人教A版高二数学 函数的极值与导数（48张ppt）

(共48张PPT)
高二年级 数学
函数的极值与导数
函数的性质
单调性
函数的单调性
与导数的关系
用导数研究函数单调性的方法
f '(x)>0，函数单调递增；
f '(x)<0，函数单调递减.
1.求导；2.求临界点；3.列表；4.单调区间.



复习回顾
解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2).
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) 0 0
f (x)

+
+
f '(x)>0，(x+4)(x-2)>0 即x<-4或x>2；
令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.

1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.
复习回顾
解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2).
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) 0 0
f (x)


f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞).
+
+
-
f '(x)<0，(x+4)(x-2)<0 即 -4令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.

1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.
复习回顾
解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2).
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) 0 0
f (x)


求导数—求临界点—列表—写单调区间

+
+
-
f (x)的单调递减区间为(-4，2).
令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.

1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.
复习回顾
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞).
解：f '(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2).
x (-∞，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+∞)
f '(x) 0 0
f (x)


临界点附近
函数图象有
什么特点？
求导数—求临界点—列表—写单调区间

+
+
-
令 f '(x)=0，解得临界点x=-4，或x=2.


1.求出函数f (x)=x3+3x2-24x-20的单调区间.
复习回顾
f (x)的单调递增区间为(-∞，-4)，(2，+∞).
f (x)的单调递减区间为(-4，2).
还记得高台跳水的例子吗？





a
t
h
o
最高点

h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
探索新知

2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
(1)当t = a时，运动员距水面高度最大，
h(t)在此点的导数是多少呢？





a
t
h
o
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10

h'(a)=0
探索新知



将最高点附近放大
t = a
t < a
t > a
2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
(2)当t < a时，h(t)的单调性如何？
单调递增
h'(t)>0

将最高点附近放大





a
t
h
o





＋
h'(a)=0
探索新知
t = a
t < a
t > a
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
单调递减
h'(t)<0
(3)当t > a时，h(t)的单调性如何？
单调递增
h'(t)>0

将最高点附近放大





a
t
h
o






t = a
t < a
t > a
＋
－
h'(a)=0
探索新知
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
导数的符号有什么变化规律？
在t=a附近，h(t)先增后减，h'(t)先正后负，
h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0．
单调递减
h'(t)<0
单调递增
h'(t)>0

将最高点附近放大





a
t
h
o






＋
－
h'(a)=0
探索新知
t = a
t < a
t > a
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
2.跳水运动员在最高点处附近的情况：
对于一般函数是否也有同样的性质呢？
单调递减
h'(t)<0
单调递增
h'(t)>0

将最高点附近放大





a
t
h
o






＋
－
h'(a)=0
探索新知
t = a
t < a
t > a
h(t) = -4.9t2 + 6.5t +10
3.(1) 如图，函数 y = f (x) 在c，d，e，f，g，h点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y = f (x) 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y = f (x) 的导数的符号有什么规律？









c d e o f g h x
y
探索新知











y = f (x)
x
y
o
a
b

f '(x)>0
f '(x)>0
f '(x)<0


f '(x)<0
极小值点

极大值点

f '(a)=0
f '(b)=0
3.(2) 如图，函数y=f (x)在a，b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？
探索新知

x
y



o
a
b
y=f (x)

x xb
f '(x) + 0 -
f (x) 单调
递增 极大值 单调
递减
f (a)
f (b)
x xa
f '(x) - 0 +
f (x) 单调
递减 极小值 单调
递增




探索新知
一般地，设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义， 如果对 x0 附近的所有的点，都有 f (x) < f (x0)，我们就说 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值，点 x0叫做函数 y = f (x) 的极大值点.
若 f (x) > f (x0)，则称 f (x0)是 f (x) 的一个极小值，点 x0 叫做函数 y = f (x) 的极小值点.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
发现规律
练习 试指出下面函数在[a，b]的极值点与极值，并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点.














y
a
b
x1
x2
x3
x4
o

x

f (x4)
f (x3)
f (x1)
f (x2)
发现规律
极大值点：
x1
，x3
极小值点：
x2
，x4
极大值：
f (x1)
，f (x3)
极小值：
f (x2)
，f (x4)
理解极值概念时需注意的几点
深化理解
理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
深化理解
理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
深化理解
理解极值概念时需注意的几点
(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f (x)在[a，b]内有极值，那么f (x)在[a，b]内绝不是单调函数，即单调函数在定义域内没有极值．
深化理解
理解极值概念时需注意的几点
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1))．
深化理解
理解极值概念时需注意的几点
(5)若函数f (x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2))，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．
深化理解
y

x
o

探究1 极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
结论:极值点处如果有切线，那么切线是水平的，
即 f ?(x)=0.



a
b
y=f (x)

x1


x2


x3




f ?(x1)=0
f ?(x2)=0
f ?(x3)=0
思考 若寻找可导函数的极值点,可否只
由 f '(x) = 0求得即可?
深入探究
分析：x =0是否为函数f (x)=x3的极值点?
f? (x)=3x2 ，当f? (x)=0时，x =0，
而x =0不是该函数的极值点.
x
y



o
f (x) ? x3
探究2 若 f ?(x0)=0，则 x0是否为极值点？
结论：f '(x0)=0是可导函数在x0处取得
极值的必要而不充分条件.
深入探究
f? (x0) =0 x0 是可导函数f (x)的极值点
x0左右两侧导数异号 x0是函数f (x)的极值点 f? (x0)=0
f ?(x)<0
y

x
o


x1


a
b
y=f (x)


