第二章相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系
第1课时
一、教学目标
1.知道平面内两条直线的位置关系，并能进行辨析；
2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等；
3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题．
二、教学重点及难点
重点：理解补角、余角、对顶角，掌握同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等．
难点：探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
问题：在我们的生活世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，请找出图片中的相交线、平行线．
你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗？
比如，教室里黑板面相邻的两条边、相对的两条边，操场上的双杠，方格纸上的横线和竖线等等，都给人以相交线、平行线的形象．
设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础．
【探究新知】
探究一：平行线
拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？
提示：有可能平行、相交、重合．
给出相交线、平行线的定义：
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．
不相交的两条直线叫做平行线．
通常情况下我们只研究不重合的情形，若去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？
结论：同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种．
特别强调：平行线的含义有三点
（1）“在同一平面”是前提条件；
（2）“不相交”是指两条直线没有交点；
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段
（有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上市指它们所在的直线平行）．
设计意图：让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系．
探究二：对顶角的概念和性质：
1.观看一组生活中的图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？
对顶角的概念：两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角．
特别关注：（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现．
（2）对顶角是指两个角的位置关系．
在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？
2.对顶角的性质：对顶角相等．
设计意图：让学生从实物中观察，从直观的角度去感受对顶角的概念．并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力．
探究三：余角、补角的概念和性质：
活动1.计算：
（1）44°＋46°= ； （2）30°20′34″＋59°39′26″= ；
（3）10°＋25°＋55°= ； （4）96°＋84°= ；
（5）58°45′＋121°15′= ； （6）50°＋25°＋105°= ．
答案：前三个都是90°；后三个都是180°．
总结：
互为余角、互为补角的概念：
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（如图）．
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（如图）．
互为余角、互为余角的性质：
同角或等角的余角相等．
同角或等角的补角相等．
设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念．并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力．
活动2.如图：打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.
（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
（2）∠3和∠4有什么关系？为什么？
（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？
解：(1)补角关系的有：∠1与∠AOC、∠DON与∠NOC、∠2与∠DOB、∠1和∠DOB、∠2和∠AOC
余角关系的有：∠1与∠3、∠2与∠4、∠1与∠4、∠3与∠2；
(2)∠3=∠4.理由是因为∠1+∠3=∠1+∠4=90°，所以∠3=∠4(余角的性质)；
(3)∠AOC=∠BOD.理由是因为∠1+∠AOC=∠1+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD(补角的性质)；
因为∠3=∠4，所以还能得出ON是∠AOB的角平分线.
设计意图：考查学生对补角与余角的定义和性质的掌握与运用能力，此题考查学生的列举，通过题设信息得出所有补角和余角的对数，再运用余角(或补角)的性质：等角或同角的余角(或补角)相等.两角之和等于直角90°，则两角互余；两角之和等于平角180°，则两角互补.运用角平分线的定义与判断，得出一个角平分线的结论.
【典型例题】
例1 ．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
分析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”得∠2的度数．
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°．因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，所以∠2＝70°(等量代换)．
设计意图：两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．
例2．如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数．
解：由邻补角的定义，可得
∠2＝180°－∠1
＝180°－40°
＝140°．
由对顶角相等，可得
∠3＝∠1＝40°，
∠4＝∠2＝140°．
设计意图：
例3．（1）已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
分析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．
解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°．又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故∠B的度数为15°．
（2）已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数．
解：设这个角为x°，则180－x=4（90－x），
∴x=60．
答：这个角是60°．
设计意图：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．
例4．如图，E，F是直线DG上两点，∠1=∠2，∠3=∠4=90°，找出图中相等的角并说明理由．
解：∠5=∠6，理由是：等角的余角相等．
例5．如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？
解：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3；
互补：∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，∠4与∠AOD，∠2与∠AOD，∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠DOE，∠BOC与∠DOE．
相等：∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠1=∠3，∠2=∠4．
【随堂练习】
1．填表：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
32°
62°23′
x
从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大______．
答案：1．表格第一行：58°，148°；第二行：27°37′，117°37′；
第三行：90°－x，180°－x； 空格：90°．
2．（1）一个角有余角也一定有补角．（ ）（2）一个角有补角也一定有余角． ( )
（3)一个角的补角一定大于这个角．（ ）
解：（1）√；（2）×；（3）×．
3.（1）下列说法正确的是（ ）．D
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．相等的两角是对顶角
C．有公共顶点并且相等的角是对顶角
D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
（2）在下列4个判断中:
