第2章　匀变速直线运动规律及其应用 复习学案 Word版含解析

匀变速直线运动规律及其应用
一、匀变速直线运动的基本规律
1.速度与时间的关系式:v=v0+at。
2.位移与时间的关系式:x=v0t+at2。
3.位移与速度的关系式:v2-=2ax。
二、匀变速直线运动的推论
1.平均速度公式:==。
2.位移差公式:Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-=aT2。
可以推广到xm-xn=(m-n)aT2。
※3.初速度为零的匀加速直线运动比例式
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为
v1∶v2∶v3∶…∶vN=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内……位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xN=1∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
(4)通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶…∶tN=1∶(-1)∶(-)∶…∶(-)。
三、自由落体运动和竖直上抛运动的规律
1.自由落体运动规律
(1)速度公式:v=gt。
(2)位移公式:h=gt2。
(3)速度—位移关系式:v2=2gh。
2.竖直上抛运动规律
(1)速度公式:v=v0-gt。
(2)位移公式:h=v0t-gt2。
(3)速度—位移关系式:v2-=-2gh。
(4)上升的最大高度:h=。
(5)上升到最大高度用时:t=。
考点一　匀变速直线运动基本规律的应用
[典例1] 某机场大道路口,有按倒计时显示的时间显示灯。有一辆汽车在平直路面上正以36 km/h的速度朝该路口停车线匀速前行,在车头前端离停车线70 m处司机看到前方绿灯刚好显示“5”。交通规则规定:绿灯结束时车头已越过停车线的汽车允许通过。
(1)若不考虑该路段的限速,司机的反应时间为1 s,司机想在剩余时间内使汽车做匀加速直线运动以通过停车线,则汽车的加速度至少多大?
(2)若该路段限速60 km/h,司机的反应时间为1 s,司机反应过来后汽车先以
2 m/s2的加速度沿直线加速3 s,为了防止超速,司机在加速结束时立即踩刹车使汽车做匀减速直行,结果车头前端与停车线相齐时刚好停下,求刹车后汽车加速度的大小(结果保留两位有效数字)。
解析:(1)司机反应时间内汽车通过的位移x1=v0t1=10 m,
加速过程所用时间t2=5 s-t1=4 s,
x-x1=v0t2+a1,代入数据得a1=2.5 m/s2。
(2)汽车加速结束时通过的位移
x2=v0t1+v0t3+a2
=10 m+10×3 m+×2×32 m
=49 m
此时车头前端离停车线的距离为x3=70 m-x2=21 m,
此时速度为v=v0+a2t3=10 m/s+2×3 m/s=16 m/s,
匀减速过程中有0-v2=-2a3x3,
代入数据解得a3=6.1 m/s2。
答案:(1)2.5 m/s2　(2)6.1 m/s2
(1)速度时间公式v=v0+at、位移时间公式x=v0t+at2,是匀变速直线运动的两个基本公式,是解决匀变速直线运动的基石。
(2)匀变速直线运动的基本公式均是矢量式,应用时要注意各物理量的符号,一般规定初速度的方向为正方向,当v0=0时,一般以a的方向为正方向。
变式1:某校体育课上正在进行100 m短跑测试,一同学从起点由静止开始以
2 m/s2的加速度做匀加速运动,5 s后改做匀速运动直至到达终点,接着以4 m/s2的加速度做匀减速运动,经1.5 s进入迎接区,如图所示,问:
(1)该同学的成绩为多少秒?
(2)终点线到迎接区边界的距离为多少米?
