人教版八年级下册第十八章平行四边形单元导学案（10课时无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册第十八章平行四边形单元导学案（10课时无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 700.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-04 10:39:31 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质(一)
【知识回顾】
1什么是平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2什么是平行四边形的对角线？
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．
3 什么是平行四边形的对边、对角？
平行四边形相对的边称为 对边, 相对的角称为 对角.
【问题引导】
（一）学习目标
1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
（二）问题设置
1. 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
2、你能总结出平行四边形的定义吗？
3、根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？
4、你能证明平行四边形的对边相等、对角相等吗？
5、已知平行四边形一个内角的度数你能确定其它内角的度数吗?
【自主学习】
1． 两组对边分别平行的四边形叫做 ．
2． .如图：四边形ABCD是平行四边形，记作： ABCD ，读作：平行四边形ABCD。
3． 几何语言描述
∵AB CD， AD BC
∴四边形ABCD是平行四边形
【合作探究 】
1、我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
你能总结出平行四边形的定义吗？
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）
2、【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
3、由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）
4、猜想 平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC，
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4．
又 AC＝CA，
∴ △ABC≌△CDA （ASA）．
∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．
又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴ ∠BAD＝∠BCD．
由此得到：
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
5、例习题分析
例1（教材P42例1）
例2（补充）如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边的长各是多少？
分析：根据平行四边形的性质对边相等可
直接求出CD的长度，然后回根
周长求出AD、BC的长度。
6、课堂小结
（1）什么是平行四边形？如何表示？
（2）平行四边形具有什么性质？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
练习一：判断题
⒈平行四边形的两组对边分别平行。 （ ）
⒉平行四边形的四个内角都相等。 （ ）
⒊平行四边形的相邻两个内角的和等于180° （ ）
⒋□ABCD中,如果∠A=30°，那么∠B=60° （ ）
练习二 填空题
（1）在ABCD中，∠A=65°，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
（2）. 在□ABCD中, AB+CD=28cm. □ABCD的周长
等于96cm, 则AB= , BC= , CD= , AD= .
练习三：已知平行四边形ABCD中, ∠1=15°, ∠2=25°,且AB=5cm，AO=2cm，求∠DAB和∠ABC的度数，并找出长度分别为5cm和2cm的线段.
2、课后作业
教科书第43页练习第1，2题；习题18.1第1，2，7，8题．
3、预习任务
仔细阅读课本43-44页
18.1.1 平行四边形的性质(二)
【知识回顾】
（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：
（2）平行四边形的性质：
①具有一般四边形的性质（内角和是）．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
边：平行四边形的对边相等．
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2．经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路．
（二）问题设置
1、把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,画出对角线，交点为O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么?
2、平行四边形的对角线有什么性质？
3、你能证明出平行四边形对角线的性质吗？
4、总结出平行四边形的性质？
5、我们总共学习了平行四边形的哪些性质？
【自主学习】
1平行四边形的 互相 。
2．如图，∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA= ，OB= 。
【合作探究 】
【探究】：
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？
结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
（2）平行四边形的对角线互相平分．
例习题分析
例1（补充） 已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在 ABCD中，AB∥CD，
∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴ △AOE≌△COF（ASA）．
∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
解略
例2（教材P44的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）
课堂小结
（1）平行四边形的对角线有什么关系？
（2）平行四边形有哪些性质？
【分层达标 】
（1）课堂目标检测
1．在平行四边形中，周长等于48，
1 已知一边长12，求各边的长
1 已知AB=2BC，求各边的长
1 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长
2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．
3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是__ ___．
（2）课后作业
1．判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）
2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
（3）预习任务
仔细阅读课本45-47页
18.1.2（一） 平行四边形的判定
【知识回顾】
1.什么是平行四边形？
答； 两组对边分别平行的四边形。
2.平行四边形的性质是什么？
答；平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形对角线互相平分。
【问题引导】
（一）学习目标
? 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
??? 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
（二）问题设置
1、给你一个四边形，你如何判定它是平行四边形？
2、你能根据平行四边形的性质寻找出出平行四边形的判定方法？
3、当一个四边形对边分别相等，这个四边形是平行四边形吗？
4、当一个四边形对角分别相等，这个四边形是平行四边形吗？
