人教B版高二数学复数的乘法与除法（39张ppt）

(共39张PPT)

复数的乘法与除法
高二年级 数学

设 ，那么
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何定义复数的乘法法则呢？
设 ，定义
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何定义复数的乘法法则呢？

追问 两个复数的乘法运算类似于我们学过的哪种运算？
问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
证明：设 ，那么
所以
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.

追问 如何证明呢？
问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
对任意复数 有
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.

例1 计算：
解：原式
典型例题
①按照多项式的乘法展开

②把 换成-1

③把实部与虚部分别合并

例2 计算下列各式的值.
（1）
（2）
典型例题
例2 计算下列各式的值.
（1）
解法1：原式
解法2：原式
平方差公式

典型例题
例2 计算下列各式的值.
（2）
解法1：原式
解法2：原式
完全平方公式

典型例题
例3 求证：
（1）
（2）
（3）
典型例题
例3 求证：
（1）
证明：设 ，则
所以
两个共轭复数的乘积等于这个复数（或共轭复数）的模的平方.

因为
典型例题
例3 求证：
（2）
证明：设 ，则
从而
因为
所以
典型例题
例3 求证：
（3）
证明：设 则
所以
从而
因为
典型例题
问题3 我们知道，实数的乘方是相同实数的乘积，规定复数的乘方也是相同复数的乘积.那么，复数的乘方满足什么运算律呢？
对复数 和自然数 ，有
例4 计算： .
解：
典型例题
变式1 计算： .
解：
并总结 的取值规律.
典型例题
变式2 计算： .
分析：因为
又因为
所以原式
典型例题
例5 计算:
（1）
分析：
典型例题
例5 计算:
（1）
分析：
有几个复数根？
典型例题
例5 计算:
（2）
解：原式
典型例题
问题4 我们已经建立了复数集里的加、减、乘运算，那么，复数的除法该如何定义呢？

对于复数 ，如果存在复数 ，使 ，
则 叫做 的倒数，记作 .
复数的倒数：
追问1 我们需要把 中的分母由虚数变成实数，以前所学的知识，有没有类似的变形？

无理数的分母有理化：
追问2 如何把 中的分母由虚数变成实数?
分母实数化：
分子分母同时乘以分母的共轭复数



追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的除法法则：
追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的除法法则：
例6 计算:
解：原式
①将除式写为分式

②分母实数化

③分子、分母分别进行乘法运算

典型例题
例7 计算:
解：因为
所以
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（1）
（2）
（3）
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（1）
解：
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（2）
解：
配方法

两个根有什么关系？
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（3）
实数根

分析：当 时，
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（3）
共轭虚根

分析：当 时，
该方程的根与系数有什么关系？
典型例题
练习1 计算：
解：原式
课堂练习
分析：把 代入方程，得到
课堂练习
练习2 已知 是关于 的方程 的根，
则实数 = .
解法2：设
课堂练习
练习2 已知 是关于 的方程 的根，
则实数 = .
思考题 在复数乘法的定义下，复数的乘法运算仍然保持实数乘法的运算律，那么，实数乘法中的所有结论都可以推广到复数中吗？
①当 时， ;但 时， 与 未必相等.
②当 时， ;但 时， 未必成立.
课堂练习
1.复数的乘法法则及其运算律
2.复数的除法法则
3.在复数范围内解实系数一元二次方程
课堂小结
1.计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2.计算：
课后作业
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
3.计算：
课后作业