2019-2020学年高一下学期五一假期作业数学试题（三角函数）（含答案及解析）
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年高一下学期五一假期作业数学试题（三角函数）（含答案及解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 788.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-06 11:28:05 | ||
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文档简介
1
高一数学阶段性练习（五一假期）
一．选择题（共 8 小题）
1．计算 sin5°cos55°﹣cos175°sin125°的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若 tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝（ ）
A． B． C． D．
3．若 π≤α≤ π，则 + 等于（ ）
A．﹣2cos B．2cos C．﹣2sin D．2sin
4．在△ABC中，已知 sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．已知 ，那么 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．2或
6．在△ABC中，AD为 BC边上的中线，E为边 AD的中点，若 ，则 可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c下列结论：
①若 a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；
②若 a2＝b2+c2+bc，则 A为 60°；
③若 a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若 A：B：C＝1：2：3，则：a：b：c＝1： ：2．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在 A点测得公路北侧山顶 D的仰角为 30°，
汽车行驶 300m后到达 B点测得山顶 D在北偏西 30°方向上，且仰角为 45°，则山的高度 CD为（ ）
2
A．150 m B．150m C．300 m D．300m
二．多选题（共 4 小题）
9．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么，这个三角形的此两边长分别是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ，且 ．若
点 D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．△ABC的内角
B．△ABC的内角
C．四边形 ABCD面积的最大值为
D．四边形 ABCD面积无最大值
11．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下
列结论正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的 2倍
D．若 c＝6，则△ABC外接圆半径为
3
12．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若 ，则△ABC一定是等边三角形
B．若 acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
C．若 bcosC+ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D．若 a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
三．填空题（共 4 小题）
13．函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 a＝ ，f（x）的最大值是 ．
14．若 ，其中θ∈[0，π]，则 |的最大值为 ．
15． ＝ ．
16．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足 ，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对
偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ．
四．解答题（共 6 小题）
17．如图，在△ABC中，已知点 D在 BC边上，AD⊥AC， ，AD＝3，△ABD的面积为 ．
（1）求 sin∠BAC的值；
（2）求 BD的长．
4
18．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c．已知 ．
（1）求 b的值；
（2）求△ABC的面积．
19．已知函数
（1）当 m＝0时，求 f（x）在区间 上的取值范围；
（2）当 tanα＝2时， ，求 m的值．
20．已知函数 在 R 上的最大值为 3
（1）求 m的值及函数 f（x）的单调递增区间
（2）若锐角△ABC中角 A、B，C所对的边分别为 a、b、c，且 f（A）＝0，求 的取值范围
5
21．如图，半圆 O的直径为 2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以 AB为一边作
等边三角形 ABC，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．
（1）当α为何值时，四边形 OACB面积最大，最大值为多少；
（2）当α为何值时，OC长最大，最大值为多少．
22．已知函数
（1）若 m＝1，n＝0．求 y＝f（x）的最小值；
