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正多边形和圆及扇形面积
知识网络
重难突破
知识点一 正多边形和圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：
量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
【典型例题】
典例1（2019·厦门市期中）如图，圆与正五边形的两边，分别相切于，两点，则__________度.
【答案】18
【分析】根据∠OCB=∠BCD-∠OCD，求出∠BCD，∠OCD即可；
【详解】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，
∴OA⊥AE，OC⊥CD，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
又∵∠BCD=108°，
∴∠OCB=108°-90°=18°
故答案为18．
【名师点睛】本题考查正多边形与圆、切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
典例2（2019·曲靖市期中）正三角形内接于⊙，⊙的半径为，则这个正三角形的面积为_________．
【答案】27
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，OD、BD、BC的值，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接AO并延长交BC与点D连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=，
∴OD= =3，
∴AD=9，BD==3，
∴BC=6，
∴这个正三角形的面积为：=27.
故答案为：27．
【名师点睛】此题主要考查了正多边形和圆，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．
典例3（2019·莱芜市期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是________ .
【答案】6+
【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长．
【详解】连接OE，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠DOE==60°，
∴∠DAE=∠DOE=×60°=30°，∠AED=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴AD=2OD=4，
∴DE=AD=×4=2，AE=DE=2，
∴△ADE的周长为4+2+2=6+2，
故答案为：6+2．
【名师点睛】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度不大．
典例4（2019·余干县期中）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为______cm．
【答案】6.
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍，构造一个由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形，再根据锐角三角函数的知识求解即可．
【详解】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，AC与BO相交于点M，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵OA=AB=6cm，∠AOB=60°，
∴∠OAC=30°，cos∠OAC=，
∴AM=6×=（cm），
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∴AC=2AM=6（cm）．
故答案为6．
【名师点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边和边心距组成的直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.
典例5（2019·保定市期末）如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为___．
【答案】84°．
【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．
【详解】正五边形的内角是∠ABC＝＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝36°，
正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝＝120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故答案为84°．
【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．
知识点二 圆锥相关知识
设的半径为，圆心角所对弧长为，
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
典例1（2019·苏州市期末）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
【答案】4
【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，
故答案为：4．
【名师点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，勾股定理，求出 OA的长是解本题的关键．
典例2 （2019·锦州市期末）已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．
【答案】6.
【解析】分析: 设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.
详解: 设扇形的半径为r，
根据题意得：，
解得 ：r=6
故答案为：6.
典例3 （2019·恩施市期末）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm.
【答案】3
【解析】根据题意，由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形的半径为r cm，则×πr＝2π×1，解方程可得r＝3.
故答案为：3.
典例4 （2019·株洲市期末）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，，是圆上的点，为圆心，，从到只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了__________步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，取3.142）
【答案】15
【分析】过O作OC⊥AB于C，分别计算出弦AB的长和弧AB的长即可求解.
【解答】过O作OC⊥AB于C，如图，
∴AC=BC，
∵
∴
∴
∴
∴
又∵弧AB的长=
米步.
故答案为：15.
【点评】考查了弧长的计算，垂径定理的应用，熟记弧长公式是解题的关键.
典例5（2019·宿迁市期末）用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________．
【答案】
【解析】分析：圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
详解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=，
解得r=cm．
故答案为：．
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：（考点）
公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
典例1 （2019·西宁市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．
【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2，
∴S扇形ABD=，
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分 =S扇形ABD是解题的关键.
