S2，所以x2=1－x，
解得x=（负根舍去），
即CE=
（2）因为点H为BC边的中点，
所以CH=，所以HD=，
因为CG=CE=，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG=＋=，所以HD=HG
8．（2019·甘肃中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
（1）证明：连接，
是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是⊙的直径，，
是⊙的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，在中，，
，
解得，
9．（2019·四川中考真题）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【详解】
证明：(1)∵是的中点，∴，
∵是的直径，且，∴，
∴，∴，
在和中，
∵，
∴；
(2)解法一：如图，连接，设的半径为，
中，，即，
中，，即，
∵，∴，∴，
∴，
即，
解得：(舍)或3，
∴，
∴；
10．（2019·青海中考真题）如图，在中，点分别是半径、弦的中点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径长为．
【详解】
连接，如图，
点分别是半径、弦的中点，
，即，
，
，
是的切线；
连接，如图，
，
，
，
在中，，
，
，
．
在中，，
设，则，
，
即，解得，
，
即的半径长为．
11．（2019·四川中考真题）如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)当点恰好落在线段上时，求的长；
(3)设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．
【答案】(1)证明见解析；(2)EH；(3).
【详解】
(1)证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
(2)设，连接，如图，则，
∵，∴，
∴，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，
当点恰好落在线段上时，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵FG=FH，∴，
解得：，(舍去)，
∴；
(3)过点作于点，由(2)得，
∵，，∴，
∴，
∴，
∴．
考法2 设X，列方程（实际应用问题，列方程求解）
考法指导
实际应用题中，根据题意，对所求未知量设X，找出等量的语句，列出相应的方程，从而求解问题，时中考中常见的题型。此类应用多考察学生对于列式，寻找等量的理解。
【典例精析】
例题1．（2019·海南中考真题）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？
【答案】红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元
【详解】
解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，
由题意得：，
解得：；
答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．
【针对训练】
题型一：一元一次方程应用题
1．（2019·福建中考真题）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( ).
A．x+2x+4x=34 685 B．x+2x+3x=34 685
C．x+2x+2x=34 685 D．x+x+x=34 685
【答案】A
【详解】
解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x＋2x＋4x＝34685，
故选：A．
2．（2019·福建中考真题）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
(1)求该车间的日废水处理量m；
(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
【答案】(1) m＝20；(2) 15≤x≤20
【详解】
解：(1)∵处理废水35吨花费370，且＝>8，∴m<35,
∴30+8m +12(35－m)＝370，解得：m＝20；
(2)设一天生产废水x吨,则
当0< x≤20时，8x+30≤10 x，解得：15≤x≤20，
当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x，解得：20综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围是15≤x≤20.
3．（2019·甘肃中考真题）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【答案】共有39人，15辆车．
【详解】
解：设共有x人，
根据题意得： ，
去分母得：2x+12＝3x﹣27，
解得：x＝39，
∴ ，
则共有39人，15辆车．
题型二：一元二次方程应用题
1．（2019·河南中考真题）某种药品原价每盒元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒元，则平均每次下调的百分率为_____．
【答案】．
【详解】
解：设平均每次降价的百分比是，根据题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是；
故答案为：．
2．（2020·山西中考真题）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m?，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
【答案】（12-x）（8-x）=77
【详解】
道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为：(12-x)(8-x)=77.
3．（2019·辽宁中考真题）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【答案】（1）10%；（2）26620元
【详解】
解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
题型三：二元一次方程组应用题
1．（2019·重庆中考真题）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．
【答案】3:20
【详解】
解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x、黄连已种植面积x
依题意可得，
由①得
将③代入②得
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=
故答案为3：20.
2．（2019·山东中考真题）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【答案】（1）清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；（2）分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
【详解】
（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，
根据题意，得：，
解得：18≤m＜20，
∵m为整数，
∴m=18或m=19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
3．（2019·广东中考真题）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【答案】（1）篮球、足球各买了20个，40个；（2）最多可购买篮球32个.
【详解】
(1)设篮球、足球各买了，个，根据题意，得
，
解得，
答：篮球、足球各买了20个，40个；
(2)设购买了个篮球，根据题意，得
，
解得，
∴最多可购买篮球32个.
