人教A版数学高一 平面向量的减法运算（134张ppt）

(共134张PPT)
高一年级 数学
平面向量的减法运算
一、复习引入
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.

三角形法则，
平行四边形法则.
B
D
A
C
a
b
a b
+
b
a
A
B
a
C
b
a + b
向量加法的三角形法则：



a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，



O

a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ，


O

A
a
a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .


O

A
B
a
b

a
b
向量加法的三角形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
则 即为所求 .

O

A
B
a
b
a b
+
a
b
向量加法的平行四边形法则：

a
b
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，


O

a
b
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .

a
b
O

A
B
a
b
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
以OA，OB 为邻边作 ，

a
b
O

A
B
a
b
C
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
以OA，OB 为邻边作 ，
连接OC ，


a
b
O

A
B
a
b
C
向量加法的平行四边形法则：
在平面内任取一点O ，
作 ， .
以OA，OB 为邻边作 ，
连接OC ，
则 即为所求.

O

A
B
a
b
a b
+
C
a
b
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.
2.
旧知回顾：
1.平面向量加法的运算法则.
2.
二、探究新知
逆运算
数
加法
减法

逆运算
数
加法
减法

相反数

类比
逆运算
向量
加法
减法
逆运算
数
加法
减法

相反数


a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，






a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，






a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
(2)-0=0.






a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
(2)-0=0.
(3)a+(-a)=(-a)+a=0.






a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
(1)-(-a)=a ，
(2)-0=0.
(3)a+(-a)=(-a)+a=0.
(4)若a，b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.






a 的相反向量：与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作 -a.
向量减法的定义：
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即
a-b=a+(-b).
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
已知非零向量a，b，求作a-b.
探究1：向量减法的几何意义
已知非零向量a，b，a-b的几何意义是什么？
探究1：向量减法的几何意义
作 ， ，


O
A
B
a

不共线向量
作 ， ，
作 ，


O
A
B
a
D

不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)，



O
A
B
a
D
不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=


O
A
B
a
C
D

不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=


O
A
B
a
C
D

不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，


不共线向量
O
A
B
a
C
D
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，
所以OCAB是平行四边形.

不共线向量
O
A
B
a
C
D
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，
所以OCAB是平行四边形.所以



O
A
B
a
C
D

不共线向量
作 ， ，
作 ，由向量减法的定义知，
a-b=a+(-b)=
在四边形OCAB中，因为， 且 ，
所以OCAB是平行四边形.所以
因此，我们得到a-b的作图方法.



O
A
B
a
C
D

不共线向量



b
a
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，



b
a
O
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，



b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
第二步，作 ， ，



b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
则 ，
第二步，作 ， ，



b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
则 ，
第二步，作 ， ，
即 .



b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
则 ，
第二步，作 ， ，
即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
即 .



b
a
O
A
B
a
.
探究1：向量减法的几何意义
如图，已知向量a ， b，
第一步，在平面内任取一点O，
第二步，作 ， ，
即a-b可以表示为从向量b的终点指向向
量a的终点的向量.
共起点，连终点，指向被减.
即 .
则 ，
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
b
a
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
a
-b
O
A
B
b
a
探究1：向量减法的几何意义
(-b) + a
O
A
B
O
A
B
b
a
-b
a
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
O
A
B
b
a
-b
a
a +(-b)
探究1：向量减法的几何意义
a-b
O
A
B
O
A
B
b
a
-b
a
探究1：向量减法的几何意义
O
A
B
O
A
B
a-b
a-b
b
a
-b
a

O
A
B
a
探究1：向量减法的几何意义

O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义

O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义


O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义


O
A
B
a
C
探究1：向量减法的几何意义
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
答：向量 .
思考：(1)如果从向量 a 的终点到向量 b 的终点做向量，那么所得向量是什么？
O
A
B
a
.
答：向量 .
从数的角度看 .
思考：(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？



