北师大版七年级下册2.1《两条直线的位置关系》第1课时 教案+课件

文档属性

名称 北师大版七年级下册2.1《两条直线的位置关系》第1课时 教案+课件
格式 zip
文件大小 1.4MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2020-05-04 07:49:27

文档简介




第二章相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系
第1课时
一、教学目标
1.知道平面内两条直线的位置关系,并能进行辨析;
2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角,知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等;
3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题.
二、教学重点及难点
重点:理解补角、余角、对顶角,掌握同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等.
难点:探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解,并能解决一些实际问题.
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
问题:在我们的生活世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线,大家对它们也不陌生,请找出图片中的相交线、平行线.


你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗?
比如,教室里黑板面相邻的两条边、相对的两条边,操场上的双杠,方格纸上的横线和竖线等等,都给人以相交线、平行线的形象.
设计意图:让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以为下面的分类提供依据,为了解平行线、相交线的概念打下基础.
【探究新知】
探究一:平行线
拿出两支笔,用它们代表两条直线,随意移动笔,观察笔与笔有几种位置关系?各种位置关系,分别叫做什么?
提示:有可能平行、相交、重合.
给出相交线、平行线的定义:
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
不相交的两条直线叫做平行线.
通常情况下我们只研究不重合的情形,若去掉重合这种情况,在同一平面上两条直线有几种位置关系?
结论:同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种.


特别强调:平行线的含义有三点
(1)“在同一平面”是前提条件;
(2)“不相交”是指两条直线没有交点;
(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段
(有时我们也说两条射线或两条线段平行,这实际上市指它们所在的直线平行).
设计意图:让学生用两支笔动手操作,不但培养了学生的动手能力,还能让学生更深层次的体会到平行线的含义,进一步明确同一平面内两条直线的位置关系.
探究二:对顶角的概念和性质:
1.观看一组生活中的图片,你们觉得这些图片有什么共同点吗?

对顶角的概念:两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角.
特别关注:(1)对顶角只有在两条直线相交时才出现.
(2)对顶角是指两个角的位置关系.
在纸上任意画两条相交直线,分别度量所成的四个角的大小,你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系?
2.对顶角的性质:对顶角相等.
设计意图:让学生从实物中观察,从直观的角度去感受对顶角的概念.并用语言去表达这两个概念,培养口语表达能力.
探究三:余角、补角的概念和性质:
活动1.计算:
(1)44°+46°= ; (2)30°20′34″+59°39′26″= ;
(3)10°+25°+55°= ; (4)96°+84°= ;
(5)58°45′+121°15′= ; (6)50°+25°+105°= .
答案:前三个都是90°;后三个都是180°.
总结:
互为余角、互为补角的概念:
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角(如图).

如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角(如图).

互为余角、互为余角的性质:
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
设计意图:教师演示,让学生通过观察,从直观的角度去感受互为余角、补角的概念.并用语言去表达这两个概念,培养口语表达能力.
活动2.如图:打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.
(1)有哪些角互为补角?有哪些角互为余角?
(2)∠3和∠4有什么关系?为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?你还能得到哪些结论?






解:(1)补角关系的有:∠1与∠AOC、∠DON与∠NOC、∠2与∠DOB、∠1和∠DOB、∠2和∠AOC
余角关系的有:∠1与∠3、∠2与∠4、∠1与∠4、∠3与∠2;
(2)∠3=∠4.理由是因为∠1+∠3=∠1+∠4=90°,所以∠3=∠4(余角的性质);
(3)∠AOC=∠BOD.理由是因为∠1+∠AOC=∠1+∠BOD=180°,所以∠AOC=∠BOD(补角的性质);
因为∠3=∠4,所以还能得出ON是∠AOB的角平分线.
设计意图:考查学生对补角与余角的定义和性质的掌握与运用能力,此题考查学生的列举,通过题设信息得出所有补角和余角的对数,再运用余角(或补角)的性质:等角或同角的余角(或补角)相等.两角之和等于直角90°,则两角互余;两角之和等于平角180°,则两角互补.运用角平分线的定义与判断,得出一个角平分线的结论.
【典型例题】
例1 .如图,直线AB,CD,EF相交于点O,∠1=40°,∠BOC=110°,求∠2的度数.

分析:结合图形,由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数,根据“对顶角相等”得∠2的度数.
解:因为∠1=40°,∠BOC=110°(已知),所以∠BOF=∠BOC-∠1=110°-40°=70°.因为∠BOF=∠2(对顶角相等),所以∠2=70°(等量代换).
设计意图:两条相交直线构成对顶角,这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论.在图形中正确找到对顶角,利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系,然后结合已知条件进行转化.
例2.如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数.