解析:(1)加速运动的位移为
x1=a1=×2×52 m=25 m,
匀加速运动的末速度为v1=a1t1=2×5 m/s=10 m/s,
则匀速运动的时间为t2== s=7.5 s,
该同学的成绩为t=t1+t2=5 s+7.5 s=12.5 s。
(2)因为a2=-4 m/s2,则匀减速运动的位移为
x2=v1t3+a2=10×1.5 m-×4×1.52 m=10.5 m。
答案:(1)12.5 s　(2)10.5 m
考点二　匀变速直线运动推论的应用
推论公式主要是指:①==,②Δx=aT2。
[典例2] 一列火车做匀变速直线运动驶来,一人在轨道旁边观察火车运动,发现在相邻的两个10 s内,火车从他身边分别驶过8节车厢和6节车厢,每节车厢长8 m(相邻车厢连接处长度不计),求:
(1)火车加速度的大小;
(2)这20 s内中间时刻的瞬时速度大小;
(3)人刚开始观察时火车速度的大小。
解析:(1)由题知,火车做匀减速运动,设火车的加速度大小为a,每节车厢长L=
8 m,
由Δx=aT2,得8L-6L=a×102,
解得a= m/s2=0.16 m/s2。
(2)=== m/s=5.6 m/s。
(3)设人开始观察时火车速度大小为v0,由
-=2·(-a)·8L
得v0==7.2 m/s。
[还可以由=v0-aT得v0=+aT=(5.6+0.16×10) m/s=7.2 m/s]
答案:(1)0.16 m/s2　(2)5.6 m/s　(3)7.2 m/s
平均速度公式==与位移差公式Δx=aT2,两个式子都是矢量式,在应用时要注意v0与v,Δx与a的方向关系。平均速度公式常与x=·t结合使用,而位移差公式中T表示相等时间间隔,而不是运动时间。
变式2:有一质点在连续12 s内做匀加速直线运动,在第一个4 s 内位移为24 m,在最后4 s内位移为56 m,求质点的加速度大小。(请用不同的方法解)
解析:法一　运用运动学基本公式求解
根据x=v0t+at2,有
24=v0×4+a·42
56=v1×4+a·42
又由v=v0+at,有v1=v0+a×8
联立可解得a=1 m/s2。
法二　利用平均速度公式求解
由于已知量有x及t,平均速度可求,故可利用平均速度公式=,第一个4 s内平均速度等于中间时刻2 s时的速度,v2= m/s=6 m/s
最后4 s内平均速度等于中间时刻10 s时的速度,
v10= m/s=14 m/s
所以a==m/s2=1 m/s2。
法三　利用Δx=aT2求解
本题出现了三个连续相等时间间隔(4 s),故可选用公式
Δx=aT2,x2-x1=aT2,x3-x2=aT2
所以x3-x1=2aT2
a== m/s2=1 m/s2。
答案:1 m/s2
考点三　自由落体运动和竖直上抛运动
1.自由落体运动是初速度v0=0,只受重力作用即加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。
基本规律:速度公式v=gt;位移公式h=gt2;速度与位移关系式:v2=2gh。
2.竖直上抛运动的特征是初速度不为零,方向竖直向上,在运动过程中只受重力作用,即加速度a=-g的匀变速直线运动。
基本规律:速度公式v=v0-gt;位移公式h=v0t-gt2;速度与位移关系式v2-=-2gh。
[典例3] 一个物体从某一高度做自由落体运动,已知它第1秒内的位移恰为它最后1秒内位移的一半,g取10 m/s2,则它开始下落时距地面的高度为多少?