（2）若 m＝1，f（x）＝0在[0，π]内有解．求实数 n的取值范围：
（3）若 n＝0．求 y＝f（x）的最大值 g（m）．
6
试题解析
一．选择题（共 8 小题）
1．计算 sin5°cos55°﹣cos175°sin125°的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】sin5°cos55°﹣cos175°sin125°
＝sin5°cos55°+cos5°sin55°
＝sin60°
＝ ．
故选：D．
2．若 tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】∵tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝ ＝
＝ ，
故选：A．
3．若 π≤α≤ π，则 + 等于（ ）
A．﹣2cos B．2cos C．﹣2sin D．2sin
【解答】∵ π≤α≤ π，∴ ∈[ ， ]，∴sin ≤cos ＜0，
则 + ＝ +
＝|cos +sin |+|cos ﹣sin |＝﹣cos ﹣sin +cos ﹣sin ＝﹣2sin ，
故选：C．
4．在△ABC中，已知 sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7
【解答】因为 sinA＝2sinBcosc，所以 sin（B+C）＝2sinBcosC，
所以 sinBcosC﹣sinCcosB＝0，即 sin（B﹣C）＝0，
因为 A，B，C是三角形内角，所以 B＝C．
所以三角形是等腰三角形．
故选：C．
5．已知 ，那么 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．2或
【解答】∵sin2 +cos2 ＝1
∴ ＝ ＝ ＝﹣
解得 tan ＝2或
故选：D．
6．在△ABC中，AD为 BC边上的中线，E为边 AD的中点，若 ，则 可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
【解答】由题意可得， ＝ ＝ ，
则 ＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
7．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c下列结论：
①若 a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；
②若 a2＝b2+c2+bc，则 A为 60°；
③若 a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若 A：B：C＝1：2：3，则：a：b：c＝1： ：2．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】①若 a2＞b2+c2，则 cosA＝ ＜0，则角 A是钝角，则△ABC为钝角三角形，故①正
确，
8
②若 a2＝b2+c2+bc，则 b2+c2﹣a2＝﹣bc，则 cosA＝ ＝ ，则 A为 120°，故②错
误，
③若 a2+b2＞c2，则 cosC＝ ＞0，则角 C是锐角，无法判断角 A，B的取值，故△ABC为锐
角三角形不正确，故③错误；
④若 A：B：C＝1：2：3，则 A＝30°，B＝60°，C＝90°，
则 a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝ ： ：1＝1： ：2，故④正确，
故正确是①④，
故选：B．
8．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在 A点测得公路北侧山顶 D的仰角为 30°，
汽车行驶 300m后到达 B点测得山顶 D在北偏西 30°方向上，且仰角为 45°，则山的高度 CD为（ ）
A．150 m B．150m C．300 m D．300m
【解答】由题意可得在直角三角形 DCA中，∠DAC＝30°，DC⊥AC，
设 CD＝h，可得 AC＝htan60°＝ h，
在直角三角形 DCB中，∠DBC＝45°，DC⊥BC，
可得 CB＝htan45°＝h，
又∠CBA＝120°，可得 AC2＝AB2+CB2﹣2AB?CB?cos120°，
即为 3h2＝3002+h2+300h，
解得 h＝300（负的舍去）．
故选：D．
9．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么，这个三角形的此两边长分别是（ ）
A．3和 5 B．4和 6 C．6和 8 D．5和 7
【解答】如图所示，
9
假设已知 a﹣c＝2， ，S△ABC＝14．
∵0＜B＜π，∴ ＝ ．
又 14＝ ，∴ac＝35．
联立 ，∵a，c＞0，解得
∴这个三角形的此两边长分别是 5和 7．
故选：D．
二．多选题（共 4 小题）
10．如图，设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ，且 ．若
点 D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．△ABC的内角
B．△ABC的内角
C．四边形 ABCD面积的最大值为
D．四边形 ABCD面积无最大值
【解答】∵ ，
∴ （sinAcosC+sinCcosA）＝2sinB?sinB，
∴sinB＝ ，
∴B＝ ．故 A正确．
又∵ ．
∴C＝ ，故 B正确．
等边△ABC中，设 AC＝x，x＞0，
在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cosD，
10
由于 AD＝3，DC＝1，代入上式可得：x2＝10﹣6cosD
∴S 四边形 ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ + ＝ + ＝ +
