第十七章 勾股定理
17.1勾股定理
第1课时 勾股定理
一、教学目标
1.经历勾股定理的探究过程.了解够勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．
2.掌握勾股定理的内容，并用它解决一些简单问题.
二、教学重点及难点
重点：探索和证明勾股定理.
难点：用测量和拼图的方法说明勾股定理．
三、教学用具
方格纸，多种面积正方形和三角形
四、相关资料
《勾股定理在数学发展史上的地位》，《商高定理》，《百牛定理》，《出入相补原理》，《利用勾股定理求基本图形中的线段长》图片；
五、教学过程
【情境引入】
插入《勾股定理在数学发展史上的地位》图片，介绍勾股定理在数学发展史上的地位，提高学生的数学文化素养.
插入《勾股定理在数学发展史上的地位》图片
插入《商高定理》图片，介绍我国古代研究勾股定理的成就，培养民族自豪感，提高学生的数学文化素养.
插入《商高定理》图片
插入《百牛定理》图片介绍国外勾股定理的背景，提高学生的数学文化素养.
插入《百牛定理》图片
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500多年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形的某种特性.现在请你观察一下，你能有什么发现吗？
设计意图：通过图片及动画的形式讲解了勾股定理的形成过程和发展过程，激发学生学习的积极性，调动了学生学习的主动性，为接下来学习勾股定理打下基础.
【探究新知】
插入《探究直角三角形三边之间的关系》动画，通过探究网格中图形面积关系，从等腰直角三角形入手，再到一般的直角三角形，找出直角边与斜边的数量关系.
1. 正方形A、B、C的面积有什么关系？
4个=4个
SA+SB=SC
正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
设：三角形的三边长分别是a、b、c.
则SA=a2，SB=b2，SC=c2.
因为SA+SB=SC
所以a2+b2=c2
设计意图：通过动画演示和图片的展示并结合等腰直角三角形的构成原理，为学生生动的讲解了勾股定理推导过程.培养学生的探究精神，激发了学生的好奇心和主动学习的动力.
2．任意直角三角形
自主探索（准备好方格纸）.
实践：数格子（探索等腰直角三角形的三边之间的关系）.
一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
[算一算] 正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____.
正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____.
正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____.
插入《利用勾股定理求基本图形中的线段长》图片，利用勾股定理计算基本图形中的线段长，提高学生解决图形问题的能力.
插入《利用勾股定理求基本图形中的线段长》图片
解：分“割”成若干个直角边为整数的三角形
SC=×2×3×4+1×1=13
把C“补” 成边长为5的正方形
SC=5×5-×2×3×4=13
解：4,4；9,9；13,13.
[算一算] 正方形A＇中含有____个小正方形，即A＇的面积是_____.
正方形B＇中含有____个小正方形，即B＇的面积是_____.
正方形C＇中含有____个小正方形，即C＇的面积是_____.
解：16,16；9,9；25,25.
填表：
解：4,9,13；16,9,25.
A、B、C面积关系：SA+SB=SC
[归纳]在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
由上面的几个例子，我们猜想：
命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
设计意图：这一环节的设置的主要目的在于将直角三角形的勾股定理进行了详细的阐述，对于任意的直角三角形都符合勾股定理.
3.证明猜想
插入《出入相补原理》图片介绍出入相补原理，回归数学本质，提高学生的数学思维能力.
《出入相补原理》图片
4．勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
如图所示，在△ABC，∠C=90°，
∴a2+b2=c2.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．
设计意图：对于之前的推导过程给出了结论，将勾股定理的由来和详细知识点进行了讲解，学生通过该环节掌握了勾股定理的概念，为以后的有关勾股定理学习奠定了坚实的基础.
【例题精讲】
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的一墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少?
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，
所以BC=0.7.
答：梯脚与墙的距离是0.7 m.
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的另一边长.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得:152+ x2 =172，
x2=172-152=289–225=64，
解得 x=±8（负值舍去），
所以另一直角边长为8 cm.
设计意图：这两个例题从生活实际和几何概念两方面出发，针对勾股定理的解法进行了详细的讲解，让学生在掌握解勾股定理问题的同时培养了学生数学思维.
【随堂练习】
1.直角△ABC的两条直角边a=5，b=12，斜边c=______.
解：13
2.直角△ABC的一条直角边a=10，斜边c=26，则b=______.
解：24
3.求下列直角三角形未知边的长度.
解：因为三角形是直角三角形，
所以x2=62+82=100，
所以x=10.