4．（2020·全国初一课时练习）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．
【答案】（1）每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；（2）男生最多有37人化妆．
【详解】
解：（1）设每位男生的化妆费是元，每位女生的化妆费是元，
依题意得：．
解得：．
答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元
（2）设男生有人化妆，
依题意得．
解得．
即的最大值是37．
答：男生最多有37人化妆．
题型四：分式方程应用题
1．（2019·江西中考真题）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：_____________________．
【答案】
【详解】
解：设小明通过时的速度是米秒，可得：，
故答案为：，
2.（2019·辽宁中考真题）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，
依题意得：．
故选：D．
3．（2019·四川中考真题）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相同，则江水的流速为______．
【答案】10
【详解】
解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故答案为：10．
4．（2019·云南中考真题）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
【答案】甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h.
【详解】
设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.根据题意得
，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解且符合实际意义，
1.5x＝90，
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h.
题型五：解直角三角形方程应用题
1．（2019·天津中考真题）如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
【答案】这座灯塔的高度约为45m.
【详解】
解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
又，
∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．
2．（2019·湖南中考真题）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知，，求山顶A的高度AE(C、B、E在同一水平面上)．
【答案】山顶A的高度AE为16米．
【详解】
解：如图，作于F．设米．
∵斜坡AB的坡度为，
∴米．
在中，∵，米，，
∴(米)，
∴米，
∴米．
在中，∵，，
∴米，
∵米，
∴，解得．
故山顶A的高度AE为16米．
考法3 设X，构造函数（几何问题，函数化求解）
考法指导
把几何问题，通过设X，构造二次函数或一次函数，根据函数的性质求解。
【典例精析】
例题1．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，其最大值为1；（3）①；②点或或
【详解】
解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点；
（2）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
点，则点，设点，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为1；
（3）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点在轴下方时，
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则点平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则，，
而得：，
解得：，
故点；
当点在轴上方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为中点，
则，，
而，即，
解得：，
故，，
故点；
综上，点或或．
【针对训练】
1．（2018·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；②当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
【详解】
解：（1）∵OA=1，OB=4，
∴A（1，0），B（﹣4，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
∵点C（0，﹣）在抛物线上，
∴﹣，
解得a=.
∴抛物线的解析式为y=.
（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．
理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，
则tan∠ACO=，
∵tan∠OAD=，
∴∠OAD=∠ACO，
∵直线l的解析式为y=，
∴D（0，﹣），
∵点C（0，﹣），
∴CD=，
由AC2=OC2+OA2，得AC=，
在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，
由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，
只需或，
则有或，
解得t1=，t2=，
∵t1＜2.5，t2＜2.5，
∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；
②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，
理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，
在△APF中，PF=AP?sin∠PAF=，
在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，
在△ADC中，由S△ADC= ，
∴CN=，
∴S△AQP+S△AQC= ，
∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.
2．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为 ，E（，﹣）．
【详解】
解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为： ，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
3．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)点或．
【详解】
解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得：，
则，则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：(舍去负值)，
故点
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点；
综上，点或．
4．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，或．
【详解】
解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
5．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）S=，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=．
【详解】
（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，
∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），
分别代入（a≠0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点N作NH⊥AB于点H，
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴，即，
∴HN=t，
∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t，
即S=，
当△PBQ存在时，0＜t＜2，
∴当t=1时，S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=．
设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．
①当∠MNB=90°时，cos∠B=，即，化简，得17t=24，解得t=；
②当∠BMN=90°时，cos∠B=，化简，得19t=30，解得t=．
综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形．
6．（2019·江苏中考真题）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm?)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2，10；(2)①；②当时，取最大值.
【详解】
(1)5÷2.5=2；（7.5-2.5）×2=10
(2)①解：在C点相遇得到方程
在B点相遇得到方程
∴
解得
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
②如下图
=15
过M点做MH⊥AC，则
∴
∴
=
=
因为，所以当时，取最大值.