5、当一个四边形对角线互相平分，这个四边形是平行四边形吗？
【自主学习】
1、两组对边分别 的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别 的四边形是平行四边形；
3、两组对角分别 的四边形是平行四边形；
4、对角线 的四边形是平行四边形。
【合作探究 】
1、欣赏图片、提出问题．
展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？
2、 【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
①你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
②你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
③你能说出你的做法及其道理吗？
④能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
⑤你还能找出其他方法吗？
从探究中得到：
平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、例习题分析
例1（教材P46例3）已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．
（证明过程参看教材）
问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．
例2（补充） 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．
求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴ 四边形ABCB′是平行四边形．
∴ ∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．
同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．
∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．
∴ B′C＝A′C．
同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B．
∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．
例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO， BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．
4、课堂小结
（1）我们今天学习了几种判定一个四边形是平行四边形的方法？具体有哪些方法？
（2）从哪些方面考虑的？
（2）我们是怎么证明出结论的？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
①若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；
②若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
⑵已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
⑶ 灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为___ __． （6个）
②第8个图形中平行四边形的个数为___ __． （20个）
2、课后作业
教科书第47页练习第1，2，4题；习题18.1第4，5题．
3预习任务
仔细阅读46-47页。
18.1.2（二） 平行四边形的判定
【知识回顾】
1． 平行四边形的性质；
平行四边形的对角相等、对角相等、对角线互相平分。
2． 平行四边形的判定方法；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【问题引导】
（一）学习目标
??? 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
??? 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
??? 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．
（二）问题设置
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
（1）∵ AB∥CD， AD∥BC ，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵ AB=CD， AD=BC ，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
（3）如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形？
（4）如图，将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC之间的位置关系、数量关系？四边形ABCD是什么样的图形？
（5）现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
【自主学习】
1．一组对边___ __的四边形是平行四边形。
2 ∵ AB∥DC，___ __，
∴四边形ABCD是平行四边形 。
3.在四边形ABCD中，AB ∥CD,且AB=CD，则四边形ABCD是 形，理由是 。
【合作探究 】
1、【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2、例习题分析
例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AD=CD．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
∴ BE=DF．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．
例2（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，且AB∥CD．
∴ ∠BAE=∠DCF．
∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．
∴ △ABE≌△CDF （AAS）．
∴ BE=DF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
3、课堂小结
（1）判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？具体有哪些方法？
（2）从边考虑有哪种方法？
（3）从角考虑有哪种方法？
（4）从对角线考虑有哪种方法？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）．
（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD
（2）．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由．
（3）．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
2、课后作业
（1）．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．
（2）．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．
3预习任务
仔细阅读47-49页。
18.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线
【知识回顾】
平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
【问题引导】
（一）学习目标
1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
（二）问题设置
1． 什么叫三角形的中线？三角形的中线有哪些性质？
2． 什么是三角形的中位线？
3． 一个三角形有几条中位线？
4． 三角形的中位线把三角形分成几个三角形？
5． 一般的三角形的中位线与第三边有什么样的位置关系和数量关系呢？
【自主学习】
1．连结三角形两边中点的线段叫叫________.
2．角形的中位线________第三边，并且等于它的________。 ?
