第4章 　电磁感应中的动力学问题、能量问题 Word版含解析

1.(多选)如图所示,金属线框abcd置于光滑水平桌面上,其右方存在一个有理想边界的方向竖直向下的矩形匀强磁场区,磁场宽度大于线框宽度。金属线框在水平恒力F作用下向右运动,ab边始终保持与磁场边界平行。ab边进入磁场时线框恰好能做匀速运动。则下列说法中正确的是(　AD　)
A.线框穿出磁场过程中,一定先做减速运动
B.线框完全处于磁场中的运动阶段,F做的功大于线框动能的增加量
C.线框进入磁场过程,F做的功大于线框内增加的内能
D.线框穿出磁场过程中,F做的功小于线框中产生的焦耳热
解析:线框进入磁场的过程做匀速运动,恒力F等于安培力。线框完全处于磁场中的阶段,磁通量不变,没有感应电流产生,线框做匀加速运动,则线框穿出磁场时速度大于进入磁场时的速度,安培力增大,将大于F,所以线框将做减速运动,故选项A正确;线框完全处于磁场中的阶段,做匀加速运动,根据功能关系可知,F做的功等于线框动能的增加量,故选项B错误;线框进入磁场过程,动能不变,产生感应电流,根据功能关系可知,F做的功等于线框内增加的内能,故选项C错误;线框穿出磁场过程中,由于速度增大,穿出时产生的感应电动势和感应电流大于进入磁场时的感应电动势和感应电流,线框所受的安培力也大于进入磁场时的安培力,这样线框做减速运动,根据功能关系知,F做的功与线框动能减少量之和等于产生的焦耳热,则F做的功小于线框中产生的焦耳热,故选项D正确。
2.如图所示,间距为L,电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置,导轨左端用一阻值为R的电阻连接,导轨上横跨一根质量为m、电阻也为R的金属棒,金属棒与导轨接触良好。整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现使金属棒以初速度v0沿导轨向右运动,若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q。下列说法正确的是(　D　)
A.金属棒在导轨上做匀减速运动
B.整个过程中电阻R上产生的焦耳热为
C.整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为
D.整个过程中金属棒克服安培力做功为
解析:设某时刻的速度为v,则此时的电动势E=BLv,安培力F安=,由牛顿第二定律有F安=ma,则金属棒做加速度减小的减速运动,选项A错误;由能量守恒定律知,整个过程中克服安培力做功等于电阻R和金属棒上产生的焦耳热之和,即W安=Q=m,选项B错误,D正确;整个过程中通过导体棒的电荷量q===,得金属棒在导轨上发生的位移x=,选项C错误。
3.(多选)如图所示,平行金属导轨与水平面成θ角,用导线与固定电阻R1和R2相连,匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒ab,质量为m,两导轨间距为l,导体棒的电阻与固定电阻R1和R2的阻值相等,都等于R,导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,导体棒ab沿导轨向上滑动,当上滑的速度为v时,有(　AC　)
A.棒中感应电流的方向由a到b
B.棒所受安培力的大小为
C.棒两端的电压为
D.棒动能的减少量等于其重力势能的增加量与电路上产生的电热
之和
解析:由右手定则可判定导体棒中的电流方向为a→b,故选项A正确;由E=Blv及串、并联电路的特点,知R外=,则I==,所以导体棒所受安培力的大小F=BIl=,故选项B错误;结合I=,知导体棒两端的电压U=I·=,故选项C正确;由能量守恒知,导体棒动能的减少量等于其重力势能的增加量以及电路中产生的电热和克服摩擦力做功产生的内能,故选项D错误。
4.(多选)两根足够长的平行光滑导轨竖直固定放置,顶端接一电阻R,导轨所在的平面与匀强磁场垂直;将一金属棒与下端固定的轻弹簧的上端拴接,金属棒和导轨接触良好,重力加速度为g,如图所示。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放,则下列说法正确的是(　AD　)
A.金属棒在最低点的加速度小于g
B.回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
C.当弹簧弹力等于金属棒的重力时,金属棒下落速度最大
D.金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度
