(共24张PPT)
第十七章
勾股定理
17.2
勾股定理的逆定理
1．掌握勾股定理的逆定理，并会证明．
2．理解原命题、逆命题和逆定理的概念及关系．
3．进一步掌握勾股定理及其逆定理，并会熟练应用．
学习目标
问题1：
你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论．
追问1：
你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？
追问2：
新的命题能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题．
命题1
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边长为c，那么a2+
b2=c2．
问题导入
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
探究学习
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
①
2.5，6，6.5；
②
6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
2.52+62=6.52
62+82=102
探究学习
问题2
由上面几个例子你发现了什么吗 请以命题的形式说出你的观点!
命题2
：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+
b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
2.52+62=6.52
62+82=102
探究学习
问题3：把勾股定理记着命题1，上面的结论作为命题2．
命题1和命题2的题设和结论分别是什么？
命题1
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边长为c，那么a2+
b2=c2．
命题2
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+
b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
探究学习
两个命题的题设和结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．
问题4：命题1和命题2的题设和结论有着什么的关系？
探究学习
此处图片是《互逆命题》图片截图，请下载使用此资源．
探究学习
插入《互逆命题》图片资源以图示的方式对比互逆命题，加深学生的概念的认识．
如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
已知：在△ABC中，AB=c
BC=a
CA=b
且a2+b2=c2．
求证：
△
ABC是直角三角形．
探究学习
a
b
A
B
C
c
因为
∠
C′=90°，
所以
A′B′2=
a2+b2．
因为
a2+b2=c2，
所以A′B′2=c2．
因为边长取正值，
所以
A′B′
=c．
证明：画一个△A′B′C′，使∠
C′=90°，
B′C′=a，C′A′=b．
探究学习
a
b
A
B
C
c
a
b
A′
B′
C′
所以△
ABC
≌△
A′B′C′（SSS）．
所以
∠
C=
∠
C′．
所以∠C=
90°．
BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，
在△
ABC和△
A′B′C′中，
所以△
ABC是直角三角形．
探究学习
a
b
A
B
C
c
a
b
A′
B′
C′
此处图片是《常见勾股数举例》图片截图，请下载使用此资源．
探究学习
插入《常见勾股数举例》图片资源给出一些常见的勾股数，加深学生对勾股数的认识．
分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
例1 判断由线段a，b，c
组成的三角形是不是直角三角形：
a=15，b=17，c=8；
典例讲解
像15，17，8
这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
解：
因为152+82
=225+64=289，172
=289，
所以152+82
=172．
所以以15，8，17为边长的三角形是直角三角形．
典例讲解
例1 判断由线段a，b，c
组成的三角形是不是直角三角形：
a=15，b=17，c=8；
例2
如图，某港口P位于东西方向的海岸上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16
n
mile，“海天”号每小时航行12
n
mile．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30
n
mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
典例讲解
解：根据题意，
PQ
=
16
×
1.5
=
24
，
PR
=
=
，
QR
=
．
因为
24
2
+
2
=
2，即
2
+
2
=
2
所以∠
________=
°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=____°．所以∠2=_____°，即“海天”号沿
方向航行．
12
×
1.5
18
30
18
30
PQ
PR
QR
QPR
90
45
45
西北
典例讲解
1
2
此处图片是《勾股定理与其逆定理的区别与联系》图片截图，请下载使用此资源．
探究学习
插入《勾股定理与其逆定理的区别与联系》图片，总结勾股定理与其逆定理的区别与联系，加深学生对勾股定理和勾股定理逆定理的认识．
1、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
任何一个命题都有逆命题；
原命题是真命题，
其逆命题不一定是真命题．
随堂练习
2．已知三角形的三边长为
9
,12
,15
,则这个三角形的最大角是____度;
3．△ABC的三边长为
9
,40
,41
,则△ABC的面积为_______;
90
180
4．三角形的三边长为
8
,15
,17
,那么最短边上的高为_____;
15
随堂练习
5．如图，在四边形ABCD是，AB=3，BC=4，CD=12,AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
随堂练习
解：因为32+42=9+16=25，
52=25，即32+42=52
所以根据勾股定理的逆定理，
△ABD是直角三角形
因为52+122=25+144=169，
132=169，
即52+122=132
所以根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形
所以四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30=36．
随堂练习
1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+
b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
2、两个命题的题设和结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．
3、任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题．
课堂小结
再见第十七章
勾股定理
17.2勾股定理的逆定理
一、教学目标
1.掌握勾股定理的逆定理，并会证明.
2.理解原命题、逆命题和逆定理的概念及关系.
3.进一步掌握勾股定理及其逆定理，并会熟练应用.