3.∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥________，DE=________ BC
【合作探究 】
1、例习题分析
例1（教材P48例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）
例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．
同理EF∥AC，EF=AC．
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
2、课堂小结
（1）本节课你学习了什么定理？
（2）定理的内容是什么？
（3）你是怎样得到定理的？
（4）你有什么新的体会？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
(1)．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．
(2)．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
(3)．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
2、课后作业
教科书第49页练习第1，2，3题；习题18.1第11，12题．
3、预习任务
仔细阅读52-53页。
18.2.1 矩形(一)
【知识回顾】
1、平行四边形的性质；
答：平行四边形的对角相等、对角相等、对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
??? 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
??? 3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
（二）问题设置
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？
4.矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
5.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有的性质．此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特殊性质呢？
【自主学习】
1．有一个角是直角的 叫做矩形(通常也叫长方形)
2. 矩形的四个角都是 。
3．矩形的对角线 。
4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
【合作探究 】
1、图形演示
演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2、例习题分析
例1 （教材P53例1）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
3、课堂小结
（1）本节课你学习了什么内容？
（2）矩形有什么性质？
（3）你有什么新的体会？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．
（选择）
（1）下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
2、课后作业
教科书第53页练习第1，2，3题；习题18.2第9题．
3、预习任务
仔细阅读53-55页。
18.2.1 矩形(二)
【知识回顾】
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
有一个叫是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形有哪些性质？
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
【问题引导】
（一）学习目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
（二）问题设置
1．矩形与平行四边形有什么共同之处？
2. 矩形与平行四边形有什么不同之处？
3．你如何判定一个平行四边形是矩形 ？
4、根据矩形的性质你能来判定矩形吗？
5、你能证明你的结论吗？
【自主学习】
1．有一个角是 的 四边形是矩形
2. 相等的 四边形是矩形
3．有三个角是 的四边形是矩形 。
【合作探究 】
1、创设情境
事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
2、例习题分析
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
??? （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
??? （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
??? （3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
?????（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
?????（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
??? （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
指出：
??? （l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
??? （2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
例2 （补充）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=AC，BO=BD．
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC=（cm）．
例3 （补充）??已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
3、课堂小结
（1）本节课你学习了什么内容？
（2）矩形判定方法有哪些？
（3）你有什么新的体会？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形
已知：如图?，在△ABC中，∠C＝90°，?CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
2、课后作业
教科书第55页练习第1，2题；习题18.2第4题．
3、预习任务
仔细阅读55-57页。
18.2.2 菱形（一）
【知识回顾】
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
有一个叫是直角的平行四边形叫做矩形。
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对角相等、对角相等、对角线互相平分。
3、矩形的性质：
矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等．
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
（二）问题设置
1、我们已经学习了特殊的平行四边形——矩 形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些 性质？
2、平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
3、什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有什么关系？
4、菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
5、菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？
【自主学习】
1．有一组 相等的 四边形叫做菱形．
2．∵AB=________，
四边形ABCD是________，
∴四边形ABCD是菱形。
3. 菱形具有________的一切性质。
【合作探究 】
1、图形演示
（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
2、例习题分析
例1?（补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE．
例2 （教材P56例3）
3、课堂小结
（1）、什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有什么关系？
（2）、菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？
（3）结合本节课的学习，谈谈研究几何图形性质的体会．
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．
（2）．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
（3）．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
（4）．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
2、课后作业
教科书第57页练习1，2；教科书第60页习题18.2第5，7题.
3、预习任务
仔细阅读57-58页。
18.2.2 菱形（二）
【知识回顾】
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
2、菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
【问题引导】
（一）学习目标
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
（二）问题设置
1、运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
2．要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
3．【探究】）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
4、如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接BC，CD．得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
5、菱形的判定方法有哪些？
【自主学习】
1. 一组________相等的________四边形是菱形；
2. 对角线互相________的平行四边形是菱形.
3. 对角线互相垂直________的四边形是菱形.
4. ________都相等的四边形是菱形.
