第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
一、新课导入
1.导入课题
同学们，你能写出下列问题的结果吗？(1)面积为5的正方形的边长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面半径r是多少？(学生回答结果，老师在黑板上写出)的这些结果有什么共同特点呢？
2.学习目标
（1）掌握二次根式的基本特征.
（2）理解二次根式有意义的条件.
3.学习重、难点
重点：准确判断一个式子是不是二次根式.
难点：求被开方数中所含的字母的取值范围的依据.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P2例1上面的部分.
（2）自学时间：3分钟.
（3）自学方法：完成思考中的问题，从形式和被开方数分别满足的条件两个方面理解二次根式的意义.
（4）自学参考提纲：
① 教材思考中三个问题的答案依次为
② 上述四个式子有什么共同特征呢？
共同特征：它们表示一些正数的算术平方根.
③ 什么样的式子叫做二次根式？
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
④ 想一想：如果a＜0，则是否是二次根式？
不是
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否掌握上述问题结果的式子的特点.
②差异指导：引导学生从“形式”和“被开方数取值”两个方面进行分析.
（2）生助生：学生相互研讨疑难之处. .
4.强化
（1）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，.
答案：,,是二次根式；,不是二次根式，因为不是开平方，的被开方数为负数.
（2）解答教材P3第1题.
令长方形的长、宽分别为3xcm，2xcm，则3x·2x=18，得x2=3，∴x=，3x=3，2x=2.∴长方形的长、宽分别为3cm和2cm.
（3）形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.注意：被开方数a≥0.
1.自学指导
（1）自学内容：教材例1及后面的思考部分.
（2）自学时间：3分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①确定式子中字母x的取值范围的依据是什么？解题步骤是什么？
答案：依据是二次根式的概念，x≥2.
②a取何值时，下列各二次根式有意义？
； ； ； .
答案：a≥1; a≥; a≤0; a≤5.
③若有意义，则a的值为1 .
2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生对例题不等式的得出的理由是否清楚.
②差异指导：指导学生分析使与在实数范围内有意义的条件.
（2）生助生：同桌之间相互研讨.
4.强化
（1）确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围的一般步骤是：
①根据中a≥0的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围.
（2）归纳总结本节所学知识点和数学思想方法.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：学生代表交流自己的学习收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收获进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时开始时创设情境，给出实例，使学生独立思考并作答，并适当提出疑问，引出这节课的内容，充分发掘
了学生的主体性.二次根式是本书学习的第一个知识点，也是本章的第一个知识点，为之后学习二次根式的加减乘除、
勾股定理等知识打下基础.教学时，不仅强化了学生独立思考、探究的能力，还提高了学生的合作交流能力.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.(10分)已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是 .
2.(10分)使有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.(10分)下列各式中一定是二次根式的是( B )
A. B. C. D.
4.(10分)二次根式中，字母a的取值范围是( D )
A.a＜0 B.a≤0 C.a≥0 D.a＞0
5.(20分)当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1) a≥-2; (2) a≤3; (3) a为任意实数；(4) a≥.
二、综合运用(20分)
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)x为任意实数；(2)x为任意实数；(3)x<2;(4)x≥-1且x≠1.
三、拓展延伸(共20分)
7.求使在实数范围内有意义的x的取值范围.
解：由题意得∴1≤x<2.
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
一、新课导入
1.导入课题
我们知道二次根式中a≥0，那么二次根式还有哪些性质呢？今天我们学习“二次根式的性质”(板书课题).
2.学习目标
（1）知道≥0(a≥0)，会用非负数的性质解题.
（2）会用公式=a(a≥0)进行计算.
（3）知道形如的化简方法及结果.
3.学习重、难点
重点：≥0(a≥0)，=a(a≥0).
难点：运用公式=a(a≥0)和=a(a≥0)进行计算化简.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：探究：(a≥0)及(a≥0)中a 的值的特点.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳.
（4）探究提纲：
①当a>0时，是什么数？当a=0时，是什么数？当有意义时，a是什么数？
②从①中我们可以探究得出：当a≥0时，是 非负数 ，即a ≥ 0.
③从(a≥0)所表示的数值特点，你知道还有哪些式子的值具有这种特性？
④已知,求x，y的值.(x=1,y=-1)
2.自学：学生参照探究提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.