二、教学重点及难点
重点：掌握勾股定理的逆定理.
难点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题.
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资料
《互逆命题》图片，《常见勾股数举例》图片，《勾股定理与其逆定理的区别与联系》图片.
五、教学过程
【问题导入】
问题1：
你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论.
命题1
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边长为c，那么a2+
b2=c2.
追问1：
你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？
追问2：
新的命题能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题.
【探究学习】
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
①
2.5，6，6.5；
②
6，8，10．
解：2.52+62=6.52
，62+82=102
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
问题2
由上面几个例子你发现了什么吗 请以命题的形式说出你的观点!
命题2
：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+
b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
问题3：把勾股定理记着命题1，上面的结论作为命题2.
命题1和命题2的题设和结论分别是什么？
命题1
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边长为c，那么a2+
b2=c2.
命题2
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+
b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
以直角三角形为基础，通过直观对比边的长度探究三角形三边平方的数量关系与三角形形状之间的对应情况.
问题4：命题1和命题2的题设和结论有着什么的关系？
两个命题的题设和结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.
插入《互逆命题》图片资源以图示的方式对比互逆命题，加深学生对互逆命题概念的认识.
插入《互逆命题》图片
本图片资源以图示的方式对比互逆命题，加深学生的概念的认识.
如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
已知：在△ABC中，AB=c
BC=a
CA=b
且a2+b2=c2.
求证：
△
ABC是直角三角形.
证明：画一个△A’B’C’,使∠
C’=90°,B’C’=a,
C’A’=b.
因为
∠
C′=90°，
所以
A′B′2=
a2+b2.
因为
a2+b2=c2，
所以A′B′2=c2.
因为边长取正值，
所以
A′B′
=c.
在△
ABC和△
A′B′C′中，
BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，
所以△
ABC
≌△
A′B′C′（SSS）.
所以
∠
C=
∠
C′.
所以∠C=
90°.
所以△
ABC是直角三角形.
插入《常见勾股数举例》图片资源给出一些常见的勾股数，加深学生对勾股数的认识.
插入《常见勾股数举例》图片
本图片资源给出一些常见的勾股数，加深学生的概念的认识.
【典例讲解】
例1 判断由线段a，b，c
组成的三角形是不是直角三角形：
a=15，b=17，c=8；
分析：根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：因为152+82
=225+64=289，172
=289，
所以152+82
=172.
所以以15，8，17为边长的三角形是直角三角形．
像15，17，8
这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
例2
如图，某港口P位于东西方向的海岸上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16
n
mile，“海天”号每小时航行12
n
mile.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30
n
mile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，
PQ
=
16
×
1.5
=
24
，
PR
=
12
×
1.5
=
18，
QR
=
30.
因为
24
2
+
182
=
30
2，即
PQ2
+PR2
=
QR2
所以∠QPR=
90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.所以∠2=_45°，即“海天”号沿西北
方向航行.
设计意图：例2从生活实际出发，让学生了解在实际生活中对数学知识的运用，站在数学角度看待问题解决问题，培养学生的数学思维.
插入《勾股定理与其逆定理的区别与联系》图片，总结勾股定理与其逆定理的区别与联系，加深学生对勾股定理和勾股定理逆定理的认识.
插入《勾股定理与其逆定理的区别与联系》图片
本图片资源总结勾股定理与其逆定理的区别与联系，加深学生对定理的认识.
【随堂练习】
1.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：
（2）对顶角相等；
逆命题：
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：
2.已知三角形的三边长为
9
,12
,15
,则这个三角形的最大角是＿度;
3.△ABC的三边长为
9
,40
,41
,则△ABC的面积为_______;
4.三角形的三边长为
8
,15
,17
,那么最短边上的高为_____;
5.如图，在四边形ABCD是，AB=3，BC=4，CD=12,AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
1.
内错角相等，两直线平行．真命题．
相等的角是对顶角．假命题．
相等的角是对顶角．假命题．
2.90
3.180
4.15
5.解：因为32+42=9+16=25，
52=25，即32+42=52
所以根据勾股定理的逆定理，
△ABD是直角三角形
因为52+122=25+144=169，
132=169，
即52+122=132
所以根据勾股定理的逆定理，△BCD是直角三角形
所以四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD
=3×4÷2+5×12÷2
=6+30=36.
设计意图：对勾股定理的逆定理进行练习，让学生掌握勾股定理逆定理的解题过程，培养学生独立解决问题的能力.
六、课堂小结
1.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形.
2.勾股数：
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
3.互逆命题与互逆定理：
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
七、板书设计
勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形.
2.勾股数：
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
3.互逆命题与互逆定理：
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