【合作探究 】
1、【探究】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．
例习题分析
例1 （教材P57的例4）略
例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
又 EF⊥AC，
∴ AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
3、课堂小结
（1）我们学了几种菱形的判定方法？
（2）结合本节课的学习，谈谈研究几何图形性质的体会．
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
（2）下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．
（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分
（3）已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
2、课后作业
教科书第58页练习第1，2，3题；习题18.2第6，10题。
3预习任务
仔细阅读58-59页。
18.2.3 正方形
【知识回顾】
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
2、菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
（二）问题设置
1、对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
2、对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
3、对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
4、能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
5、说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
【自主学习】
1.有一组________相等且有一个角是________的________四边形叫做正方形。
2. 正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
3.有一组________相等的矩形叫做正方形。
4.有一个角是________的_菱形叫做正方形。
【合作探究 】
1、做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
2、例习题分析
例1（教材P58的例5） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．
例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
3、课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联系与区别？它有什么性质？怎样判定？
（3）回忆从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的学习过程，我们研究这些图形的次序是什么？其中体现了什么思想？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
判断：下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．
如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
2、课后作业
教科书第61页习题第7，12，13，15题．
3、预习任务
仔细阅读教科书71-74页。
A
B
C
D
E
F
PAGE
18.1.1 平行四边形的性质(一)
【知识回顾】
1什么是平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2什么是平行四边形的对角线？
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．
3 什么是平行四边形的对边、对角？
平行四边形相对的边称为 对边, 相对的角称为 对角.
【问题引导】
（一）学习目标
1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
（二）问题设置
1. 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
2、你能总结出平行四边形的定义吗？
3、根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？
4、你能证明平行四边形的对边相等、对角相等吗？
5、已知平行四边形一个内角的度数你能确定其它内角的度数吗?
【自主学习】
1． 两组对边分别平行的四边形叫做 ．
2． .如图：四边形ABCD是平行四边形，记作： ABCD ，读作：平行四边形ABCD。
3． 几何语言描述
∵AB CD， AD BC
∴四边形ABCD是平行四边形
【合作探究 】
1、我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
你能总结出平行四边形的定义吗？
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）
2、【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
3、由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）
4、猜想 平行四边形的对边相等、对角相等．
下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC，
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4．
又 AC＝CA，
∴ △ABC≌△CDA （ASA）．
∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．
又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
∴ ∠BAD＝∠BCD．
由此得到：
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
5、例习题分析
例1（教材P42例1）
例2（补充）如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边的长各是多少？
分析：根据平行四边形的性质对边相等可
直接求出CD的长度，然后回根
周长求出AD、BC的长度。
6、课堂小结
（1）什么是平行四边形？如何表示？
（2）平行四边形具有什么性质？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
练习一：判断题
⒈平行四边形的两组对边分别平行。 （ ）
⒉平行四边形的四个内角都相等。 （ ）
⒊平行四边形的相邻两个内角的和等于180° （ ）
⒋□ABCD中,如果∠A=30°，那么∠B=60° （ ）
练习二 填空题
（1）在ABCD中，∠A=65°，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
（2）. 在□ABCD中, AB+CD=28cm. □ABCD的周长
等于96cm, 则AB= , BC= , CD= , AD= .
练习三：已知平行四边形ABCD中, ∠1=15°, ∠2=25°,且AB=5cm，AO=2cm，求∠DAB和∠ABC的度数，并找出长度分别为5cm和2cm的线段.
2、课后作业
教科书第43页练习第1，2题；习题18.1第1，2，7，8题．
3、预习任务
仔细阅读课本43-44页
18.1.1 平行四边形的性质(二)
【知识回顾】
（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：
（2）平行四边形的性质：
①具有一般四边形的性质（内角和是）．
②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．
边：平行四边形的对边相等．
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2．经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路．
（二）问题设置
1、把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,画出对角线，交点为O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么?