典例2（2019·咸阳市期中）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．
【答案】﹣
【解析】分析：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．
详解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，
∠DOE==60°，
∴OD=OE=DE=1，
∴OH=，
∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=，
∠A==120°，
∴扇形ABF的面积=，
∴图中阴影部分的面积=-，
故答案为：-．
典例3（2019·连云港市期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
【答案】8﹣2π
【分析】根据S阴=S△ABD-S扇形BAE计算即可；
【详解】S阴=S△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π，
故答案为8-2π．
【名师点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
典例4 （2019·黄石市期末）如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留）
【答案】
【解析】分析：连结AD．根据图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-三角形ACD的面积-扇形ADE的面积，列出算式即可求解．
详解：连结AD．
∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，
∴∠C=60°，AB=4，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=4×4÷2﹣4×2÷2﹣=．
故答案为：．
名师点睛：此题主要考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．
典例5 （2019·保定市期末）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】π
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【详解】∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为：=
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB=AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为：×3×3=
∵△OAF的面积为：×2×=，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π
故答案为：﹣π.
【名师点睛】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
典例6 （2019·蓬莱市期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得出△ADC和△ABC是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ADH≌△ACG，得出四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，进而求出即可．
【详解】连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D=60°，AB=AD=DC=BC=1，
∴∠BCD=∠DAB=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，
∴AC=AD=1，
∵AB=1，
∴△ADC的高为，AC=1，
∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，
在△ADH和△ACG中，
，
∴△ADH≌△ACG(ASA)，
∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD==，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．
典例7 （2019·保定市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 ．
【答案】．
【解析】试题解析：图中阴影部分的面积=π×22-
=2π-π
=π．
答：图中阴影部分的面积等于π．
典例8 （2019·武威市期末）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D、C，若∠ACB=30°，AB=，则阴部分面积是_____．
【答案】
【分析】先求出∠AOB，OB，然后利用 计算即可．
【详解】连接OB，
∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∵OC=OB，∠C=30°，
∴∠C=∠OBC=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，
∴∠A=30°
在Rt△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，
∴OB= ，
∴=
=
故答案为：
【名师点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，学会分割法求面积，掌握常用几何图形的面积公式是解题关键.
典例9 （2019·越秀区期末）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解析】试题分析：连结AD，根据切线的性质得AD⊥BC，则S△ABC=AD?BC，然后利用S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF和扇形的面积公式计算即可．
解：连结AD，如图，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=AD?BC，
∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF
=×2×4﹣
=4﹣π．
故答案为4﹣π．
典例10（2019·四平市期末）如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）_____．
【答案】（4π﹣3）cm2
【分析】连接OB、OC，作OH⊥BC于H，根据圆周角定理可知∠BOC的度数，根据等边三角形的性质可求出OB、OH的长度，利用阴影面积=S扇形OBC-S△OBC即可得答案
【详解】：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，
则BH=HC= BC= 3，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，
∴OB==2 ，OH=，
∴阴影部分的面积= ﹣×6×=4π﹣3 ，
故答案为：（4π﹣3）cm2．
【名师点睛】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.
巩固训练
单选题（共10小题）
1．（2019·富顺县期末）如图，将△ 绕点旋转60°得到正方形△,已知,则线段扫过的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】线段扫过的图形的面积本来是线段AB、、 和围成的部分的面积，根据旋转的特征可知△≌△ ,可以直接推出,,并且可以得出扫过的图形的面积实际上就是如图所示的阴影部分的面积.
∴＝=.
故选B.
2．（2019·福州市期中）花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如下图的A、B、C、D所示，其中的阴影部分用于种植花草．种植花草部分面积最大的图案是（ ）（说明：A、B、C中圆弧的半径均为，D中圆弧的半径为a）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】将第2个图形中的半圆的面积相加为以半径为的圆；第3个图形中4个扇形的面积相加为以半径为的圆；故第1，2，3个图形阴影的面积为正方形的面积减去以为半径的圆的面积；第4个图形的面积为两个扇形的面积减去正方形的面积，计算后比较即可．
【详解】第1，2，3个图形的面积为：a2﹣π（）2＝（1﹣）a2；
第4个图形的面积为：×2﹣a2＝（﹣1）a2；
∵（1﹣）a2＜（﹣1）a2，
∴第4个阴影部分的面积最大．
故选D．
【名师点睛】解决本题的关键是将每个图形阴影部分面积求出．
3．（2019·厦门市期中）圆心角为 60°的扇形面积为 S，半径为 r，则下列图象能大致描述 S 与 r 的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据扇形的面积公式S，得出S与r的函数关系式，进而根据函数的性质求解即可．
【详解】解：∵圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，
∴S是r的二次函数，且r＞0，
∴C、D错误；
∵r=1时，S=＜1；
r=2时，S=≈2.09，
故选：A．
【名师点睛】本题考查二次函数的图象与性质，扇形面积的计算，得出S与r的函数关系式是解题的关键．
4．（2019·和平区期末）边长为的正三角形的外接圆的半径为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；
∵BC=1,
∴BD=,
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，
∴∠BOD==60°，
∴∠OBD=30°，OB=．
故选C．
【名师点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．
5．（2019·虹桥区期中）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A.1： B.：1 C.：2 D.2：
【答案】D
【解析】【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.