＝3sin（D﹣ ）+ ，
∴四边形 ABCD面积的最大值为 ，故 C正确．
故选：ABC．
11．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下
列结论正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的 2倍
D．若 c＝6，则△ABC外接圆半径为
【解答】（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设 a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，
解得 a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，
可得 sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故 A正确；
由 c为最大边，可得 cosC＝ ＝ ＝ ＞0，即 C为锐角，故 B错误；
由 cosA＝ ＝ ＝ ，由 cos2A＝2cos2A﹣1＝2× ﹣1＝ ＝cosC，
由 2A，C∈（0，π），可得 2A＝C，故 C正确；
若 c＝6，可得 2R＝ ＝ ＝ ，△ABC外接圆半径为 ，故 D正确．
故选：ACD．
12．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若 ，则△ABC一定是等边三角形
B．若 acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
C．若 bcosC+ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D．若 a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
【解答】对于 A，若 ，则 ，即 tanA＝tanB＝tanC，即 A＝B＝
C，即△ABC是等边三角形，故正确；
11
对于 B，若 acosA＝bcosB，则由正弦定理得 2rsinAcosA＝2rsinBcosB，即 sin2A＝sin2B，则 2A＝2B或 2A+2B
＝180，即 A＝B或 A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于 C，若 bcosC+ccosB＝b，sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA＝sinB，即 A＝B，则△ABC是等
腰三角形，故正确；
对于 D，△ABC中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角 C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故错误；
故选：AC．
三．填空题（共 4 小题）
13．函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 a＝ ﹣3 ，f（x）的最大值是 3 ．
【解答】∵函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 f（﹣x）＝f（x），
即 asin（﹣x+ ）+3sin（﹣x﹣ ）＝[asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）]，
即﹣asinxcos +acosxsin ﹣3（sinxcos +cosxsin ）＝asinxcos +acosxsin +3（sinxcos ﹣
cosxsin ）．
求得 a＝﹣3．
故 f（x）＝﹣3sin（x+ ）+3sin（x﹣ ）＝﹣3（sinxcos +cosxsin ）+3（sinxcos ﹣cosxsin ）
＝﹣6cosxsin ＝﹣3 cosx，
故函数 f（x）的最大值为 3 ．
14．若 ，其中θ∈[0，π]，则 |的最大值为 3 ．
【解答】 ，
所以 θ+4sinθ+2，
因为θ∈[0，π]，令 t＝sinθ∈[0，1]，
所以 +4t+2＝3（ ）2+ ，
所以当 t＝1时，取最大值 9，
所以 |的最大值为 3，
故答案为：3．
15． ＝ 8 ．
12
【解答】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝
8． 故答案为：8
16．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足 ，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对
偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ．
【解答】设 A＝B，由已知得 sinA1＝sinB1，cosA＝sinA1，cosB＝sinB1，cosC＝sinC1，则 A1＝B1，
所以 A+A1＝ ，B+B1＝ ，C+C1＝ （舍）或 A+A1＝ ，B+B1＝ ，C＝C1﹣ ，
解得 C＝ ，A＝B＝ ＝ ．
故答案是： ．
四．解答题（共 6 小题）
17．如图，在△ABC中，已知点 D在 BC边上，AD⊥AC， ，AD＝3，△ABD的面积为 ．
（1）求 sin∠BAC的值；
（2）求 BD的长．
【解答】（1）△ABD的面积为
解得 ，
又易知∠BAD为锐角，所以 ，
所以 ．
（2）根据余弦定理可得：cos∠BAD＝ ，
∴ ＝ ， ∴解得 BD＝ ．
18．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c．已知 ．
13
（1）求 b的值；
（2）求△ABC的面积．
【解答】（1）∵cosA＝ ，A∈（0，π），∴sinA＝ ＝ ，
∴sinB＝sin（A+ ）＝cosA＝ ．
由正弦定理可得：b＝ ＝ ＝3 ．
（2）由 B＝A+ ，可知：B为钝角．