解:由邻补角的定义,可得
∠2=180°-∠1
=180°-40°
=140°.
由对顶角相等,可得
∠3=∠1=40°,
∠4=∠2=140°.
设计意图:
例3.(1)已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.
分析:根据∠A与∠B互余,得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,从而得到∠A=3∠B+30°,再把两个算式联立即可求出∠2的值.
解:∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,∴设∠B=x,∴∠A=3∠B+30°=3x+30°,∴3x+30°+x=90°,解得x=15°,故∠B的度数为15°.
(2)已知一个角的补角是它的余角的4倍,求这个角的度数.
解:设这个角为x°,则180-x=4(90-x),
∴x=60.
答:这个角是60°.
设计意图:此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程来解决.
例4.如图,E,F是直线DG上两点,∠1=∠2,∠3=∠4=90°,找出图中相等的角并说明理由.

解:∠5=∠6,理由是:等角的余角相等.
例5.如图,已知AOB是一直线,OC是∠AOB的平分线,∠DOE是直角,图中哪些角互余?哪些角互补?哪些角相等?

解:互余:∠1与∠2,∠1与∠4,∠2与∠3,∠4与∠3;
互补:∠1与∠EOB,∠3与∠EOB,∠4与∠AOD,∠2与∠AOD,∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,∠BOC与∠DOE.
相等:∠AOC=∠BOC=∠DOE,∠1=∠3,∠2=∠4.
【随堂练习】
1.填表:
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
32°
62°23′
x
从中,你发现一个锐角的补角比它的余角大______.
答案:1.表格第一行:58°,148°;第二行:27°37′,117°37′;
第三行:90°-x,180°-x; 空格:90°.
2.(1)一个角有余角也一定有补角.( )(2)一个角有补角也一定有余角. ( )
(3)一个角的补角一定大于这个角.( )
解:(1)√;(2)×;(3)×.
3.(1)下列说法正确的是(  ).D
A.有公共顶点的两个角是对顶角
B.相等的两角是对顶角
C.有公共顶点并且相等的角是对顶角
D.两条直线相交成的四个角中,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
(2)在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行;②不相交的两条直线一定平行;③在同一平面内,不平行的两条射线一定相交;④在同一平面内,不平行的两条直线一定相交.
其中正确的个数是( )D
A.4 B.3 C.2 D.1
4.(1)如果∠A=35°18′,那么∠A的余角等于 ;∠A的补角等于 .54°42′,144°42′
(2)已知∠1与∠2是对顶角,∠1与∠3互为补角,则∠2+∠3=________. 180°
(3)如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角的度数是 .60°
(4)已知与互补,且与是对顶角,则=_________..90°
(5)一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度,则这个角的度数是 .50°
5.如果直线AB,CD相交于O点,且∠AOC=28°,作∠DOE=∠DOB,OF平分∠AOE,求∠EOF的度数.

解:∵∠AOC=∠BOD=28°(对顶角相等),
又∵∠DOE=∠DOB,
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠BOD
=180°-2∠BOD=180°-2×28°=124°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠EOF=∠AOE=×124°=62°.
6.如图所示,已知∠AOB在∠AOC内部,∠BOC=90°,OM,ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数.
分析:根据补角的性质,
可得∠AOB+∠COM=180°.
根据角的和差,可得∠AOB+∠BOM=90°.
根据角平分线的性质,可得∠BOM=∠AOB.
根据解方程,可得∠AOB的度数.根据角的和差,可得答案.
解:∵∠AOB与∠COM互补,
∴∠AOB+∠COM=180°,
即∠AOB+∠BOM+∠COB=180°.
∵∠COB=90°,
∴∠AOB+∠BOM=90°.
∵OM是∠AOB的平分线,


解得∠AOB=60°,
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°+60°=150°.
∵ON平分∠AOC,

由角的和差,
∴∠BON=∠AON-∠AOB=75°-60°=15°.
7.如图,将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)如图①,若CE是∠ACD的角平分线,那么CD是∠ECB的角平分线吗?并简述理由;
(2)如图②,若∠ECD=α,CD在∠BCE的内部,请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等?并简述理由;
(3)在(2)的条件下,请问∠ECD与∠ACB的和是多少?并简述理由.