【详解】∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝R，
∴R：r＝1：＝2：，故选：D．
【名师点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.
6．（2019·连云港市期末）如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
【答案】C
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
【名师点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
7．（2019·洛阳市期末）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A.π﹣2 B.π﹣ C.π﹣2 D.π﹣
【答案】C
【解析】分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．
详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB=OA=OC=2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD=OB=1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=，AC=2CD=2，
∵sin∠COD= ，
∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，
∴S菱形ABCO=B×AC=×2×2=2，
S扇形AOC=，
则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=，
故选：C．
【名师点睛】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=a?b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=，有一定的难度．
8．（2019·茂名市期末）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC＝25°，则劣弧的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
详解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧的长=，
故选C．
9．（2019·桂林市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1
【答案】B
【解析】解：连接OD、AD．在△ABC中，∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是Rt△BAC．∵BC=，∴AC=AB=4．∵AB为直径，∴∠ADB=90°，BO=DO=2．∵OD=OB，∠B=45°，∴∠B=∠BDO=45°，∴∠DOA=∠BOD=90°，∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA= =π+2．故选B．
10．（2019·梁子湖区期末）若圆锥的侧面展开图是个半圆，则该圆锥的侧面积与全面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设这个圆锥的底面半径为，母线长为，
则，
∴，
∴侧面积为，
全面积为：，
∴该圆锥的侧面积与全面积之比为：，
故选：B．
【名师点睛】本题考查了圆锥的计算及几何体的展开图的知识，解题的关键是能够设出圆锥的底面半径、母线并根据侧面展开图是个半圆确定二者之间的关系．
填空题（共5小题）
11．（2019·徐州市期中）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是_____cm2．
【答案】
【解析】详解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，
∴=3π，
解得：R=4，
所以此扇形的面积为=6π（cm2），
故答案为：6π．
12．（2019·和平区期末）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____．
【答案】8+8
【解析】解设直角三角形边是x,由勾股定理知22,解得x=,
所以周长等于8+8.
13．（2019·南京市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=____．
【答案】2
【解析】试题解析：如图，O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形CEOF为正方形，
∵∠C=90?，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
设O的半径为r，则CE=CF=r，
∴AE=AG=6?r，BF=BG=8?r，
∴AB=AG+BG=AE+BF，即6?r+8?r=10，
∴r=2.
故答案为：2.
14．（2019·句容市期末）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝ ．
【答案】30°
【详解】连接 OB，AD，BD，
∵多边形 ABCDEF 是正多边形，
∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB＝＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．
∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°．
故答案为：30°．
【名师点睛】本题考查正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
15．（2019·天桥区期末）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解析】试题分析：连结AD，根据切线的性质得AD⊥BC，则S△ABC=AD?BC，然后利用S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF和扇形的面积公式计算即可．
解：连结AD，如图，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=AD?BC，
∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF
=×2×4﹣
=4﹣π．
故答案为4﹣π．
解答题（共2小题）
16．（2019·伊犁市期末）如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连结OC，AC，由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°，∠ACP=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出DC=AP=DA，由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，证出∠OCD=90°，即可得出结论；?????