A，C为锐角．
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴32＝ +c2﹣2× c× ，
化为：c2﹣4 c+9＝0，c＜b．
解得 c＝ ．
∴△ABC的面积 S＝ ＝ ＝ ．
19．已知函数
（1）当 m＝0时，求 f（x）在区间 上的取值范围；
（2）当 tanα＝2时， ，求 m的值．
【解答】（1）当 m＝0时，f（x）＝f（x）＝sin2x+sinxcosx＝ +
＝
由于
所以：
f（x）
（2）由于
14
＝
所以：f（α）＝
tanα＝2
所以： ，cos2α＝
由于：
解得：m＝﹣4
20．已知函数 在 R 上的最大值为 3
（1）求 m的值及函数 f（x）的单调递增区间
（2）若锐角△ABC中角 A、B，C所对的边分别为 a、b、c，且 f（A）＝0，求 的取值范围
【解答】（1）
＝ ＝ ，
由已知 2+m＝3，∴m＝1，
因此 ，
令 ，得 ，
因此函数 f（x）的单调递增区间为
（2）由已知 ，∴ ，
由 得 ，
因此 ∴ ，
∴ ，
∵为锐角三角形△ABC，∴ ，解得 ，
15
因此 ，那么 ，
∴求 的取值范围为 ．
21．如图，半圆 O的直径为 2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以 AB为一边作
等边三角形 ABC，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．
（1）当α为何值时，四边形 OACB面积最大，最大值为多少；
（2）当α为何值时，OC长最大，最大值为多少．
【解答】（1）由题意，在△OAB中，AB2＝5﹣4cosα，
三角形 S△AOB＝sinα，
三角形
四边形 OABC的面积为 ．
∵0＜α＜π，
∴当 ，即 时，四边形 OABC的面积最大，
故得当 ，四边形 OABC的面积最大且最大值为 ．
（2）△OAB中，
∴
∴ ．
△OAC中，OC2＝OA2+AC2﹣2OA?AC?cos∠OAC＝
即
∵ ，
∴ ，即 时，OC有最大值．
16
故得当 时，OC有最大值 3．
22．已知函数
（1）若 m＝1，n＝0．求 y＝f（x）的最小值；
（2）若 m＝1，f（x）＝0在[0，π]内有解．求实数 n的取值范围：
（3）若 n＝0．求 y＝f（x）的最大值 g（m）．
【解答】（1）对于函数 f（x）＝cos2x+mcos（ ﹣x）+n＝cos2x+msinx+n，
若 m＝1，n＝0，则函数 f（x）＝cos2x+sinx，
当 ，k∈Z 时，cos2x和 sinx 同时取得最小值﹣1，
故 f（x）取得最小值为﹣2；
（2）若 m＝1，f（x）＝cos2x+sinx+n＝0在[0，π]内有解，
故直线 y＝n和曲线 y＝﹣cos2x﹣sinx在[0，π]内有交点，
由 y＝﹣cos2x﹣sinx＝2sin2x﹣sinx﹣1，
令 sinx＝t，t∈[0，1]，则 y＝2t2﹣t﹣1∈ ，
∴实数 n的取值范围是 ；
（3）若 n＝0，则 f（x）＝cos2x+msinx＝﹣2sin2x+msinx+1，
令 sinx＝t，t∈[﹣1，1]，
则 y＝﹣2t2+mt+1，对称轴方程为 t＝ ．
当 ＜﹣1，即 m＜﹣4时，g（m）＝﹣m﹣1；
当﹣1 ，即﹣4≤m≤4，g（m）＝ ；
当 ＞1，即 m＞4时，g（m）＝m﹣1．
综上，g（m）＝
高一数学阶段性练习（五一假期）
一．选择题（共 8 小题）
1．计算 sin5°cos55°﹣cos175°sin125°的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若 tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝（ ）
A． B． C． D．
3．若 π≤α≤ π，则 + 等于（ ）
A．﹣2cos B．2cos C．﹣2sin D．2sin
4．在△ABC中，已知 sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．已知 ，那么 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．2或
6．在△ABC中，AD为 BC边上的中线，E为边 AD的中点，若 ，则 可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c下列结论：
①若 a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；
②若 a2＝b2+c2+bc，则 A为 60°；
③若 a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若 A：B：C＝1：2：3，则：a：b：c＝1： ：2．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在 A点测得公路北侧山顶 D的仰角为 30°，
汽车行驶 300m后到达 B点测得山顶 D在北偏西 30°方向上，且仰角为 45°，则山的高度 CD为（ ）
2
A．150 m B．150m C．300 m D．300m
二．多选题（共 4 小题）
9．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么，这个三角形的此两边长分别是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ，且 ．若
点 D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．△ABC的内角
B．△ABC的内角
C．四边形 ABCD面积的最大值为
D．四边形 ABCD面积无最大值
11．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下
