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第二章相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系（2）
学习目标
1.理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示两直线垂直；
2.能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质；
3.会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的问题；善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新问题．
上节课我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种．观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么 特殊的位置关系？
它们相交并且所成的夹角是90°．
今天我们继续来探究两条直线的位置关系．
问题情境
垂线、垂足的概念
探究新知
上面我们刚刚观察到的三个图形中，我们发现了相交成90°角的两条直线，这种特殊的两直线间的位置关系我们怎么定义它呢？
垂线、垂足的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．
O
D
C
B
A
l
m
O
探究新知
通常用“⊥”表示两直线垂直，如图，如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作AB⊥CD；如果直线l与直线m互相垂直，记作l⊥m，其中，点O是垂足．
垂线的画法
1．借助三角尺在白纸上画出两条互相垂直的直线（复习小学学习过的画法）
2．借助直尺在方格纸上画出两条互相垂直的直线
画出AB和它的垂线的方法很容易，而画直线CD的垂线相应较难，师生共同探究作法．
A
B
C
D
探究新知
3．用折纸的方法折出互相垂直的直线
探究新知
做一做：
①点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？
②点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
探究垂线的性质
l
l
A
A
探究新知
想一想：
垂线的性质：
（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
探究新知
点到直线的距离：如图，过点A作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．
B
l
A
探究新知
解决问题:回忆体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?你能说出其中的道理吗?
以距离踏板最近的跳远落地点为零点，将尺子拉直并与踏板所在的直线垂直，垂足上尺子表示的数即是跳远成绩．
探究新知
例1．如图，直线BC与MN相交于点O，
AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，
若∠EON＝20°，
求∠AOM和
∠NOC的度数．
分析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM．由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON．再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．
B
C
O
M
A
E
N
典型例题
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°．
∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°．
B
C
O
M
A
E
N
典型例题
例2．如图所示，已知OA⊥OC于点O，
∠AOB＝∠COD．
试判断OB和OD的
位置关系，
并说明理由．
O
D
C
B
A
典型例题
分析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°．再根据垂直的定义，得出OB⊥OD．
解：OB⊥OD．理由如下：
∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
即∠AOB＋∠BOC＝90°．
∵ ∠AOB＝∠COD，
∴∠COD＋∠BOC＝90°，
∴∠BOD＝90°，
∴OB⊥OD．
O
D
C
B
A
典型例题
例3．如图所示，修一条路将A，B两村庄及公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
分析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．
A
B
M
N
典型例题
解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，
线段AB和BC就是符合题意的线路图．
因为从A到B，线段AB最短，
从B到MN，垂线段BC最短，
所以AB＋BC最短．
A
B
M
N
C
典型例题
例4.如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5．
（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
（2）点C到直线AB的距离是多少？
C
A
B
典型例题
分析：（1）点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D．点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．
解：（1）点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D．
S△ABC＝ BC·AC＝ AB·CD，
所以5CD＝3×4，
所以CD＝ ．
所以点C到直线AB的距离为 ．
1
2
12
5
1
2
12
5
C
D
A
B
典型例题
随堂练习
1．判断
（1）一条直线的垂线只能画一条．（ ）
（2）两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线互相垂直．（ ）
（3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离．（ ）
（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（ ）
错误
正确
错误
正确
随堂练习
2．（1）如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝36°，则∠BOE的度数是（ ）
A．36° B．64° C．144° D．54°
（2）已知点A，与点A的距离是5 cm的直线可画（ ）．
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
D
D
随堂练习
（3）如图，OD⊥BC，D是垂足，连结OB，下列说法中：
①线段OB是O，B两点的距离
②线段OB的长度是O，B两点的距离
③线段OD是O点到直线BC的距离
④线段OD的长度是O点到直线BC的距离
其中正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
B
3．（1）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ）．
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等
（C）有三个角相等 （D）有四个角相等
（E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补
（G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等
A，C，D，F，G
随堂练习
（2）如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是_______________．
2
1
E
A
O
C
D
B
OE⊥AB
随堂练习
随堂练习
4.如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上．
(1)画直线DE⊥OB；
(2)画直线DF⊥OA，垂足为F．
解：
随堂练习
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
①过点B作△ABC的AC边上的高BD，过D点作△ABD的AB边上的高DE．
②点A到直线BC的距离是线段 的长度．
③点B到直线AC的距离是线段 的长度．
④点D到直线AB的距离是线段 的长度．
⑤线段AD的长度是点 到直线 的距离．
AB
BD
DE
A
DB
随堂练习
6.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数．
解：∵OE⊥CD， OF⊥AB
∴ ∠BOF＝∠DOE＝90°
∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF
＝90°－65°＝25°
∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°
而∠AOC＝∠BOD＝25°(对顶角相等)
答：∠BOE＝65°，∠AOC＝25°
1．垂线的概念：
两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．垂线的作法
3．垂线的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
课堂小结
再见
第二章相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系
第2课时
一、教学目标
1.理解两直线位置关系中垂直的含义，会用符号表示两直线垂直；
2.能借助三角板、直尺和方格纸画垂线；通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质；
3.会利用两直线垂直的性质解决有关推理与画图中的问题；善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新问题．
二、教学重点及难点
重点：会用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质．