极大值点两侧
极小值点两侧
f ?(x)<0

f ?(x)>0

f ?(x)>0


x2
深入探究
探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？
x xx2
f?(x)
f (x)
x xx1
f?(x)
f (x)

增
+
0
-
极大值

减
-
0

增

减
极小值
+
注意:(1)f?(x0)=0时，x0不一定是极值点.
(2)只有f?(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.
(3)求极值点，可以先求满足f?(x0) =0的
点x0，再列表判断单调性.
结论：极值点两侧，导数正负符号相异.
探究3 极值点两侧导数正负符号有何规律？
深入探究
例1 求函数 的极值.
学以致用
求导函数f '(x)
求满足f?(x0) =0的x0

判断x0两侧单调性
若x0两侧单调性不同，则f (x0)为极值


分析：
例1 求函数 的极值.
令 f '(x) = 0，解得 x = 2，或 x = -2.
f '(x) > 0，即 x>2，或 x<-2；
f '(x) < 0，即 -2解:因为 ，
所以 f '(x) = x2 - 4 = (x-2)(x+2).
学以致用
例1 求函数 的极值.
当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化情况如下表:
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 (2, +∞)
f '(x) 0 0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增



所以，当x = –2时，f (x)有极大值 ；
当x = 2时，f (x)有极小值 .
学以致用
例1 求函数 的极值.
令f '(x) = 0，解得x = 2，或 x = -2.
f '(x) > 0，即x>2，或 x<-2；
f '(x) < 0，即-2解:因为 ，
所以f '(x) = x2-4 =(x-2)(x+2).
学以致用

求导整理

求解方程
例1 求函数 的极值.
当 x 变化时，f '(x)，f (x)的变化情况如下表:
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
f '(x) 0 0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增



所以，当x = –2时，f (x)有极大值 ；
当x = 2时，f (x)有极小值 .
学以致用
列表断号
求出极值







-2
o
x
y
2


学以致用
例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
学以致用
求导函数f '(x)
求满足f?(x0) =0的x0

判断x0两侧单调性
若x0两侧单调性不同，则f (x0)为极值


分析：

考虑f (x)的定义域
例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
解：因为f (x)=lnx-x ，所以
学以致用
x (0, 1) 1 (1, +∞)
f '(x) + 0 -
f (x)
所以，当x=1时，函数有极大值-1；函数无极小值.
极大值
当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化情况如下表:
例2 求函数f (x)=lnx-x 的极值.
学以致用
注意：(1)列表时不要忽视定义域；
(2)某些函数可能仅有一个极值.
例3 求函数 的极值.
学以致用
分析：
求f (x)的定义域
求导函数f '(x)
求满足f?(x0) =0的x0
判断x0两侧单调性
若x0两侧单调性不同，则f (x0)为极值




例3 求函数 的极值.
学以致用
x (-∞，-1) -1 (-1，0) （0，1） 1 (1，+∞)
f '(x) + 0 - - 0 +
f (x)
所以，当 x = -1时，函数有极大值-2；
极大值
极小值
例3 求函数 的极值.
当 x 变化时，f '(x)， f (x)的变化情况如下表:

导函数的正负是
交替出现的吗？
学以致用
注意：导函数的正负不一定交替出现，
要具体问题具体分析.
当 x = 1时，函数有极小值2.
求函数极值的一般方法：
归纳方法
求函数极值的一般方法：
(1)确定函数的定义域；
归纳方法
求函数极值的一般方法：
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程 f '(x) = 0的解；
归纳方法
求函数极值的一般方法：
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程 f '(x) = 0的解；
(3)用方程 f '(x) = 0的解，顺次将函数的定义
域分成若干个开区间，并列成表格；
归纳方法
求函数极值的一般方法：
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程 f '(x) = 0的解；
(3)用方程 f '(x) = 0的解，顺次将函数的定义
域分成若干个开区间，并列成表格；

(4)由 f '(x) 在方程 f '(x) = 0的解左右的符号来

判断 f (x) 在此处取得极值的情况.
归纳方法
若在x0附近，f '(x) 左正右负，则 f (x0) 为极大值；



+
-
x0




-
+

x0
若在x0附近，f '(x) 左负右正，则 f (x0) 为极小值.
解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：
归纳方法
函数极值
函数极值的定义
函数极值的求法
1.求导；2.求极值点；
3.列表；4.求极值.
函数的性质
单调性
函数的单调性
与导数的关系
用导数研究函数单调性的方法

总结提升
反映函数在某一点
附近的局部性质

1.下图是导函数 y=f '(x) 的图象，试找出函数 y=f (x) 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.








a
b
x
y
x1
o
x2
x3
x4
x5
x6
课后作业
2.求下列函数的极值:
(1) f (x) = 6x2- x- 2 ；
(2) f (x) = x3- 27x ；
(3) f (x) = 6 +12x - x3 ；
(4) f (x) = 3x - x3 .
课后作业