考法4 设X，构造函数（实际应用问题，函数化求解）
考法指导
实际应用题中，根据题意，对所求未知量设X，列出相应的二次函数或者一次函数，在给定的范围内，求解应用题的类型。
【典例精析】
例题1．（2019·辽宁中考真题）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】（1）；（2）每千克60元，最大获利为1950元
【详解】
解：
（1）设一次函数关系式为
由图象可得，当时，；时，
∴，解得
∴与之间的关系式为．
（2）设该公司日获利为元，由题意得
∵；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴；
∴当时，随着的增大而增大；
∵，
∴时，有最大值；
．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
【针对训练】
1．（2019·昆明市官渡区第一中学初三期中）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）求与之间的关系式；
（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【答案】（1）与之间的关系式为；（2）第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.
【详解】
（1）设与之间的关系式为y=kx+b，
把（1，7000），（5,5000）代入y=kx+b，
得，解得
∴与之间的关系式为；
（2）令销售收入W=py==
∴当x=7时，W有最大值为16000，
此时y=-500×7+7500=4000
故第个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是元.
2．（2019·云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
【答案】(1)y与x的函数解析式为；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
【详解】
(1)当6x≤10时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，
∴ ，
解得 ，
∴当6x≤10时， y＝-200x+2200，
当10＜x≤12时，y＝200，
综上，y与x的函数解析式为；
(2)设利润为w元，
当6x≤10时，y＝－200x＋2200，
w＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－200＋1250，
∵－200＜0，6≦x≤10，
当x＝时，w有最大值，此时w=1250；
当10＜x≤12时，y＝200，w＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200，
∴200＞0，
∴w＝200x－1200随x增大而增大，
又∵10＜x≤12，
∴当x＝12时，w最大，此时w=1200，
1250＞1200，
∴w的最大值为1250，
答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
3．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示.
（1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【答案】（1）.；（2）10分钟；（3）第5班车，7分钟.
【详解】
（1）解：由题意得，可设函数表达式为：.
把，代入，得，
解得.
∴第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为.
（2）解：把代入，解得，
（分）．
∴第一班车到塔林所需时间10分钟.
（3）解：设小聪坐上第班车.
，解得，
∴小聪最早坐上第5班车.
等班车时间为5分钟，
坐班车所需时间：（分），
∴步行所需时间：（分），
（分）．
∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟
4．（2019·广东中考真题）有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？
（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.
【答案】（1）焚烧1吨垃圾，发电厂发电300度，发电厂发电260度；（2）当时，取最大值25800度.
【详解】
（1）设焚烧1吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，则
，解得：
答：焚烧1吨垃圾，发电厂发电300度，发电厂发电260度.
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨，总发电量为度，则
∵
∴
∵随的增大而增大
∴当时，取最大值25800度.
微专题三 函数与方程思想
方法指导
所谓函数与方程思想，简而言之就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数，把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，通过设参求解方程解题的思想。方程与函数有着极其密切的关系。从本质上观察函数就是方程，方程就是函数。例如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），通过整理，令y=0时，及变化为ax2+bx+c=0的一元二次方程。
考法1 设X，列方程（几何问题方程求解）
考法指导
对于常见的几何问题中求解线段长和角度问题，我们均可采取设参数X，列方程做法求解。
根据题目条件选择利用勾股定理，锐角三角函数定义，相似对应边成比例及基础线段和差及等量关系，列出只含一个未知数的方程，进而求解边长。
根据题目条件，设要求的角度为X，根据三角形基本性质，如内角和180，外角等于不相邻两内角之和，等边对等角，圆内接四边形对角互补等角度性质，把其他角度用含X的代数式表达，列出只含X的方程求解问题。
其典型的利用方程的思想，把几何中求解角度和边长的问题，变成简单的列方程计算过程。
【典例精析】
例题1．（2019·海南中考真题）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：；
（2）过点E作交PB于点F，连结AF，当时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当时，四边形AFEP是菱形
【详解】
解：（1）四边形ABCD是正方形，
，
E是CD的中点，
，
又，
；
（2）①，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形AFEP是平行四边形；
②当时，四边形AFEP是菱形．
设，则，
若四边形AFEP是菱形，则，
，E是CD中点，
，
在中，由得，
解得，
即当时，四边形AFEP是菱形．
【针对训练】
1．（2019·宁夏中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
2．（2019·江苏中考真题）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图①是由边长的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______(结果保留根号).