难点：理解垂线的性质以及点到直线的距离的意义，能用性质解决问题．
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
上节课我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种． 、
观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？
提示：它们相交并且所成的夹角是90°．
今天我们继续来探究两条直线的位置关系．
设计意图：数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，既复习了上一节课的知识点——两条直线的位置关系，又体会到生活中大量存在特殊的相交线——垂直，在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；同时也使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂．
【探究新知】
探究一：垂线、垂足：
在上面我们刚刚观察到的三个图形中，我们发现了相交成90°角的两条直线，这种特殊的两直线间的位置关系我们怎么定义它呢？
给出垂线、垂足的定义：
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．
通常用“⊥”表示两直线垂直，如图，如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作AB⊥CD；如果直线l与直线m互相垂直，记作l⊥m，其中，点O是垂足．
设计意图：结合问题情境，让学生理解两条直线垂直的位置关系，体会它是两条直线相交的特殊情况，两条直线垂直是利用两条直线相交所成的角的数量关系来刻画的．结合文字语言、图形语言使学生从不同角度认识垂直，加深对垂直的认识和理解．
探究二：垂线的画法
1．借助三角尺在白纸上画出两条互相垂直的直线（复习小学学习过的画法）
2．借助直尺在方格纸上画出两条互相垂直的直线
画出AB和它的垂线的方法很容易，而画直线CD的垂线相应较难，师生共同探究作法．
3．能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？（教学回归到生活实际）
探究三：探究垂线的性质
1．做一做：
①点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？
②点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A、B、C在直线l上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
2．想一想：
垂线的性质：
（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
3．点到直线的距离:如图，过点A 作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．
4．解决问题:回忆体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?你能说出其中的道理吗?
提示：以距离踏板最近的跳远落地点为零点，将尺子拉直并与踏板所在的直线垂直垂足上尺子表示的数即是跳远成绩．
设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受；并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力．
【典型例题】
例1．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
分析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角∠COM．由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON．再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．
解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°．∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°．
设计意图：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．
例2． 如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD．试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．
分析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°．再根据垂直的定义，得出OB⊥OD．
解：OB⊥OD．理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD．
设计意图：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°．
例3．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
分析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．
解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．
设计意图：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．
例4.如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5．
(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
(2)点C到直线AB的距离是多少？
分析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D．点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．
解：(1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4；
(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D．S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝．所以点C到直线AB的距离为．
设计意图：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．
【随堂练习】
1．判断
（1）一条直线的垂线只能画一条．（ ）错
（2）两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线互相垂直．（ ）对
（3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离．（ ）错
（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（ ）对
2．（1）如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝36°，则∠BOE的度数
是（ ）D
A．36° B．64° C．144° D．54°
（2）已知点A，与点A的距离是5 cm的直线可画（ ）．D
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
（3）如图，OD⊥BC，D是垂足，连结OB，下列说法中：
①线段OB是O，B两点的距离
②线段OB的长度是O，B两点的距离
③线段OD是O点到直线BC的距离
④线段OD的长度是O点到直线BC的距离
其中正确的个数有（ ）个．B
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（1）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是 ．
A、C、D、F、G．
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等
（C） 有三个角相等 （D）有四个角相等
（E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补
（G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等
（2）如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是_______________．OE⊥AB
4.如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上．
(1)画直线DE⊥OB；
(2)画直线DF⊥OA，垂足为F．
解：
设计意图：考查学生对垂直的理解和垂线的画法．
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
①过点B作△ABC的AC边上的高BD，过D点作△ABD的AB边上的高DE．
②点A到直线BC的距离是线段 的长度．
③点B到直线AC的距离是线段 的长度．
④点D到直线AB的距离是线段 的长度．
⑤线段AD的长度是点 到直线 的距离．
解：①如下图：
．
②AB．③BD．④DE．⑤A，BD．
6.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数．
解：∵OE⊥CD， OF⊥AB
∴ ∠BOF＝∠DOE＝90°
∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF
＝90°－65°＝25°
∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°
而∠AOC＝∠BOD＝25°(对顶角相等)
答：∠BOE＝65°，∠AOC＝25°
设计意图：通过练习，加深对垂直概念垂线判定的理解．
六、课堂小结
1．垂线的概念：
两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．垂线的作法
3．垂线的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
七、板书设计
(
2.1两条直线的位置关系（2）
一
、
垂线
、
垂足
：
二、垂线的画法：
三、垂线的性质：
四、练习：
)