解：因为三角形是直角三角形，
所以132=52+y2
所以y2=144，
所以y=12.
设计意图：对于有关勾股定理简单问题进行练习，让学生掌握解决勾股定理的方法，加强学生独立解决问题的自信心.
六、课堂小结
勾股定理的概念：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
七、板书设计
第1课时 勾股定理
勾股定理的概念：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
(共24张PPT)
第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理
17.1 勾股定理
学习目标
1．经历勾股定理的探究过程．了解够勾股定理的一些文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．
2．掌握勾股定理的内容，并用它解决一些简单问题．
情景导入
此图片是《勾股定理在数学发展史上的地位》图片截图，请下载使用此资源
插入《勾股定理在数学发展史上的地位》图片，介绍勾股定理在数学发展史上的地位，提高学生的数学文化素养．
此图片是《商高定理》图片截图，请下载使用此资源
插入《商高定理》图片，介绍我国古代研究勾股定理的成就，培养民族自豪感，提高学生的数学文化素养．
情景导入
此图片是《百牛定理》图片截图，请下载使用此资源
插入《百牛定理》图片介绍国外勾股定理的背景，提高学生的数学文化素养．
情景导入
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500多年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形的某种特性．现在请你观察一下，你能有什么发现吗？
情景导入
正方形A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
A
B
C
4个
4个
探究新知
A
B
C
正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
A
B
C
所以a2+b2=c2
则SA=_____，SB=_____，SC=_____．
因为SA+SB=SC
a2
b2
c2
a
b
c
设：三角形的三边长分别是a、b、c．
斜边的平方等于两直角边的平方和．
探究新知
A
C
B
A＇
C＇
B＇
一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图①
图②
探究新知
A
C
B
正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____．
正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____．
正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____．
算一算：
4
4
9
9
正方形C的面积可以怎么计算呢？
图①
探究新知
此图片是《利用勾股定理求基本图形中的线段长》图片
截图，请下载使用此资源
插入《利用勾股定理求基本图形中的线段长》图片，利用勾股定理计算基本图形中的线段长，提高学生解决图形问题的能力．
探究新知
A
C
B
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
SC=×2×3×4+1×1=13
把C“补” 成边长为5的正方形
SC=5×5-×2×3×4=13
图①
探究新知
A
C
B
正方形A中含有____个小正方形，即A的面积是_____．
正方形B中含有____个小正方形，即B的面积是_____．
正方形C中含有____个小正方形，即C的面积是_____．
4
4
9
9
13
13
图①
算一算：
探究新知
A＇
C＇
B＇
正方形A＇中含有____个小正方形，即A＇的面积是_____．
正方形B＇中含有____个小正方形，即B＇的面积是_____．
正方形C＇中含有____个小正方形，即C＇的面积是_____．
16
16
9
9
25
25
图②
算一算：
探究新知
A的面积
（单位面积） B的面积
（单位面积） C的面积
（单位面积）
图①
图②
A、B、C面积关系
填表：
4
9
13
16
9
25
SA+SB=SC
猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
探究新知
赵爽弦图：如图所示的图中都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，它们的面积为：a2+b2，
面积为c2
b
a
a
a2+b2=c2
c
c
探究新知
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如果用 a, b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
A
C
B
b
a
c
探究新知
趣味历史：勾股定理名字的来源
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，勾股定理因此而得名．
探究新知
例1 高为2.5 m的木梯，架在高为2.4 m的一墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少?
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2=2.52_2.42=0.49，
所以BC=0.7．
答：梯脚与墙的距离是0.7 m．
A
C
B
例题精讲
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的另一边长．
解：设另一条直角边长是x cm．
由勾股定理得:152+ x2 =172，
x2=172-152=289–225=64，
解得 x=±8（负值舍去），
所以另一直角边长为8 cm．
例题精讲
1．直角△ABC的两条直角边a=5，b=12，斜边c=______．
A
B
C
5
12
c
a
b
13
2．直角△ABC的一条直角边a=10，斜边c=26，则b=______．
A
B
C
10
26
c
a
b
24
随堂练习
3．求下列直角三角形未知边的长度．
6
8
x
解：因为三角形是直角三角形，
所以x2=62+82=100，
所以x=10．
5
13
y
解：因为三角形是直角三角形，
所以132=52+y2
所以y2=144，
所以y=12．
随堂练习
勾股定理的概念：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
课堂小结
b
a
c
再见