解析:金属棒先向下做加速运动,后向下做减速运动,假设没有磁场,金属棒运动到最低点时,根据简谐运动的对称性可知,最低点的加速度等于刚释放时的加速度g,由于金属棒向下运动的过程中产生感应电流,受到安培力,而安培力是阻力,则知金属棒下降的高度小于没有磁场时下降的高度,故金属棒在最低点的加速度小于g,故选项A正确;根据能量守恒定律知,回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量与弹簧弹性势能增加量之差,故选项B错误;金属棒向下运动的过程中,受到重力、弹簧的弹力和安培力三个力作用,当三力平衡时,速度最大,即当弹簧弹力、安培力之和等于金属棒的重力时,金属棒下落速度最大,故选项C错误;由于产生内能,由能量守恒得知,金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度,故选项D正确。
5.(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r?R)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中,圆环的圆心始终在N极的轴线上,圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v,忽略电感的影响,则(　AD　)
A.此时在圆环中产生了(俯视)顺时针的感应电流
B.圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C.此时圆环的加速度a=
D.如果径向磁场足够长,则圆环的最大速度vm=
解析:根据右手定则可知感应电流的方向为顺时针方向,选项A正确;由左手定则可以判断,此时圆环受到的安培力方向向上,选项B错误;对圆环由牛顿第二定律可得加速度a=g-,选项C错误;当重力等于安培力时速度达到最大,可得vm=,选项D正确。
6.CD,EF是两条水平放置的电阻可忽略的平行金属导轨,导轨间距为L,在水平导轨的左侧存在磁感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B,磁场区域的长度为d,如图所示。导轨的右端接有一电阻R,左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接。将一阻值也为R的导体棒从弯曲轨道上h高处由静止释放,导体棒最终恰好停在磁场的右边界处。已知导体棒与水平导轨接触良好,且动摩擦因数为μ,则在此过程中,下列说法正确的是(　D　)
A.电阻R的最大电流为
B.流过电阻R的电荷量为
C.整个电路中产生的焦耳热为mgh
D.电阻R中产生的焦耳热为mg(h-μd)
解析:由题图可知,导体棒刚进入磁场的瞬间速度最大,产生的感应电流最大,由机械能守恒有mgh=mv2,所以I===,A错误;流过R的电荷量为q=t==,B错误;由能量守恒定律可知整个电路产生的焦耳热为Q=mgh-μmgd,C错误;由于导体棒的电阻也为R,则电阻R中产生的焦耳热为Q=mg(h-μd),D正确。
7.如图,两根相距L=0.4 m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置,一端与阻值R=0.15 Ω的电阻相连。导轨x>0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场,其方向与导轨平面垂直,变化率k=0.5 T/m,x=0处磁场的磁感应强度B0=0.5 T。一根质量m=0.1 kg、电阻r=0.05 Ω 的金属棒置于导轨上,并与导轨垂直。棒在外力作用下从x=0处以初速度v0=2 m/s沿导轨向右运动,运动过程中电阻上消耗的功率不变。求:
(1)回路中的电流;
(2)金属棒在x=2 m处的速度;
(3)金属棒从x=0运动到x=2 m过程中安培力做功的大小;
(4)金属棒从x=0运动到x=2 m过程中外力的平均功率。
解析:(1)由于棒在运动过程中电阻上消耗的功率不变,所以回路中感应电动势恒定,在x=0处由法拉第电磁感应定律得E=B0Lv=0.4 V
由闭合电路欧姆定律得I==2 A。
(2)x=2 m处的磁感应强度大小为B2=B0+kx=1.5 T,
E=B2Lv2
得v2=0.67 m/s。
(3)由于F=BIL且B=B0+kx,
电阻上消耗的功率不变,故电流不变为I=2 A,
x=0时F0=B0IL=0.4 N,
x=2 m时FA=B2IL=1.2 N,
安培力做功W=·x=1.6 J。
(4)由EIt=W解得t=2 s,
金属棒从x=0运动到x=2 m的过程
由动能定理可得Pt-W=m-m,
得P=0.71 W。
答案:(1)2 A　(2)0.67 m/s　(3)1.6 J　　(4)0.71 W
能力提升
8.如图所示,“凸”字形硬质金属线框质量为m,相邻各边互相垂直,且处于同一竖直平面内,ab边长为l,cd边长为2l,ab与cd平行,间距为2l。匀强磁场区域的上下边界均水平,磁场方向垂直于线框所在平面。开始时,cd边到磁场上边界的距离为2l,线框由静止释放,从cd边进入磁场直到ef,pq边进入磁场前,线框做匀速运动,在ef,pq边离开磁场后,ab边离开磁场之前,线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q.线框在下落过程中始终处于原竖直平面内,且ab,cd边保持水平,重力加速度为g。求:
(1)线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的几倍;
(2)磁场上下边界间的距离H。
解析:(1)设磁场的磁感应强度大小为B,cd边刚进磁场时,线框做匀速运动的速度为v1,则
E1=2Blv1 ①
设线框总电阻为R,此时线框中电流为I1,闭合电路欧姆定律,有
I1= ②
设此时线框所受安培力大小为F1,有F1=2BI1l ③
由于线框做匀速运动,其受力平衡,有mg=F1 ④
由①②③④式得v1= ⑤
设ab边离开磁场之前,线框做匀速运动的速度为v2,同理可得v2= ⑥
由⑤⑥式得v2=4v1。 ⑦
(2)线框自释放直到cd边进入磁场前,由机械能守恒定律,有
2mgl=m ⑧
线框完全穿过磁场的过程中,由能量守恒定律,有
mg(2l+H)=m-m+Q ⑨
由⑦⑧⑨式得H=+28l。 ⑩
答案:(1)4倍　(2)+28l
9.如图,关于y轴对称的导体轨道位于水平面内,磁感应强度为B的匀强磁场与平面垂直。足够长,质量为m的直导体棒沿x轴方向置于轨道上,在外力F作用下从原点由静止开始沿y轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动,运动时棒与x轴始终平行。棒单位长度的电阻为ρ,与电阻不计的轨道接触良好,运动中产生的热功率随棒位置的变化规律为P=k(SI)。求:
(1)导体轨道的轨道方程y=f(x);
(2)棒在运动过程中受到的安培力Fm随y的变化关系式;
(3)棒从y=0运动到y=L过程中外力F的功。
解析:(1)设棒运动到某一位置时与轨道接触点的坐标为(±x,y),　
此时,切割磁感线的长度为L=2x,
棒有效的电阻为R=2ρx,
安培力F=BIL=,
安培力的功率P=Fv==k
棒做匀加速运动,有v2=2ay,
代入前式得y=()2x2,轨道为抛物线。
(2)安培力Fm==,
将轨道方程代入得Fm=y。
(3)此过程中安培力做功W安= L2,
棒在y=L处动能mv2=maL,
由动能定理得W-W安=mv2,
解得外力F做功W= L2+maL。
答案:(1)y=()2x2　(2)Fm=y
(3) L2+maL
10.如图甲所示,间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上.在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场,磁感应强度为B;在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场,其磁感应强度Bt的大小随时间t变化的规律如图乙所示。t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑,同时下端的另一金属细棒cd在位于区域Ⅰ内的导轨上由静止释放。在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前,cd棒始终静止不动,两棒均与导轨接触良好。已知cd棒的质量为m、电阻为R,ab棒的质量、阻值均未知,区域Ⅱ沿斜面的长度为2l,在t=tx时刻(tx未知)ab棒恰进入区域Ⅱ,重力加速度为g。求:
(1)通过cd棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向;
(2)当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率;
(3)ab棒开始下滑的位置离EF的距离;
(4)ab棒从开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量。
解析:(1)在0～tx时间内由楞次定律知通过cd棒的电流方向为d→c
由左手定则可判断出区域Ⅰ内磁场方向为垂直于斜面向上。
(2)对cd棒,F安=BIl=mgsin θ,
所以通过cd棒的电流大小I=
当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率
P=I2R=。
(3)ab棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动,加速度大小为a=
gsin θ
cd棒始终静止不动,ab棒在到达区域Ⅱ前、后回路中产生的感应电动势不变,则ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动可得=Blvt,即=Blgsin θtx,
所以tx=
ab棒在区域Ⅱ中做匀速直线运动的速度vt=
则ab棒开始下滑的位置离EF的距离
h=a+2l=3l。
(4)ab棒在区域Ⅱ中运动的时间t2==
ab棒从开始下滑至EF的总时间t=tx+t2=2,
E=Blvt=Bl
ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产生的热量
Q=EIt=4mglsin θ。
答案:(1)电流由d到c　磁场垂直于斜面向上
(2)　(3)3l　(4)4mglsin θ