2、平行四边形的对角线有什么性质？
3、你能证明出平行四边形对角线的性质吗？
4、总结出平行四边形的性质？
5、我们总共学习了平行四边形的哪些性质？
【自主学习】
1平行四边形的 互相 。
2．如图，∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA= ，OB= 。
【合作探究 】
【探究】：
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？
结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
（2）平行四边形的对角线互相平分．
例习题分析
例1（补充） 已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
证明：在 ABCD中，AB∥CD，
∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．
又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，
∴ △AOE≌△COF（ASA）．
∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．
∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．
∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD．
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
解略
例2（教材P44的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．
分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）
课堂小结
（1）平行四边形的对角线有什么关系？
（2）平行四边形有哪些性质？
【分层达标 】
（1）课堂目标检测
1．在平行四边形中，周长等于48，
1 已知一边长12，求各边的长
1 已知AB=2BC，求各边的长
1 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长
2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．
3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是__ ___．
（2）课后作业
1．判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）
2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．
4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
（3）预习任务
仔细阅读课本45-47页
18.1.2（一） 平行四边形的判定
【知识回顾】
1.什么是平行四边形？
答； 两组对边分别平行的四边形。
2.平行四边形的性质是什么？
答；平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形对角线互相平分。
【问题引导】
（一）学习目标
? 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
??? 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
（二）问题设置
1、给你一个四边形，你如何判定它是平行四边形？
2、你能根据平行四边形的性质寻找出出平行四边形的判定方法？
3、当一个四边形对边分别相等，这个四边形是平行四边形吗？
4、当一个四边形对角分别相等，这个四边形是平行四边形吗？
5、当一个四边形对角线互相平分，这个四边形是平行四边形吗？
【自主学习】
1、两组对边分别 的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别 的四边形是平行四边形；
3、两组对角分别 的四边形是平行四边形；
4、对角线 的四边形是平行四边形。
【合作探究 】
1、欣赏图片、提出问题．
展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？
2、 【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
①你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
②你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
③你能说出你的做法及其道理吗？
④能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
⑤你还能找出其他方法吗？
从探究中得到：
平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、例习题分析
例1（教材P46例3）已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．
（证明过程参看教材）
问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．
例2（补充） 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC．
求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
证明：(1) ∵ A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴ 四边形ABCB′是平行四边形．
∴ ∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．
同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．
∴ AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．
∴ B′C＝A′C．
同理 B′A＝C′A， A′B＝C′B．
∴ △ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．
例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO， BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．
理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．
4、课堂小结
（1）我们今天学习了几种判定一个四边形是平行四边形的方法？具体有哪些方法？
（2）从哪些方面考虑的？
（2）我们是怎么证明出结论的？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
①若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；
②若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
⑵已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
⑶ 灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为___ __． （6个）
②第8个图形中平行四边形的个数为___ __． （20个）
2、课后作业
教科书第47页练习第1，2，4题；习题18.1第4，5题．
3预习任务
仔细阅读46-47页。
18.1.2（二） 平行四边形的判定
【知识回顾】
1． 平行四边形的性质；
平行四边形的对角相等、对角相等、对角线互相平分。
2． 平行四边形的判定方法；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【问题引导】
（一）学习目标
??? 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
??? 2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
??? 3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．
（二）问题设置
如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立：
（1）∵ AB∥CD， AD∥BC ，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵ AB=CD， AD=BC ，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
（3）如果只考虑一组对边，它们满足什么条件时，这个四边形能成为平行四边形？
（4）如图，将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC之间的位置关系、数量关系？四边形ABCD是什么样的图形？
（5）现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
【自主学习】
1．一组对边___ __的四边形是平行四边形。
2 ∵ AB∥DC，___ __，
∴四边形ABCD是平行四边形 。
3.在四边形ABCD中，AB ∥CD,且AB=CD，则四边形ABCD是 形，理由是 。
【合作探究 】
1、【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2、例习题分析
例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明
四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥CB，AD=CD．
∵ E、F分别是AD、BC的中点，
∴ DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．
∴ DE=BF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
∴ BE=DF．
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．
例2（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
分析：因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边即可．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，且AB∥CD．
∴ ∠BAE=∠DCF．
∵ BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴ BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．
∴ △ABE≌△CDF （AAS）．
∴ BE=DF．
∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
3、课堂小结
（1）判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？具体有哪些方法？
（2）从边考虑有哪种方法？
（3）从角考虑有哪种方法？
（4）从对角线考虑有哪种方法？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）．（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）．
（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD
（2）．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由．
（3）．已知：如图，在ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
2、课后作业
（1）．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．
（2）．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD．选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．
3预习任务
仔细阅读47-49页。
18.1.2（三） 平行四边形的判定——三角形的中位线
【知识回顾】
平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
【问题引导】
（一）学习目标
1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
（二）问题设置
1． 什么叫三角形的中线？三角形的中线有哪些性质？
2． 什么是三角形的中位线？
3． 一个三角形有几条中位线？
4． 三角形的中位线把三角形分成几个三角形？
5． 一般的三角形的中位线与第三边有什么样的位置关系和数量关系呢？
【自主学习】
1．连结三角形两边中点的线段叫叫________.