①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内，不平行的两条直线一定相交．
其中正确的个数是( )D
A．4 B．3 C．2 D．1
4.（1）如果∠A＝35°18′，那么∠A的余角等于 ；∠A的补角等于 ．54°42′，144°42′
（2）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2＋∠3＝________． 180°
（3）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 ．60°
（4）已知与互补，且与是对顶角，则=_________．．90°
（5）一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度，则这个角的度数是 ．50°
5．如果直线AB，CD相交于O点，且∠AOC＝28°，作∠DOE＝∠DOB，OF平分∠AOE，求∠EOF的度数．
解：∵∠AOC＝∠BOD＝28°（对顶角相等），
又∵∠DOE＝∠DOB，
∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠BOD
＝180°－2∠BOD＝180°－2×28°＝124°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOE＝×124°＝62°．
6．如图所示，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
分析：根据补角的性质，
可得∠AOB＋∠COM＝180°．
根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°．
根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB．
根据解方程，可得∠AOB的度数．根据角的和差，可得答案．
解：∵∠AOB与∠COM互补，
∴∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°．
∵∠COB＝90°，
∴∠AOB＋∠BOM＝90°．
∵OM是∠AOB的平分线，
∴
即
解得∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°．
∵ON平分∠AOC，
得
由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°．
7.如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理由；
（2）如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；
（3）在（2）的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．
分析： （1）首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°．再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；
（2）∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；
（3）根据角的和差关系进行等量代换即可．
解：（1）CD是∠ECB的角平分线．理由如下：
∵∠ACD=90°，CE恰好是∠ACD的角平分线，∴∠ECD=45°，
∵∠ECB=90°，∴∠DCB=90°-45°=45°，
∴∠ECD=∠DCB，
∴此时CD是∠ECB的角平分线；
故答案为：角平分线．
（2）∠ACE=∠DCB，
∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，∠ECD=α，
∴∠ACE=90°-α，∠DCB=90°-α，
∴∠ACE=∠DCB．
（3）∠ECD+∠ACB=180°．
理由如下：∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°．
设计意图：本题主要考查学生对邻补角、对顶角概念的理解，以及对对顶角相等的性质的掌握．
六、课堂小结
1、同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交．
2、
互余 互补 对顶角
定义 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角 两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角
对应图形关系
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 对顶角相等
七、板书设计
2.1两条直线的位置关系
一、平行线：
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．
不相交的两条直线叫做平行线．
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种．
二、对顶角
两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角．
对顶角相等．
三、余角、补角的概念和性质
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（如图）．
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（如图）．
互为余角、互为余角的性质：
同角或等角的余角相等．
同角或等角的补角相等．
四、练习：
(共34张PPT)
第二章相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第1课时
学习目标
1.知道平面内两条直线的位置关系，并能进行辨析；
2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等；
3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题．
从以上图中你有什么发现？
在图形中看到了很多的线，这些线有些是平行的，还有相交的.
哪些是平行线，哪些是相交线？
问题情境
平行线与相交线
拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？
有可能平行、相交、重合．
相交线、平行线的定义：
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．
探究新知
不相交的两条直线叫做平行线．
通常情况下我们只研究不重合的情形，若去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？
结论：
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种．
探究新知
对顶角的概念：两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角．
特别关注：
（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现．
（2）对顶角是指两个角的位置关系．
探究新知
特别强调：平行线的含义有三点
（1）“在同一平面”是前提条件；
（2）“不相交”是指两条直线没有交点；
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段.
（有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行）．
探究新知
探究新知
在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？
对顶角的性质：对顶角相等．
计算：
（1）44°＋46°=______；
（2）30°20′34″＋59°39′26″=______；
（3）10°＋25°＋55°=______；
（4）96°＋84°=______；
（5）58°45′＋121°15′=______；
（6）50°＋25°＋105°=______．
余角、补角的概念和性质：
90°
90°
90°
180°
180°
180°
探究新知
互为余角、互为补角的概念：
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（如图）．
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（如图）．
探究新知
探究新知
如图：打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.
（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
（2）∠3和∠4有什么关系？为什么？
（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？
?
探究新知
解：(1)补角关系的有：∠1与∠AOC、∠DON与∠NOC、∠2与∠DOB、
∠1和∠DOB、∠2和∠AOC
余角关系的有：∠1与∠3、∠2与∠4、
∠1与∠4、∠3与∠2；
(2)∠3=∠4.理由是因为∠1+∠3=∠1+∠4=90°，
所以∠3=∠4(余角的性质)；
(3)∠AOC=∠BOD.理由是因为∠1+∠AOC=∠1+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD(补角的性质)；
因为∠3=∠4，所以还能得出ON是∠AOB的角平分线.