分析: (1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD=90°,∠ECB=90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可;
(2)∠ACE与∠DCB相等,根据“等角的余角相等”即可得到答案;
(3)根据角的和差关系进行等量代换即可.
解:(1)CD是∠ECB的角平分线.理由如下:
∵∠ACD=90°,CE恰好是∠ACD的角平分线,∴∠ECD=45°,
∵∠ECB=90°,∴∠DCB=90°-45°=45°,
∴∠ECD=∠DCB,
∴此时CD是∠ECB的角平分线;
故答案为:角平分线.
(2)∠ACE=∠DCB,
∵∠ACD=90°,∠BCE=90°,∠ECD=α,
∴∠ACE=90°-α,∠DCB=90°-α,
∴∠ACE=∠DCB.
(3)∠ECD+∠ACB=180°.
理由如下:∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
设计意图:本题主要考查学生对邻补角、对顶角概念的理解,以及对对顶角相等的性质的掌握.
六、课堂小结
1、同一平面内两条直线的位置关系:平行、相交.
2、
互余 互补 对顶角
定义 如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角 如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角 两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角
对应图形关系
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 对顶角相等













七、板书设计






2.1两条直线的位置关系
一、平行线:
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
不相交的两条直线叫做平行线.
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种.
二、对顶角
两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角.
对顶角相等.
三、余角、补角的概念和性质
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角(如图).

如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角(如图).

互为余角、互为余角的性质:
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
四、练习:



(共34张PPT)
第二章相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第1课时
学习目标
1.知道平面内两条直线的位置关系,并能进行辨析;
2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角,知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等;
3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题.

从以上图中你有什么发现?
在图形中看到了很多的线,这些线有些是平行的,还有相交的.
哪些是平行线,哪些是相交线?
问题情境
平行线与相交线
拿出两支笔,用它们代表两条直线,随意移动笔,观察笔与笔有几种位置关系?各种位置关系,分别叫做什么?
有可能平行、相交、重合.
相交线、平行线的定义:
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
探究新知
不相交的两条直线叫做平行线.
通常情况下我们只研究不重合的情形,若去掉重合这种情况,在同一平面上两条直线有几种位置关系?
结论:
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种.
探究新知
对顶角的概念:两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角.
特别关注:
(1)对顶角只有在两条直线相交时才出现.
(2)对顶角是指两个角的位置关系.
探究新知
特别强调:平行线的含义有三点
(1)“在同一平面”是前提条件;
(2)“不相交”是指两条直线没有交点;
(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段.
(有时我们也说两条射线或两条线段平行,这实际上是指它们所在的直线平行).
探究新知
探究新知
在纸上任意画两条相交直线,分别度量所成的四个角的大小,你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系?
对顶角的性质:对顶角相等.
计算:
(1)44°+46°=______;
(2)30°20′34″+59°39′26″=______;
(3)10°+25°+55°=______;
(4)96°+84°=______;
(5)58°45′+121°15′=______;
(6)50°+25°+105°=______.
余角、补角的概念和性质:
90°
90°
90°
180°
180°
180°
探究新知
互为余角、互为补角的概念:
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角(如图).
如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角(如图).








探究新知
探究新知
如图:打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.
(1)有哪些角互为补角?有哪些角互为余角?
(2)∠3和∠4有什么关系?为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?你还能得到哪些结论?
?


探究新知
解:(1)补角关系的有:∠1与∠AOC、∠DON与∠NOC、∠2与∠DOB、
∠1和∠DOB、∠2和∠AOC
余角关系的有:∠1与∠3、∠2与∠4、
∠1与∠4、∠3与∠2;
(2)∠3=∠4.理由是因为∠1+∠3=∠1+∠4=90°,
所以∠3=∠4(余角的性质);
(3)∠AOC=∠BOD.理由是因为∠1+∠AOC=∠1+∠BOD=180°,所以∠AOC=∠BOD(补角的性质);
因为∠3=∠4,所以还能得出ON是∠AOB的角平分线.

同互为余角、互为补角的性质:
角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
探究新知
例1.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,∠1=40°,∠BOC=110°,求∠2的度数.
分析:结合图形,由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数,根据“对顶角相等”可得∠2的度数.






A
B
C
F
E
D
1
2
O
典型例题
解:∵∠1=40°,∠BOC=110°(已知),
  ∴∠BOF=∠BOC-∠1=110°-40°=70°.
  ∵∠BOF=∠2(对顶角相等),
  ∴∠2=70°(等量代换).






A
B
C
F
E
D
1
2
O
典型例题
例2.如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数.
解:由邻补角的定义,可得
  ∠2=180°-∠1
    =180°- 40°
    =140°.
  由对顶角相等,可得
  ∠3=∠1=40°,
  ∠4=∠2=140°.






b
a
1
2
3
4
典型例题
例3.(1)已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.
典型例题
解:∵∠A与∠B互余,  ∴∠A+∠B=90°.
  又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,
  ∴设∠B=x,
  ∴∠A=3∠B+30°=3x+30°,
  ∴3x+30°+x=90°,解得x=15°,
  故∠B的度数为15°.
典型例题
(2)已知一个角的补角是它的余角的4倍,求这个角的度数.
解:设这个角为x°,则180-x=4(90-x),
∴x=60.
答:这个角是60°.