列结论正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的 2倍
D．若 c＝6，则△ABC外接圆半径为
3
12．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若 ，则△ABC一定是等边三角形
B．若 acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
C．若 bcosC+ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D．若 a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
三．填空题（共 4 小题）
13．函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 a＝ ，f（x）的最大值是 ．
14．若 ，其中θ∈[0，π]，则 |的最大值为 ．
15． ＝ ．
16．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足 ，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对
偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ．
四．解答题（共 6 小题）
17．如图，在△ABC中，已知点 D在 BC边上，AD⊥AC， ，AD＝3，△ABD的面积为 ．
（1）求 sin∠BAC的值；
（2）求 BD的长．
4
18．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c．已知 ．
（1）求 b的值；
（2）求△ABC的面积．
19．已知函数
（1）当 m＝0时，求 f（x）在区间 上的取值范围；
（2）当 tanα＝2时， ，求 m的值．
20．已知函数 在 R 上的最大值为 3
（1）求 m的值及函数 f（x）的单调递增区间
（2）若锐角△ABC中角 A、B，C所对的边分别为 a、b、c，且 f（A）＝0，求 的取值范围
5
21．如图，半圆 O的直径为 2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以 AB为一边作
等边三角形 ABC，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．
（1）当α为何值时，四边形 OACB面积最大，最大值为多少；
（2）当α为何值时，OC长最大，最大值为多少．
22．已知函数
（1）若 m＝1，n＝0．求 y＝f（x）的最小值；
（2）若 m＝1，f（x）＝0在[0，π]内有解．求实数 n的取值范围：
（3）若 n＝0．求 y＝f（x）的最大值 g（m）．
6
试题解析
一．选择题（共 8 小题）
1．计算 sin5°cos55°﹣cos175°sin125°的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】sin5°cos55°﹣cos175°sin125°
＝sin5°cos55°+cos5°sin55°
＝sin60°
＝ ．
故选：D．
2．若 tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】∵tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝ ＝
＝ ，
故选：A．
3．若 π≤α≤ π，则 + 等于（ ）
A．﹣2cos B．2cos C．﹣2sin D．2sin
【解答】∵ π≤α≤ π，∴ ∈[ ， ]，∴sin ≤cos ＜0，
则 + ＝ +
＝|cos +sin |+|cos ﹣sin |＝﹣cos ﹣sin +cos ﹣sin ＝﹣2sin ，
故选：C．
4．在△ABC中，已知 sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7
【解答】因为 sinA＝2sinBcosc，所以 sin（B+C）＝2sinBcosC，
所以 sinBcosC﹣sinCcosB＝0，即 sin（B﹣C）＝0，
因为 A，B，C是三角形内角，所以 B＝C．
所以三角形是等腰三角形．
故选：C．
5．已知 ，那么 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．2或
【解答】∵sin2 +cos2 ＝1
∴ ＝ ＝ ＝﹣
解得 tan ＝2或
故选：D．
6．在△ABC中，AD为 BC边上的中线，E为边 AD的中点，若 ，则 可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
【解答】由题意可得， ＝ ＝ ，
则 ＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
7．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c下列结论：
①若 a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；
②若 a2＝b2+c2+bc，则 A为 60°；
③若 a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若 A：B：C＝1：2：3，则：a：b：c＝1： ：2．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】①若 a2＞b2+c2，则 cosA＝ ＜0，则角 A是钝角，则△ABC为钝角三角形，故①正
确，
8
②若 a2＝b2+c2+bc，则 b2+c2﹣a2＝﹣bc，则 cosA＝ ＝ ，则 A为 120°，故②错
误，
③若 a2+b2＞c2，则 cosC＝ ＞0，则角 C是锐角，无法判断角 A，B的取值，故△ABC为锐