同互为余角、互为补角的性质：
角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
探究新知
例1．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
分析：结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”可得∠2的度数．
A
B
C
F
E
D
1
2
O
典型例题
解：∵∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
∴∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°．
∵∠BOF＝∠2（对顶角相等），
∴∠2＝70°（等量代换）．
A
B
C
F
E
D
1
2
O
典型例题
例2．如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数．
解：由邻补角的定义，可得
∠2＝180°－∠1
＝180°－ 40°
＝140°．
由对顶角相等，可得
∠3＝∠1＝40°，
∠4＝∠2＝140°．
b
a
1
2
3
4
典型例题
例3．（1）已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
典型例题
解：∵∠A与∠B互余， ∴∠A＋∠B＝90°．
又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，
∴设∠B＝x，
∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，
∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，
故∠B的度数为15°．
典型例题
（2）已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数．
解：设这个角为x°，则180－x=4（90－x），
∴x=60．
答：这个角是60°．
例4．如图，E，F是直线DG上两点，∠1=∠2，
∠3=∠4=90°，找出图中相等的角并说明理由．
解：∠5=∠6，理由是：等角的余角相等．
典型例题
例5．如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？
解：互余的角：∠1与∠2，∠1与∠4，
∠2与∠3，∠4与∠3；
互补的角： ∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，
∠4与∠AOD，∠2与∠AOD，
∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠DOE， ∠B OC 与∠DOE．
相等的角：∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠1=∠3，∠2=∠4．
1．填表：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
32° ? ?
62°23′ ? ?
x ? ?
从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大______．
58°
148°
27°37′
117°37′
90°－x
180°－x
90°
随堂练习
2．判断．
（1）一个角有余角也一定有补角．（ ）
（2）一个角有补角也一定有余角． （ ）
（3）一个角的补角一定大于这个角．（ ）
√
×
×
随堂练习
随堂练习
3.（1）下列说法正确的是（ ）．
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．相等的两角是对顶角
C．有公共顶点并且相等的角是对顶角
D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
D
随堂练习
（2）在下列4个判断中:
①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内，不平行的两条直线一定相交．
其中正确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D
随堂练习
4.（1）如果∠A＝35°18′，那么∠A的余角等于 ；∠A的补角等于 ．
（2）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2＋∠3＝ ．
（3）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 ．
（4）已知 与 互补，且 与 是对顶角，则 =_________．
（5）一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度，则这个角的度数是 ．
54°42′
144°42′
180°
60°
90°
50°
随堂练习
5．如果直线AB，CD相交于O点，且∠AOC＝28°，作∠DOE＝∠DOB，OF平分∠AOE，求∠EOF的度数．
解：∵∠AOC＝∠BOD＝28°（对顶角相等），
又∵∠DOE＝∠DOB，
∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠BOD
＝180°－2∠BOD
＝180°－2×28°＝124°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝ ∠AOE＝ ×124°＝62°．
6．如图所示，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
O
A
M
B
N
C
随堂练习
解：∵∠AOB与∠COM互补，
∴∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°．
∵∠COB＝90°，
∴∠AOB＋∠BOM＝90°．
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠BOM＝ ∠AOB，
即∠AOB＋ ∠AOB＝90°，
1
2
1
2
O
A
M
B
N
C
随堂练习
解得∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°．
∵ON平分∠AOC，
得∠AON＝ ∠AOC＝ ×150°＝75°．由角的和差，
∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°．
1
2
1
2
O
A
M
B
N
C
随堂练习
7.如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？并简述理由；
（2）如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；
（3）在（2）的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．
图①
图②
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
随堂练习
解： （1）CD是∠ECB的角平分线．理由如下：
∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ECD＝45°．
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCB＝90°－45°＝45°，
∴∠ECD＝∠DCB，
∴CD是∠ECB的角平分线；
图①
C
D
E
A
B
随堂练习
（2）∠ACE＝∠DCB．理由如下：
∵∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，∠ECD＝α，
∴∠ACE＝90°－α，∠DCB＝90°－α，
∴∠ACE＝∠DCB；
图②
C
D
E
A
B
随堂练习
（3）∠ECD＋∠ACB＝180°．理由如下：
∠ECD＋∠ACB
＝∠ECD＋∠ACE＋∠ECB
＝∠ACD＋∠ECB
＝90°＋90°
＝180°．
图②
C
D
E
A
B
随堂练习
1．同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交．
? 互余 互补 对顶角
定义 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角 两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角
对应图形关系 ?
?
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 对顶角相等
2．
A
B
C
D
1
3
2
4
O
课堂小结
再 见
