北师大版高中数学选修2-1第四章第1节《数系的扩充与复数的有关概念》课件（共20张PPT）

(共20张PPT)




1 数系的扩充与复数的有关概念






在


线


堂


课
北师大版-高中数学选修1-2第四章：数系的扩充与复数的引入
赣

问题1：同学们能列举一些我们学过的数集，并用字母来表示吗？
问题2：这些数集之间的关系是怎样的？
N Z Q R

N

Z

Q

R
数系的发展历程
思考：为什么要不断扩充数系？


① 分数解决了在整数集中不能整除的矛盾；
② 负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾；
③ 无理数解决了开方开不尽的矛盾；
数集的每一次扩充都为了满足社会生产实践的需要.
当数集扩充到实数集R以后，像这样的方程还是无解的，
因为没有一个实数的平方等于，如何解决这个问题？

另一方面，数集的每一次扩充都为了解决数学内部的矛盾.

思考：为什么要不断扩充数系？

数系的扩充
问题：一元二次方程 无实数解.
解决方法：
（1）它的平方等于，即；

引入一个新数，记作 把 叫作虚数单位，并规定：
（2） 可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.
z = a + b i (a,b∈R)

复数的代数形式

实部

虚部
复数的有关概念
1.复数的有关概念
（1）定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数，其中i是虚数单位.
（2）表示方法：复数通常用字母z表示，即
全体复数所成的集合叫作复数集，用C表示

复数的分类
2.复数的分类

实数
虚数

纯虚数
(b=0)
(b?0)
(a=0)
( a,b?R )
复数 z=a +bi
用图表的形式将复数集、实数集、虚数集，纯虚数集的关系表示出来:

(a≠0)
非纯虚数

复数集
虚数集

纯虚数集
实数集


例1 说出下列四个复数的实部、虚部，
并指出它们是实数还是虚数，
如果是虚数请指出是否为纯虚数.
(1)； (2)； (3)； (4)0.
纯虚数：
a=0 且 b≠0
复数的分类
解:
实部
虚部
类型
3
4
虚数
z = a + b i (a,b∈R)

实部

虚部
(1)
(2)
=
0

纯虚数
=
(3)
(4)0
-7
1
虚数
0
0
实数
= () +1
= 0 + 0
提示：对于一元二项式，若对任意都成立，则=___, =___.
两个复数相等的充要条件是实部，虚部分别相等.
特别地，若a,b ∈R， a+bi=0 ? .
a=b=0
复数的相等的条件
思考：对于复数 a+bi 和 c+di (a,b,c,d∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？
a+bi = c+di
(a,b,c,d∈R)
?
a=c 且 b=d



例2 设
，
求的值.
解：根据复数相等的定义，得
方程思想

解这个方程组，得

复数的相等的条件

a+bi = c+di
(a,b,c,d∈R)
?
a=c 且 b=d
数轴上的点
类比实数的几何意义，你能否找到用来表示复数的几何模型？
实数可以用数轴上的点来表示.
一一对应
实数

(形)
(数)
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
直角坐标系中的点Z(a,b)



（数）
（形）
一一对应
复数的几何意义




x
y
o
z=a+bi
Z(a,b)


b
a

复数的几何意义



x
y
o
z=a+bi
Z(a,b)


b
a

建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复数平面(简称复平面).

x轴------实轴
y轴------虚轴
1.复平面的概念

复平面内的点
Z(a,b)
平面向量 (a,b)
一一对应
一一对应
复数 z=a+bi
一一对应
2.复数的模
复数z=a+bi在复平面内的对应的点是Z(a,b) ，我们将点Z(a,b)到原点的距离|OZ|叫做复数的模或绝对值，记作|z|,显然
复数的几何意义



x
y
o
z=a+bi
Z(a,b)


b
a


复平面内的点
Z(a,b)
平面向量 (a,b)
一一对应
一一对应
复数 z=a+bi
一一对应





例3 在复平面内表示下列复数，
并分别求出它们的模.
（1）; （2）;
（3）
解 在复平面内的表示如右图所示，
复数的几何意义





练习 说出图中复平面内点 A,B,C,D,E
所表示的复数.
复数的几何意义


,并计算出这些复数的模.
课堂小结
提出问题
解决问题
复数的概念

分类
相等的条件
几何意义
方程思想
数形结合思想
类比思想
转化思想
课后作业
1.求实数的值，使复数分别是：
（1）实数; （2）纯虚数; （3）零.
2.求适合下列各方程的实数x, y:
（1） ;
（2）.
3.在复平面上作出表示下列复数的点：

（1） （2） ; （3）; （4）
课后作业




课后作业
1.（1） （2） （3）
2.（1）；
（2）.
3.如右图所示，对应的点分别为A，B，C，D：


课后作业参考答案




A

B

C

D
祝同学们学习进步！





















-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5
x
y

A

B

C

D

E
备用坐标系