解析:由h=gt2可得
第1秒内的位移h1=×10×12 m=5 m,
则最后1秒内的位移h2=2h1=10 m;
设下落总时间为t,
最后1秒内的位移h2=gt2-g(t-1)2=10 m,
解得t=1.5 s,
则物体下落的总高度h=gt2=11.25 m。
答案:11.25 m
自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动,初速度和加速度往往在题上不再表示。同理,竖直上抛运动的加速度为a=-g也不再说明,这是隐含的已知条件。
变式3:某人在高层楼房的阳台外侧以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块,石块运动到离抛出点15 m处所经历的时间不可能的是(不计空气阻力,g取
10 m/s2)(　B　)
A.1 s B.2 s
C.3 s D.(2+) s
解析:取竖直向上为正方向,当石块运动到抛出点上方离抛出点15 m时,位移为x=15 m,由x=v0t-gt2,代入数据得15=20t-×10t2,解得t1=1 s,t2=3 s;当石块运动到抛出点下方离抛出点15 m时,位移为x=-15 m,由x=v0t-gt2,代入数据得-15=20t-×10t2,解得t1=(2+) s,t2=(2-) s(舍去),故选项A,C,D正确,B错误。
考点四　伽利略对自由落体运动的研究
伽利略的科学方法:观察——提出假设——逻辑推理——实验检验——对假说进行修正和推广。
说明:了解伽利略的推理过程以及科学的动态发展过程,认识伽利略所采用的科学方法。
[典例4] 伽利略对自由落体运动的研究,是科学实验和逻辑推理的完美结合。伽利略先用斜面进行实验研究,表明小球“沿斜面滚下做匀加速直线运动,且加速度随斜面倾角的增大而增大”,然后合理外推至倾角为90°——自由落体的情形。对伽利略研究过程的理解,下列说法正确的是(　　)
A.图中所示的情形均为真实的实验过程
B.图中所示的情形均为理想的实验过程
C.利用斜面“放大”重力的作用,使实验现象更明显
D.利用斜面“冲淡”重力的作用,便于测量实验数据
解析:伽利略的时代无法直接测定瞬时速度,就无法验证v与t成正比的思想,伽利略通过数学运算得到,若物体初速度为零,且速度随时间均匀变化,即v正比于t,那么它通过的位移与所用时间的二次方成正比,只要测出物体通过不同位移所用的时间就可以验证速度是否随时间均匀变化。由于伽利略时代靠滴水计时,不能测量自由落体所用的时间,伽利略让小球沿阻力很小的斜面滚下,由于沿斜面下滑时加速度较小,所用时间较长,所以容易测量。这个方法即为“冲淡”重力的作用。所以D正确。
答案:D
1.(基本规律的应用)一辆汽车紧急刹车,立即做匀减速直线运动,最后停止。已知刹车的位移和从刹车到停止的时间,请根据所学的物理知识判断下列说法正确的是(　D　)
A.仅可以算出汽车的加速度
B.仅可以算出汽车刚刹车时的速度
C.仅可以算出汽车全程的平均速度
D.可以算出汽车的加速度、刚刹车时的速度及全程的平均速度
解析:利用“逆向推理法”,把物体的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,刹车的位移x=at2,由此可以算出汽车的加速度a,由v=at可以算出汽车刚刹车时的速度,则全程的平均速度==。
2.(推论式的应用)动车把动力装置分散安装在每节车厢上,使其既具有牵引动力,又可以载客。而动车组就是几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组。若动车组在匀加速运动过程中,通过第一个60 m所用时间是10 s,通过第二个60 m所用时间是6 s,则(　A　)
A.动车组的加速度为0.5 m/s2,接下来的6 s内的位移为78 m
B.动车组的加速度为1 m/s2,接下来的6 s内的位移为78 m
C.动车组的加速度为0.5 m/s2,接下来的6 s内的位移为96 m
D.动车组的加速度为1 m/s2,接下来的6 s内的位移为96 m
解析:动车组在第一个60 m中间时刻的瞬时速度v1= m/s=6 m/s;在第二个60 m中间时刻的瞬时速度v2= m/s=10 m/s;t=s+s=8 s,由v=v0+at得加速度为a== m/s2=0.5 m/s2;根据Δx=aT2,则x-60=0.5×62,解得x=78 m。选项A正确。