2．角形的中位线________第三边，并且等于它的________。 ?
3.∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥________，DE=________ BC
【合作探究 】
1、例习题分析
例1（教材P48例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）
例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵ AH=HD，CG=GD，
∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．
同理EF∥AC，EF=AC．
∴ HG∥EF，且HG=EF．
∴ 四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
2、课堂小结
（1）本节课你学习了什么定理？
（2）定理的内容是什么？
（3）你是怎样得到定理的？
（4）你有什么新的体会？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
(1)．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．
(2)．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
(3)．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
2、课后作业
教科书第49页练习第1，2，3题；习题18.1第11，12题．
3、预习任务
仔细阅读52-53页。
18.2.1 矩形(一)
【知识回顾】
1、平行四边形的性质；
答：平行四边形的对角相等、对角相等、对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
??? 2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
??? 3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
（二）问题设置
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？
4.矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
5.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有的性质．此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特殊性质呢？
【自主学习】
1．有一个角是直角的 叫做矩形(通常也叫长方形)
2. 矩形的四个角都是 。
3．矩形的对角线 。
4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
【合作探究 】
1、图形演示
演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2、例习题分析
例1 （教材P53例1）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
3、课堂小结
（1）本节课你学习了什么内容？
（2）矩形有什么性质？
（3）你有什么新的体会？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．
（选择）
（1）下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
2、课后作业
教科书第53页练习第1，2，3题；习题18.2第9题．
3、预习任务
仔细阅读53-55页。
18.2.1 矩形(二)
【知识回顾】
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
有一个叫是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形有哪些性质？
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
【问题引导】
（一）学习目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
（二）问题设置
1．矩形与平行四边形有什么共同之处？
2. 矩形与平行四边形有什么不同之处？
3．你如何判定一个平行四边形是矩形 ？
4、根据矩形的性质你能来判定矩形吗？
5、你能证明你的结论吗？
【自主学习】
1．有一个角是 的 四边形是矩形
2. 相等的 四边形是矩形
3．有三个角是 的四边形是矩形 。
【合作探究 】
1、创设情境
事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
2、例习题分析
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
??? （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
??? （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （√）
??? （3）四个角都相等的四边形是矩形； （√）
?????（4）对角线相等的四边形是矩形； （×）
?????（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
??? （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)
指出：
??? （l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
??? （2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
例2 （补充）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=AC，BO=BD．
∵ AO=BO，
∴ AC=BD．
∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴ BC=（cm）．
例3 （补充）??已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，
∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴ 四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
3、课堂小结
（1）本节课你学习了什么内容？
（2）矩形判定方法有哪些？
（3）你有什么新的体会？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（选择）下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形 （D）对角互补的平行四边形是矩形
已知：如图?，在△ABC中，∠C＝90°，?CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
2、课后作业
教科书第55页练习第1，2题；习题18.2第4题．
3、预习任务
仔细阅读55-57页。
18.2.2 菱形（一）
【知识回顾】
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
有一个叫是直角的平行四边形叫做矩形。
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对角相等、对角相等、对角线互相平分。
3、矩形的性质：
矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等．
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
（二）问题设置
1、我们已经学习了特殊的平行四边形——矩 形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些 性质？
2、平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