(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？

同向


a
b
O
A
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？

同向


a
b
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？

同向


a
b
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？

同向


反向
a
b
b
a
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？

同向


反向
a
b
b
a
O
A
a
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？

同向


反向
a
b
b
a
O
A
a
B
b
O
A
B
b
a
(2) 如果改变向量 a 的方向，使向量 a 与向量 b 是共线向量，怎样作出向量 a - b？

同向


反向
a
b
b
a
O
A
a
B
b
O
A
B
b
a
a
b
d
c
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

a
b
d
c
O
.
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
a
A
O
典型例题：
作法：在平面内任取一点O，
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

a
b
d
c
a
b
A
O
B
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
c
a
b
A
C
O
B
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
c
d
a
b
A
C
O
D
B
典型例题：
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

作法：在平面内任取一点O，
a
b
d
c
c
d
a
b
A
C
O
D
B
典型例题：
作法：在平面内任取一点O，
例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

例 如下图，已知向量 a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.

a
b
d
c
c
d
a
b
A
C
O
D
B
典型例题：
作法：在平面内任取一点O，
探究2：
分析：

探究2：

分析：

探究2：


转化
分析：

探究2：

分析：

探究2：


分析：

探究2：


把b换成-b
分析：

探究2：


把b换成-b
分析：

探究2：

转化


把b换成-b
探究2：
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
A
B
a
C
b
a+ b
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a-b
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
不共线向量
作 则
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，
作 则
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
作 则
A
B
a
C
b
a-b
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a-b
作 则
不共线向量
三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，
A
B
a
C
b
a-b
作 则
共线向量

同向



a
b
O
A
B
b
a
探究2：
共线向量

同向


反向

a
b
O
A
B
b
b
a
a
O
A
a
B
b
探究2：
探究2：
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
典型例题：
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
解：
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最大值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
可知 的最大值为
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
当且仅当a与b方向相反时取得最大值.
由 ，
可知 的最大值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
可知 的最小值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
由 ，
可知 的最小值为
例 已知 求 的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系.
当且仅当a与b方向相同时取得最小值.
由 ，
可知 的最小值为
三、向量加、减法的应用
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？

典型例题：
a
b
A
C
B
D
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？
典型例题：
a
b
A
C
B
D
解：
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？


典型例题：
a
b
A
C
B
D
解：由向量加法的平行四边形法则，得
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？


典型例题：
a
b
A
C
B
D
a+b
解：由向量加法的平行四边形法则，得
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？


典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
a
b
A
C
B
D
a+b
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？


典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
同样，由向量的减法，知
a
b
A
C
B
D
a+b
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？


典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
同样，由向量的减法，知
a
b
A
C
B
D
a+b
例 如下图，在 中， ，
你能用a，b 表示向量 ， 吗？


典型例题：
解：由向量加法的平行四边形法则，得
同样，由向量的减法，知
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
典型例题：
追问：
典型例题：
追问：
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
分析：
典型例题：
追问：
分析：

D
B
A
a
b
C
典型例题：
追问：
分析：

D
B
A
a
b
C
a+b
典型例题：
追问：
分析：

D
B
A
a
b
C
a-b
a+b
典型例题：
追问：
分析：

D
B
A
a
b
C
不成立.
a-b
a+b
典型例题：
追问：
分析：
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
典型例题：
追问：
不成立.
分析：
a
b
A
C
B
D
a+b
a-b
追问：如下图，在 中， ，
，你能判断这个平行
四边形是什么形状吗？

若
追问：如下图，在 中， ，
，你能判断这个平行
四边形是什么形状吗？
答：矩形

若
四、课堂回顾
1. 向量减法的几何意义是什么？
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？


a-b 表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
O
A
B
a
.
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
3. 如何研究向量的减法运算？

课堂回顾：
1. 向量减法的几何意义是什么？
2.
3. 如何研究向量的减法运算？
我们通过类比数的减法，把减去一个向量转化成加上这个向量的相反向量.

课堂回顾：
五、课后作业
课后作业
1. 如图，已知向量a，b，求作向量a-b.
2．化简：
（1） ；（2） .
3.（1）已知向量a，b求作向量c，使a + b + c=0.
（2）（1）中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗？





a
b
谢谢观看，同学们再见!