3．（2019·甘肃中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为_____．
4．（2019·上海中考真题）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且，那么AD的长是_________________.
5．（2019·上海中考真题）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
6．（2019·福建中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.
(1)求证：∠BAC=2∠DAC；
(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值.
7．（2019·浙江中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且.
⑴求线段CE的长；
⑵若点H为BC边的中点，连结HD，求证：.
8．（2019·甘肃中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
9．（2019·四川中考真题）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
10．（2019·青海中考真题）如图，在中，点分别是半径、弦的中点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
11．（2019·四川中考真题）如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)当点恰好落在线段上时，求的长；
(3)设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．
考法2 设X，列方程（实际应用问题，列方程求解）
考法指导
实际应用题中，根据题意，对所求未知量设X，找出等量的语句，列出相应的方程，从而求解问题，时中考中常见的题型。此类应用多考察学生对于列式，寻找等量的理解。
【典例精析】
例题1．（2019·海南中考真题）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？
【答案】红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元
【详解】
解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，
由题意得：，
解得：；
答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．
【针对训练】
题型一：一元一次方程应用题
1．（2019·福建中考真题）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( ).
A．x+2x+4x=34 685 B．x+2x+3x=34 685
C．x+2x+2x=34 685 D．x+x+x=34 685
2．（2019·福建中考真题）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
(1)求该车间的日废水处理量m；
(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
3．（2019·甘肃中考真题）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
题型二：一元二次方程应用题
1．（2019·河南中考真题）某种药品原价每盒元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒元，则平均每次下调的百分率为_____．
2．（2020·山西中考真题）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m?，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
3．（2019·辽宁中考真题）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
题型三：二元一次方程组应用题
1．（2019·重庆中考真题）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．
2．（2019·山东中考真题）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
3．（2019·广东中考真题）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
4．（2020·全国初一课时练习）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．
题型四：分式方程应用题
1．（2019·江西中考真题）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：_____________________．
2.（2019·辽宁中考真题）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·四川中考真题）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相同，则江水的流速为______．
4．（2019·云南中考真题）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
题型五：解直角三角形方程应用题
1．（2019·天津中考真题）如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
2．（2019·湖南中考真题）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知，，求山顶A的高度AE(C、B、E在同一水平面上)．
考法3 设X，构造函数（几何问题，函数化求解）
考法指导
把几何问题，通过设X，构造二次函数或一次函数，根据函数的性质求解。
【典例精析】
例题1．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，以为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点在对称轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点从点出发，沿方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点停止，设运动时间为秒，过点作交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于点，连接，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）若点是平面内的任意一点，在轴上方是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，其最大值为1；（3）①；②点或或
【详解】
解：（1）将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点；
（2）将点的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
点，则点，设点，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为1；
（3）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点在轴下方时，
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则点平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则，，
而得：，
解得：，
故点；
当点在轴上方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为中点，
则，，
而，即，
解得：，
故，，
故点；
综上，点或或．
【针对训练】
1．（2018·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．
①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2．（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
3．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．
4．（2019·海南中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2017·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
6．（2019·江苏中考真题）已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s)，的面积为S(cm?)，S与t的函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.
考法4 设X，构造函数（实际应用问题，函数化求解）
考法指导
实际应用题中，根据题意，对所求未知量设X，列出相应的二次函数或者一次函数，在给定的范围内，求解应用题的类型。
【典例精析】
例题1．（2019·辽宁中考真题）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】（1）；（2）每千克60元，最大获利为1950元
【详解】
解：
（1）设一次函数关系式为
由图象可得，当时，；时，
∴，解得
∴与之间的关系式为．
（2）设该公司日获利为元，由题意得
∵；
∴抛物线开口向下；
∵对称轴；
∴当时，随着的增大而增大；
∵，
∴时，有最大值；
．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
【针对训练】
1．（2019·昆明市官渡区第一中学初三期中）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第（为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系.
（1）求与之间的关系式；
（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
.
2．（2019·云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；
(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
3．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示.
（1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
4．（2019·广东中考真题）有两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发40度电，焚烧20吨垃圾比焚烧30吨垃圾少1800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，和各发多少度电？
（2）两个发电厂共焚烧90吨垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾的两倍，求厂和厂总发电量的最大值.