3、什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有什么关系？
4、菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
5、菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？
【自主学习】
1．有一组 相等的 四边形叫做菱形．
2．∵AB=________，
四边形ABCD是________，
∴四边形ABCD是菱形。
3. 菱形具有________的一切性质。
【合作探究 】
1、图形演示
（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
2、例习题分析
例1?（补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE．
例2 （教材P56例3）
3、课堂小结
（1）、什么样的图形叫做菱形？菱形与平行四边形有什么关系？
（2）、菱形具有哪些性质？哪些是一般平行四边形所具有的？哪些是一般平行四边形不具有的？菱形的性质与矩形的性质有什么相同点和不同点？
（3）结合本节课的学习，谈谈研究几何图形性质的体会．
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．
（2）．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
（3）．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
（4）．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
2、课后作业
教科书第57页练习1，2；教科书第60页习题18.2第5，7题.
3、预习任务
仔细阅读57-58页。
18.2.2 菱形（二）
【知识回顾】
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
2、菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
【问题引导】
（一）学习目标
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
（二）问题设置
1、运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
2．要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
3．【探究】）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
4、如图，先画两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交点为C，连接BC，CD．得到的四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
5、菱形的判定方法有哪些？
【自主学习】
1. 一组________相等的________四边形是菱形；
2. 对角线互相________的平行四边形是菱形.
3. 对角线互相垂直________的四边形是菱形.
4. ________都相等的四边形是菱形.
【合作探究 】
1、【探究】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．
例习题分析
例1 （教材P57的例4）略
例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC．
∴ ∠1=∠2．
又 ∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≌△COF．
∴ EO=FO．
∴ 四边形AFCE是平行四边形．
又 EF⊥AC，
∴ AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
3、课堂小结
（1）我们学了几种菱形的判定方法？
（2）结合本节课的学习，谈谈研究几何图形性质的体会．
【分层达标 】
1、课堂目标检测
（1）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
（2）下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）．
（A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分
（3）已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
2、课后作业
教科书第58页练习第1，2，3题；习题18.2第6，10题。
3预习任务
仔细阅读58-59页。
18.2.3 正方形
【知识回顾】
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
2、菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
【问题引导】
（一）学习目标
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
（二）问题设置
1、对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
2、对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
3、对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？
4、能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
5、说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
【自主学习】
1.有一组________相等且有一个角是________的________四边形叫做正方形。
2. 正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
3.有一组________相等的矩形叫做正方形。
4.有一个角是________的_菱形叫做正方形。
【合作探究 】
1、做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
2、例习题分析
例1（教材P58的例5） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD， AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴ ∠EAO=∠FDO．
∴ △AEO ≌△DFO．
∴ OE=OF．
例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，
∴ PN∥QM，∠PNM=90°．
∵ PQ∥NM，
∴ 四边形PQMN是矩形．
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
∴ ∠1+∠2=90°．
又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3．
∴ △ABM≌△DAN．
∴ AM=DN． 同理 AN=DP．
∴ AM+AN=DN+DP
即 MN=PN．
∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
3、课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联系与区别？它有什么性质？怎样判定？
（3）回忆从平行四边形到矩形、菱形再到正方形的学习过程，我们研究这些图形的次序是什么？其中体现了什么思想？
【分层达标 】
1、课堂目标检测
判断：下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．
如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
2、课后作业
教科书第61页习题第7，12，13，15题．
3、预习任务
仔细阅读教科书71-74页。
A
B
C
D
E
F
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