角三角形不正确，故③错误；
④若 A：B：C＝1：2：3，则 A＝30°，B＝60°，C＝90°，
则 a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝ ： ：1＝1： ：2，故④正确，
故正确是①④，
故选：B．
8．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在 A点测得公路北侧山顶 D的仰角为 30°，
汽车行驶 300m后到达 B点测得山顶 D在北偏西 30°方向上，且仰角为 45°，则山的高度 CD为（ ）
A．150 m B．150m C．300 m D．300m
【解答】由题意可得在直角三角形 DCA中，∠DAC＝30°，DC⊥AC，
设 CD＝h，可得 AC＝htan60°＝ h，
在直角三角形 DCB中，∠DBC＝45°，DC⊥BC，
可得 CB＝htan45°＝h，
又∠CBA＝120°，可得 AC2＝AB2+CB2﹣2AB?CB?cos120°，
即为 3h2＝3002+h2+300h，
解得 h＝300（负的舍去）．
故选：D．
9．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么，这个三角形的此两边长分别是（ ）
A．3和 5 B．4和 6 C．6和 8 D．5和 7
【解答】如图所示，
9
假设已知 a﹣c＝2， ，S△ABC＝14．
∵0＜B＜π，∴ ＝ ．
又 14＝ ，∴ac＝35．
联立 ，∵a，c＞0，解得
∴这个三角形的此两边长分别是 5和 7．
故选：D．
二．多选题（共 4 小题）
10．如图，设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， ，且 ．若
点 D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．△ABC的内角
B．△ABC的内角
C．四边形 ABCD面积的最大值为
D．四边形 ABCD面积无最大值
【解答】∵ ，
∴ （sinAcosC+sinCcosA）＝2sinB?sinB，
∴sinB＝ ，
∴B＝ ．故 A正确．
又∵ ．
∴C＝ ，故 B正确．
等边△ABC中，设 AC＝x，x＞0，
在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cosD，
10
由于 AD＝3，DC＝1，代入上式可得：x2＝10﹣6cosD
∴S 四边形 ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ + ＝ + ＝ +
＝3sin（D﹣ ）+ ，
∴四边形 ABCD面积的最大值为 ，故 C正确．
故选：ABC．
11．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下
列结论正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的 2倍
D．若 c＝6，则△ABC外接圆半径为
【解答】（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设 a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，
解得 a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，
可得 sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故 A正确；
由 c为最大边，可得 cosC＝ ＝ ＝ ＞0，即 C为锐角，故 B错误；
由 cosA＝ ＝ ＝ ，由 cos2A＝2cos2A﹣1＝2× ﹣1＝ ＝cosC，
由 2A，C∈（0，π），可得 2A＝C，故 C正确；
若 c＝6，可得 2R＝ ＝ ＝ ，△ABC外接圆半径为 ，故 D正确．
故选：ACD．
12．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若 ，则△ABC一定是等边三角形
B．若 acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
C．若 bcosC+ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D．若 a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形
【解答】对于 A，若 ，则 ，即 tanA＝tanB＝tanC，即 A＝B＝
C，即△ABC是等边三角形，故正确；
11
对于 B，若 acosA＝bcosB，则由正弦定理得 2rsinAcosA＝2rsinBcosB，即 sin2A＝sin2B，则 2A＝2B或 2A+2B
＝180，即 A＝B或 A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于 C，若 bcosC+ccosB＝b，sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA＝sinB，即 A＝B，则△ABC是等
腰三角形，故正确；
对于 D，△ABC中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角 C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故错误；
故选：AC．
三．填空题（共 4 小题）
13．函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 a＝ ﹣3 ，f（x）的最大值是 3 ．
【解答】∵函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 f（﹣x）＝f（x），