例4.如图,E,F是直线DG上两点,∠1=∠2,
∠3=∠4=90°,找出图中相等的角并说明理由.
解:∠5=∠6,理由是:等角的余角相等.
典型例题
例5.如图,已知AOB是一直线,OC是∠AOB的平分线,∠DOE是直角,图中哪些角互余?哪些角互补?哪些角相等?


解:互余的角:∠1与∠2,∠1与∠4,
∠2与∠3,∠4与∠3;
互补的角: ∠1与∠EOB,∠3与∠EOB,
∠4与∠AOD,∠2与∠AOD,
∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE, ∠B OC 与∠DOE.
相等的角:∠AOC=∠BOC=∠DOE,∠1=∠3,∠2=∠4.
1.填表:
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
32° ? ?
62°23′ ? ?
x ? ?
从中,你发现一个锐角的补角比它的余角大______.
58°
148°
27°37′
117°37′
90°-x
180°-x
90°
随堂练习
2.判断.
(1)一个角有余角也一定有补角.( )
(2)一个角有补角也一定有余角. ( )
(3)一个角的补角一定大于这个角.( )

×
×
随堂练习
随堂练习
3.(1)下列说法正确的是(  ).
A.有公共顶点的两个角是对顶角
B.相等的两角是对顶角
C.有公共顶点并且相等的角是对顶角
D.两条直线相交成的四个角中,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角

D
随堂练习
(2)在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行;②不相交的两条直线一定平行;③在同一平面内,不平行的两条射线一定相交;④在同一平面内,不平行的两条直线一定相交.
其中正确的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1

D
随堂练习
4.(1)如果∠A=35°18′,那么∠A的余角等于 ;∠A的补角等于 .
(2)已知∠1与∠2是对顶角,∠1与∠3互为补角,则∠2+∠3= .
(3)如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角的度数是 .
(4)已知 与 互补,且 与 是对顶角,则 =_________.
(5)一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度,则这个角的度数是 .

54°42′
144°42′
180°
60°
90°
50°


随堂练习
5.如果直线AB,CD相交于O点,且∠AOC=28°,作∠DOE=∠DOB,OF平分∠AOE,求∠EOF的度数.
解:∵∠AOC=∠BOD=28°(对顶角相等),
又∵∠DOE=∠DOB,
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠BOD
=180°-2∠BOD
=180°-2×28°=124°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠EOF= ∠AOE= ×124°=62°.

6.如图所示,已知∠AOB在∠AOC内部,∠BOC=90°,OM,ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数.









O
A
M
B
N
C
随堂练习
解:∵∠AOB与∠COM互补,
  ∴∠AOB+∠COM=180°,
  即∠AOB+∠BOM+∠COB=180°.
  ∵∠COB=90°,
  ∴∠AOB+∠BOM=90°.
  ∵OM是∠AOB的平分线,
  ∴∠BOM= ∠AOB,
  即∠AOB+ ∠AOB=90°,
1
2
1
2



O
A
M
B
N
C






随堂练习
解得∠AOB=60°,
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°+60°=150°.
∵ON平分∠AOC,
得∠AON= ∠AOC= ×150°=75°.由角的和差,
∴∠BON=∠AON-∠AOB=75°-60°=15°.
1
2
1
2



O
A
M
B
N
C






随堂练习
7.如图,将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)如图①,若CE是∠ACD的角平分线,那么CD是∠ECB的角平分线吗?并简述理由;
(2)如图②,若∠ECD=α,CD在∠BCE的内部,请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等?并简述理由;
(3)在(2)的条件下,请问∠ECD与∠ACB的和是多少?并简述理由.






















图①
图②
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
随堂练习
解: (1)CD是∠ECB的角平分线.理由如下:
  ∵∠ACD=90°,CE是∠ACD的角平分线,
  ∴∠ECD=45°.
  ∵∠ECB=90°,
  ∴∠DCB=90°-45°=45°,
  ∴∠ECD=∠DCB,
  ∴CD是∠ECB的角平分线;









图①
C
D
E
A
B


随堂练习
(2)∠ACE=∠DCB.理由如下:
  ∵∠ACD=90°,∠BCE=90°,∠ECD=α,
  ∴∠ACE=90°-α,∠DCB=90°-α,
  ∴∠ACE=∠DCB;






图②
C
D
E
A
B





随堂练习
(3)∠ECD+∠ACB=180°.理由如下:
   ∠ECD+∠ACB
  =∠ECD+∠ACE+∠ECB
 =∠ACD+∠ECB
  =90°+90°
 =180°.






图②
C
D
E
A
B





随堂练习
1.同一平面内两条直线的位置关系:平行、相交.
? 互余 互补 对顶角
定义 如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角 如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角 两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角
对应图形关系 ?
?
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 对顶角相等
2.














A
B
C
D
1
3
2
4
O
课堂小结
再 见