第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第 1 课时
本课从观察网格中的正方形面积关系出发，发现了等腰直角三角形三边之间的数量关系，再通过观察网格中以一般直角三角形的三边为边长的正方形面积关系，发现网格中的一般直角三角形也具有这种三边长的数量关系，从而提出猜想，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，介绍了赵爽的证明方法．
了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；
培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力，培养学生的数学抽象和数学与推理；
介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习；
能从图形中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边之间长度的联系；
体会勾股定理在数学中的地位和作用．
探索并证明勾股定理；
课件，收集关于勾股定理的有关史料、趣事及其证明方法.
一、创设情境
1.国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，如图就是大会会徽的图案．你知道这个图案有什么特别的含义吗？
师生活动：引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形的全等关系，指出通过今天的学习，就能理解会徽图案的含义.
2.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？
二、探究新知
问题1：下图中三个正方形的面积有什么关系？三个正方形中间的等腰直角三角形三边之间有什么关系？
师生活动：教师引导学生通过观察组成小正方形和大正方形中等腰直角三角形的个数，发现以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积之和，等于以斜边为边长的大正方形的面积.即等腰直角三角形三边关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
设计意图：从最特殊的直角三角形入手，容易发现数量关系.通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）.
问题2：下图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′,B′,C′的面积，看看能得出什么结论.
学生求C和C′面积遇到困难时，可提示用某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.
由SA= ，SB= ，SC= ，故SA+SB SC；
由SA′= ，SB′= ，SC′= ，故SA′+SB′ SC′.
直角三角形三边关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
师生活动：学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，如图所示.教师在学生回答的基础上归纳方法——割补法.引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
设计意图：网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数.进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，使下一步猜想的形成变得水到渠成.
问题3：根据前面的例子，请对直角三角形的三边关系，做出你的猜想：
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
设计意图：为提高课堂效率，设计如下动画资源，匹配问题1-问题3，通过提供移小直角三角形或构造不同的图形，进行探究活动.
勾股定理的证明
我国古人赵爽证法（赵爽弦图），四个全等的直角三角形（红色）可以围成如图一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
赵爽证法：把边长为a，b的两个正方形连在一起（图1），它的面积是a?+b?；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）.把图（1）中左、右两个三角形移到图（2）所示的位置，它就形成了一个以c为边长的正方形，因为图（1）与图（2）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等.因此，a?+b?=c?.
赵爽弦图还可用面积法来证明，首先以AB为边的大正方形的面积是c?，而这个大正方形又由直角边为a，b的四个全等的直角三角形和一个边长为(b-a)的小正方形组成，即面积为4×ab+(b-a)?=a?+b?，故a?+b?=c?.
设计意图：鼓励学生思考其他的拼图方式，通过拼图活动，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想.为配合教师授课使用，将拼图方式做成动画，便于课堂演示.
三、应用新知
练习1 求出图中字母所代表的正方形的面积.
练习2 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12．求最大正方形E的面积．
练习3 求下列直角三角形中未知边的长度．
三、课堂小结：
1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.
2.注意事项:
(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.
(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.
(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长,即
，，.
四、课堂扩展
勾股定理的证明
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实践.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总裁都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
1.传说中毕达哥拉斯的证法
提示：两个图形中的正方形面积相等.
2.加菲尔德的证法
提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积.
3.中国的“青朱出入图”
欣赏利用勾股图画出的美丽的勾股树和海螺
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(共18张PPT)
17.1 勾股定理
第 1 课时
第十七章 勾股定理
一、创设情境
1.国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，如图就是大会的会徽的图案．你知道这个图案有什么特别的含义吗？
一、创设情境
2.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？
二、探究新知
问题1：下图中三个正方形的面积有什么关系？三个正方形中间的等腰直角三角形三边之间有什么关系？
问题2：下图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积，看看能得出什么结论.
由SA= ，SB= ，SC= ，故SA+SB SC；
由SA′= ，SB′= ，SC′= ，故SA′+SB′ SC′.
直角三角形三边关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
二、探究新知
二、探究新知
问题3：根据前面的例子，请对直角三角形的三边关系，做出你的猜想：
命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 .
我国古人赵爽证法（赵爽弦图），四个全等的直角三角形（红色）可以围成如图一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
二、探究新知
二、探究新知
赵爽证法
把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a?+b?.
按如图所示的方式拼图，就会形成一个以c为边长的正方形，它的面积是c?.
b
a
二、探究新知
赵爽弦图还可用面积法来证明，首先大正方形的面积是c?，而这个大正方形又由直角边为a，b的四个全等的直角三角形和一个边长为(b-a)的小正方形组成，即面积为4×ab+(b-a)?=a?+b?，故a?+b?=c?.
三、应用新知
练习1 求出图中字母所代表的正方形的面积.
三、应用新知
练习2 如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D 的边长分别是12、16、9、12．求最大正方形E的面积．
三、应用新知
练习3 求下列直角三角形中未知边的长度．
四、课堂小结
1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.
2.注意事项:
(1)注意勾股定理的使用条件：
只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.
(2)注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错.
(3)注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边长，即
五、课堂扩展
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实践.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总裁都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
1.传说中毕达哥拉斯的证法
提示：两个图形中的正方形面积相等.
五、课堂扩展
2.加菲尔德的证法
提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积.
五、课堂扩展
3.中国的“青朱出入图”
五、课堂扩展
再 见