即 asin（﹣x+ ）+3sin（﹣x﹣ ）＝[asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）]，
即﹣asinxcos +acosxsin ﹣3（sinxcos +cosxsin ）＝asinxcos +acosxsin +3（sinxcos ﹣
cosxsin ）．
求得 a＝﹣3．
故 f（x）＝﹣3sin（x+ ）+3sin（x﹣ ）＝﹣3（sinxcos +cosxsin ）+3（sinxcos ﹣cosxsin ）
＝﹣6cosxsin ＝﹣3 cosx，
故函数 f（x）的最大值为 3 ．
14．若 ，其中θ∈[0，π]，则 |的最大值为 3 ．
【解答】 ，
所以 θ+4sinθ+2，
因为θ∈[0，π]，令 t＝sinθ∈[0，1]，
所以 +4t+2＝3（ ）2+ ，
所以当 t＝1时，取最大值 9，
所以 |的最大值为 3，
故答案为：3．
15． ＝ 8 ．
12
【解答】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝
8． 故答案为：8
16．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足 ，则称△A1B1C1是△ABC的一个“对
偶”三角形，若等腰△ABC存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为 ．
【解答】设 A＝B，由已知得 sinA1＝sinB1，cosA＝sinA1，cosB＝sinB1，cosC＝sinC1，则 A1＝B1，
所以 A+A1＝ ，B+B1＝ ，C+C1＝ （舍）或 A+A1＝ ，B+B1＝ ，C＝C1﹣ ，
解得 C＝ ，A＝B＝ ＝ ．
故答案是： ．
四．解答题（共 6 小题）
17．如图，在△ABC中，已知点 D在 BC边上，AD⊥AC， ，AD＝3，△ABD的面积为 ．
（1）求 sin∠BAC的值；
（2）求 BD的长．
【解答】（1）△ABD的面积为
解得 ，
又易知∠BAD为锐角，所以 ，
所以 ．
（2）根据余弦定理可得：cos∠BAD＝ ，
∴ ＝ ， ∴解得 BD＝ ．
18．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c．已知 ．
13
（1）求 b的值；
（2）求△ABC的面积．
【解答】（1）∵cosA＝ ，A∈（0，π），∴sinA＝ ＝ ，
∴sinB＝sin（A+ ）＝cosA＝ ．
由正弦定理可得：b＝ ＝ ＝3 ．
（2）由 B＝A+ ，可知：B为钝角．
A，C为锐角．
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴32＝ +c2﹣2× c× ，
化为：c2﹣4 c+9＝0，c＜b．
解得 c＝ ．
∴△ABC的面积 S＝ ＝ ＝ ．
19．已知函数
（1）当 m＝0时，求 f（x）在区间 上的取值范围；
（2）当 tanα＝2时， ，求 m的值．
【解答】（1）当 m＝0时，f（x）＝f（x）＝sin2x+sinxcosx＝ +
＝
由于
所以：
f（x）
（2）由于
14
＝
所以：f（α）＝
tanα＝2
所以： ，cos2α＝
由于：
解得：m＝﹣4
20．已知函数 在 R 上的最大值为 3
（1）求 m的值及函数 f（x）的单调递增区间
（2）若锐角△ABC中角 A、B，C所对的边分别为 a、b、c，且 f（A）＝0，求 的取值范围
【解答】（1）
＝ ＝ ，
由已知 2+m＝3，∴m＝1，
因此 ，
令 ，得 ，
因此函数 f（x）的单调递增区间为
（2）由已知 ，∴ ，
由 得 ，
因此 ∴ ，
∴ ，
∵为锐角三角形△ABC，∴ ，解得 ，
15
因此 ，那么 ，
∴求 的取值范围为 ．
21．如图，半圆 O的直径为 2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以 AB为一边作
等边三角形 ABC，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．
（1）当α为何值时，四边形 OACB面积最大，最大值为多少；
（2）当α为何值时，OC长最大，最大值为多少．
【解答】（1）由题意，在△OAB中，AB2＝5﹣4cosα，
三角形 S△AOB＝sinα，
三角形
四边形 OABC的面积为 ．
∵0＜α＜π，
∴当 ，即 时，四边形 OABC的面积最大，
故得当 ，四边形 OABC的面积最大且最大值为 ．
（2）△OAB中，
∴
∴ ．
△OAC中，OC2＝OA2+AC2﹣2OA?AC?cos∠OAC＝
即
∵ ，
∴ ，即 时，OC有最大值．
16
故得当 时，OC有最大值 3．
22．已知函数
（1）若 m＝1，n＝0．求 y＝f（x）的最小值；
（2）若 m＝1，f（x）＝0在[0，π]内有解．求实数 n的取值范围：
（3）若 n＝0．求 y＝f（x）的最大值 g（m）．
【解答】（1）对于函数 f（x）＝cos2x+mcos（ ﹣x）+n＝cos2x+msinx+n，
若 m＝1，n＝0，则函数 f（x）＝cos2x+sinx，
当 ，k∈Z 时，cos2x和 sinx 同时取得最小值﹣1，
故 f（x）取得最小值为﹣2；
（2）若 m＝1，f（x）＝cos2x+sinx+n＝0在[0，π]内有解，
故直线 y＝n和曲线 y＝﹣cos2x﹣sinx在[0，π]内有交点，
由 y＝﹣cos2x﹣sinx＝2sin2x﹣sinx﹣1，
令 sinx＝t，t∈[0，1]，则 y＝2t2﹣t﹣1∈ ，
∴实数 n的取值范围是 ；
（3）若 n＝0，则 f（x）＝cos2x+msinx＝﹣2sin2x+msinx+1，
令 sinx＝t，t∈[﹣1，1]，
则 y＝﹣2t2+mt+1，对称轴方程为 t＝ ．
当 ＜﹣1，即 m＜﹣4时，g（m）＝﹣m﹣1；
当﹣1 ，即﹣4≤m≤4，g（m）＝ ；
当 ＞1，即 m＞4时，g（m）＝m﹣1．
综上，g（m）＝