②差异指导：引导学生分析表示的数值特点，归纳已学过的非负数及其和为0时所满足的条件.
（2）生助生：学生相互交流、帮助.
4.强化
（1）当a≥0时，≥0，即的值为非负数.
（2）回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幂；②一个数的绝对值；③(a≥0).
（3）非负数的性质：若++|z|=0，则x=y=z=0.
（4）练习：已知,求x，y的值.
答案：x=-1,y=1.
1.自学指导
（1）自学内容：探究(a≥0)的结果.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳(a≥0)的结果.
（4）探究提纲：
①∵3的算术平方根是，∴ = 3 .
②∵的算术平方根是，∴= .
③∵非负数a的算术平方根是a，∴(a≥0)= a .
④∵，∴ 18 .
⑤计算 ：
答案：3； 18； 25； .
⑥由①—⑤的探讨，归纳得出：一般地，= a (a≥0).
2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对(a≥0)的值的理解.
②差异指导：指导学生应用(a≥0)的结果进行计算.
（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.
4.强化
（1）强调=a(a≥0)及其应用.
（2）强调公式=和 =在二次根式计算中的运用.
（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.
1.自学指导
（1）自学内容：探究：当a≥0时，等于什么？若a的值无限定，又等于什么？
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试(a≥0)和的化简，结果有何不同？
（4）探究提纲：
① 2 ；； 0.6 ；由此可以看出：当a≥0时，= a 。
从中我们可以提炼出一个公式是 =a ，其中a的取值范围是 a≥0 .
② 3 ；； 0.5 .由此可以看出：当a<0时，
= -a .
③=a一定成立吗？为什么？
不一定成立.当a＜0时，
④说出下列各式的值：
答案：0.3; ; -π;
⑤如果a是任意有理数，那么如何化简呢？试相互交流自己的化简结果.
=|a|
2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否理解的实际意义及与a表示的数的不同.
②差异指导：指导学生从a的取值范围看的结果有何不同.
（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确的结论.
4.强化
1.自学指导
（1）自学内容：教材关于代数式的那段文字.
（2）自学时间：2分钟.
（3）自学方法：阅读课文，理解字、词、句表达的意义.
（4）自学参考提纲：
①基本运算是指哪些运算？
②是分式吗？是代数式吗？
③用代数式表示面积为S且两条邻边的比为2∶3的长方形的长和宽.
④已知半径为r的圆的面积是半径为2cm和3cm的两个圆的面积和，求r的值.
2.自学：学生可结合自学参考提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情:了解学生是否理解代数式的意义.
②差异指导：引导学生在实例中用含字母的式子表示数.
（2）生助生：学生相互交流、研讨.
4.强化
（1）组织学生交流参考提纲中的问题.
（2）强调代数式的定义.
（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标):小组学生代表交流自己的学习心得和体会.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的不足.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
先复习了上一课时学习的内容，从而进一步探究所学的知识，自然地引出了这节课所要学习的内容，然后学生
通过观察分析、自主探究学习、交流合作并归纳总结的过程，使所学的知识更加深刻透彻，并能准确地学以致用。
在教学中，给予适当的引导，对疑惑之处给予一定的解答。老师在教学过程中，应处于指导的位置，才能使学生在
在自主探究中掌握知识.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.(10分) 3 ,, 5 , 5 .
2.(10分)已知,则= -8 .
3.(10分)已知|a|+a=0,则 1-a .
4.(10分)化简： ， |x+2| .
5.(10分)下列等式错误的是( C )
6.(10分)计算：(1) (2)(1 解：(1) (2)
= =
=1 =x-1+3-x
=2
二、综合应用（20分）
7.(10分)a、b、c为三角形的三边长，化简：.
解：由三角形两边之和大于第三边得：a+b-c>0，a+c-b>0.
∴
=a+b-c+(a+c)-b
=2a
8.(10分)化简.
解：由3-2x≥0，得x≤.
∴
=
=2-x+3-2x+3x
=5
三、拓展延伸（20分）
9.(10分)在实数范围内分解因式：-1.
解：-4=(-2)(+2)=(x- )(x+)(+2).
10.(10分)已知是整数，求正整数n的最小值.
解：是整数，∴24n是完全平方数，又∵24n=×6n,∴正整数n的最小值为6.