（2）由含30°角的直角三角形的性质得出BP=2AB=4，由勾股定理求出AP，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD的长即可．
【详解】（1）连结OC，AC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，AP是切线，
∴∠BAP=90°，∠ACP=90°，
∵点D是AP的中点，
∴DC═AP=DA，
∴∠DAC=∠DCA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵在Rt△ABP中，∠P=30°，
∴∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∴OA=1，BP=2AB=4，，
∴．
【名师点睛】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键．
17．（2019·衢州市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】 (1) BD＝5cm;(2)S阴影 ＝cm2.
【解析】试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
连OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD==cm．
（2）S阴影=S扇形﹣S△OBD=π?52﹣×5×5=cm2．
20
正多边形和圆及扇形面积
知识网络
重难突破
知识点一 正多边形和圆
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：
量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
【典型例题】
典例1（2019·厦门市期中）如图，圆与正五边形的两边，分别相切于，两点，则__________度.
典例2（2019·曲靖市期中）正三角形内接于⊙，⊙的半径为，则这个正三角形的面积为_________．
典例3（2019·莱芜市期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是________ .
典例4（2019·余干县期中）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为______cm．
典例5（2019·保定市期末）如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为___．
知识点二 圆锥相关知识
设的半径为，圆心角所对弧长为，
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
典例1（2019·苏州市期末）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
典例2 （2019·锦州市期末）已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．
典例3 （2019·恩施市期末）如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1 cm，则这个扇形的半径是________cm.
典例4 （2019·株洲市期末）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，，是圆上的点，为圆心，，从到只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了__________步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：，取3.142）
典例5（2019·宿迁市期末）用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________．
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：（考点）
公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
典例1 （2019·西宁市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．
典例2（2019·咸阳市期中）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．
典例3（2019·连云港市期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
典例4 （2019·黄石市期末）如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留）
典例5 （2019·保定市期末）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是_______．
典例6 （2019·蓬莱市期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=1，扇形AEF的半径为1，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是______．
典例7 （2019·保定市期末）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 ．
典例8 （2019·武威市期末）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D、C，若∠ACB=30°，AB=，则阴部分面积是_____．
典例9 （2019·越秀区期末）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是 ．
典例10（2019·四平市期末）如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）_____．
巩固训练
单选题（共10小题）
1．（2019·富顺县期末）如图，将△ 绕点旋转60°得到正方形△,已知,则线段扫过的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
2．（2019·福州市期中）花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如下图的A、B、C、D所示，其中的阴影部分用于种植花草．种植花草部分面积最大的图案是（ ）（说明：A、B、C中圆弧的半径均为，D中圆弧的半径为a）
A. B. C. D.
3．（2019·厦门市期中）圆心角为 60°的扇形面积为 S，半径为 r，则下列图象能大致描述 S 与 r 的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·和平区期末）边长为的正三角形的外接圆的半径为
A． B． C． D．
5．（2019·虹桥区期中）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A.1： B.：1 C.：2 D.2：
6．（2019·连云港市期末）如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
7．（2019·洛阳市期末）如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）
A.π﹣2 B.π﹣ C.π﹣2 D.π﹣
8．（2019·茂名市期末）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC＝25°，则劣弧的长为( )
A. B. C. D.
9．（2019·桂林市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1
10．（2019·梁子湖区期末）若圆锥的侧面展开图是个半圆，则该圆锥的侧面积与全面积之比为（ ）
A． B． C． D．
填空题（共5小题）
11．（2019·徐州市期中）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是_____cm2．
12．（2019·和平区期末）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____．
13．（2019·南京市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=____．
14．（2019·句容市期末）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O．若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB＝ ．
15．（2019·天桥区期末）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是 ．
解答题（共2小题）
16．（2019·伊犁市期末）如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．
17．（2019·衢州市期中）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°.
(1)求BD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