3.(自由落体运动)为了求出楼房高度,让一石子从楼顶自由下落,空气阻力不计,测出下列哪个物理量的值不能计算出楼房的高度(当地重力加速度g已知)(　A　)
A.石子开始下落1 s内的位移
B.石子落地时的速度
C.石子最后1 s内的位移
D.石子通过最后1 m的时间
解析:由h=gt2可以直接求出石子开始下落1 s内的位移,与楼房的高度无关,故选项A符合题意;根据速度位移公式v2=2gh,知道石子落地的速度,可以求出楼房的高度,故选项B不符合题意;若测得最后1 s内下落的位移,由Δh=gt2 -g(t-1 s)2求得石子落地的时间t,再由h=gt2 求出楼房的高度,故选项C不符合题意;由通过最后1 m的时间,根据x=v0t+gt2,求出通过最后1 m内的初速度,再由h′=求得通过最后1 m之前下落的高度,即可求出楼房的高度,故选项D不符合题意。
4.(自由落体运动的研究)如图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片,照片左上角有三列数据,第二列是时间t,第三列是物体沿斜面运动的距离s,但是第一列由于年代久远已模糊。据研究这是伽利略在分析实验数据时添加的,据此,他发现=常数。根据你的理解,这列数据表示的应该是(　D　)
A.物体下滑时的高度 B.物体下滑时的速度
C.物体下滑的加速度 D.下滑时间t的平方
解析:从题图中的数据可知,要得到位移与时间的平方成正比,必须要得到时间的平方,所以第一列只能是时间的平方才能得到结论,故选D。
1.(2016·浙江10月选考,6)某探险者在野外攀岩时,踩落一小石块,约5 s后听到石块直接落到崖底的声音。探险者离崖底的高度最接近的是(　C　)
A.25 m B.50 m
C.110 m D.150 m
解析:由h=gt2,得h=×10×52 m=125 m,选项C正确。
2.(2018·浙江11月选考,4)一辆汽车沿平直道路行驶,其v-t 图象如图所示。在t=0到t=40 s这段时间内,汽车的位移是(　C　)
A.0 B.30 m
C.750 m D.1 200 m
解析:根据v-t图象与时间轴围成的“面积”表示发生的位移,在t=0到t=40 s这段时间内汽车的位移x=×30 m=750 m,故C正确。
3.(2019·浙江1月学考,9)如图所示,小明和同学坐在橡胶轮胎上从倾斜平滑雪道上自静止开始沿直线下滑。若橡胶轮胎和雪道间的动摩擦因数保持不变,不计空气阻力,小明和橡胶轮胎在下滑过程中(　B　)
A.加速度变大
B.相等时间内速度增量相同
C.相等时间内下滑位移相同
D.相邻的相等时间间隔内位移差变大
解析:沿斜面直线下滑,设斜面的倾角为θ,在动摩擦因数μ不变的情况下,下滑的加速度为a=gsin θ-μgcos θ,加速度大小不变,故A错误;由a=可知相等时间内的速度变化量相同,故B正确;根据匀变速直线运动规律,由x=v0t+at2可知相同时间内下滑位移变大,故C错误;由Δx=aT2可知在相邻的相等时间内的位移差为恒定值,故D错误。
4.(2018·浙江4月选考,10)如图所示,竖井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度为104 m,升降机运行的最大速度为8 m/s,加速度大小不超过1 m/s2。假定升降机到井口的速度为0,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是(　C　)
A.13 s B.16 s C.21 s D.26 s
解析:运动分三段,开始匀加速启动,接着匀速运动,最后匀减速运动到井口。加速阶段t1==8 s,位移x1=a=32 m;减速阶段与加速阶段对称,t3=8 s,位移x3=32 m;匀速阶段x1=104 m-32 m-32 m=40 m,所以t2==5 s;所以总时间t=t1+t2+t3=21 s,选项C正确。
5.(2019·全国Ⅰ卷,18)如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1,第四个所用的时间为t2。不计空气阻力,则满足(　C　)
A.1<<2 B.2<<3
C.3<<4 D.4<<5
解析:运动员起跳到达最高点的瞬间速度为零,又不计空气阻力,故可逆向处理为自由落体运动。则根据初速度为零的匀加速直线运动,通过相邻的相等位移所用的时间之比为1∶(-1)∶(-)∶(2-)∶…,可得==2+,即3<<4,故C正确。