18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
一、新课导入
1.导入课题
同学们，前面我们学习平行四边形时，常把它分割成三角形来研究，今天我们反过来利用平行四边形来研究三角形的有关问题.
2.学习目标
（1）知道什么是三角形的中位线.
（2）知道三角形中位线的性质.
3.学习重、难点
重点：三角形的中位线及其性质.
难点：三角形中位线性质的运用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：P47练习下面至P48探究上面的内容.
（2）自学时间：3分钟.
（3）自学方法：看书，看图，认识三角形中位线的意义.
（4）自学参考提纲：
①画图说明什么是三角形的中位线，一个三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么不同？怎么区分？
②如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、DF、AE、BF、CD，则图中的中线是AE、BF、CD，中位线是DE、DF、EF.
2.自学：结合自学参考提纲进行自主学习.
3.助学
（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握中位线的准确含义.
②差异指导：指导中位线与中线的区别.
（2）生助生：学生之间相互交流、研讨疑难之处.
4.强化:三角形中位线的意义.
1.自学指导
（1）自学内容：三角形中位线与第三边的位置和大小关系.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：测量中位线长、第三边长并猜想.
（4）探究提纲：
①任画一个三角形，取三边的中点并相互连接，然后量中位线长和第三边长，重复画几次，看结果如何.
②通过测量一条中位线长与第三边的长，你有什么发现吗？
③如右图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，试量一下DE、BC的长，比较量出的数据，你有什么发现？DE与BC在位置上有什么关系吗？说出你的猜想.
④结合你的实验猜想出三角形的中位线的性质是.
2.自学：学生结合探究提纲自主探究学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生画图、度量的情况及判断总结的结论是否合理.
②差异指导：指导学生结合测量数据进行猜想并归纳.
（2）生助生：学生研讨疑难之处.
4.强化：三角形中位线的性质.
1.自学指导
（1）自学内容：探究三角形中位线性质的证明方法.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：由DE=12BC思考DE怎么处理可使BC=2DE.
（4）探究提纲：
如右图，D、E分别为AB、AC的中点，
求证：.
①将DE如何处理(延长)得到与BC相等的线段？
②又由AE=CE，联想四边形ADCF是什么四边形？由此可得到CF与BD是什么关系？
③由②中探讨的CF、BD的关系可得四边形DBCF是什么四边形？
∴DE ∥ BC，∵DE=DF，∴DE=BC.
2.自学：学生结合探究提纲自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生的探究思路和方法是否正确，思考过程中的难点在哪里？
②差异指导：由DE=BC启发延长DE多少？由AE＝CE思考四边形ADCF是什么样的四边形？由此可得到什么？找到与BC相等的线段.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化
（1）三角形中位线的意义.
（2）三角形中位线的性质.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和困惑之处..
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在课堂学习中的态度、方法和收效进行点评.
（2）纸笔评价：评价作业.
3.教师的自我评价(教学反思).
本课时的核心是三角形中位线的意义及性质的运用.若已知条件中的中点较多，要联想“三角形的中位线”.不是中位线的，可以通过辅助线构造.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
1.(20分)如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，
BC=12cm，则EF=5cm，DF=4cm，DE=6cm，△DEF的周长为15cm .
2.(10分)△ABC中，AB=4，BC=5，CA=7，顺次连接三边中点得△DEF的周长为 8 .
3.(10分)三角形的三条中位线将其分成 4 个全等三角形.
4.(10分)直角三角形的两条直角边长分别6cm，8cm，则连接这两边中点的线段长为 5 cm.
5.(10分)三角形的三条中位线的长分别为3cm，4cm，6cm，则这个三角形的周长为 26 cm.
二、综合应用（20分）
6.已知：如图，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点.求证：AD与EF互相平分.(提示：连接ED，FD，先证四边形AEDF是平行四边形)
证明：如图，连接ED、FD,
∵E、D分别为△ABC的中点，
∴ED=AC，ED∥AC,即ED∥AF.
又∵F为AC的中点，
∴ED=AF.
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AD与EF互相平分.
三、拓展延伸（20分）
7.如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，试探究BO与OD的大小关系.(提示：分别取OB、OC的中点M、N)
解：OB=OD,
如图，取OB、OC的中点M、N，连接EM、MN、ND.∵E、D分别为△ABC的中点，
∴ED∥BC,ED=12BC,
∵M、N是△OBC的中点，∴MN∥BC,MN=BC.
∴ED∥MN,ED=MN.
∴四边形EDNM是平行四边形.
∴OD=OM=BM.
∴OB=2OD.
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定（1）
一、新课导入
1.导入课题
我们知道，平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？下面我们一起来探究这个问题.
2.学习目标
（1）知道平行四边形的四种判定方法及推理格式.
（2）能用这些判定方法证明一个四边形是平行四边形.
3.学习重、难点
重点：平行四边形的判定的归纳与论证.
难点：平行四边形的判定的应用及规范表述.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：P45内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：写出平行四边形的性质，然后说出它的逆命题，判断逆命题是否是真命题，并验证.
（4）自学参考提纲：
①平行四边形的定义：两组对边啊分别平行的四边形是平行四边形.
如图：用几何语言表示为：
∵AB ∥ CD，AD ∥ BC，
∴四边形ＡBCD是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图：用几何语言表示为：
∵AB = CD,AD = BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形.如图：用几何语言表示为：
∵∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图：用几何语言表示为：
∵OA = OC，OB = OD，
∴四边形ＡBCD是平行四边形.
⑤分别用定义去证明②、③的正确性.
⑥平行四边形判定定理与相应的性质定理互为逆定理.
2.自学：学生可结合自学指导自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否能正确地写出平行四边形性质的逆命题并论证逆命题是否正确.
②差异指导：指导写出性质的逆命题；及验证逆命题的正确性.
（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.
4.强化
（1）平行四边形的判定定理：①；②；③；④.
（2）平行四边形判定定理与相应性质定理的关系：互为逆定理.
（3）练习：P47练习第1题.
1.自学指导
（1）自学内容：P46例3.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读例题条件和证明过程，清楚证明的思路及每步依据.
（4）自学参考提纲：
①在例题的证明过程中的三个结论后面注上理由.
②思考例3的另外的证明方法并写出来同桌交流.
③完成P47练习第2题.
2.自学：学生结合自学指导自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否理解了例3证明四边形BFDE是平行四边形的方法，是否想好了另外方法.
②差异指导：四种方法逐一尝试；比较不同方法的优劣.
(2)生助生：学生相互交流，帮助研讨.
4.强化
（1）归纳平行四边形的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③对角线互相平分的四边形是平行四边形.
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
（2）讨论怎样根据条件选择合适的判定方法证明一个四边形为平行四边形.
三、评价
1.学生自我评价(围绕三维目标)：各小组代表介绍自己的学习方法、收获及困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在课堂学习中的态度、方法、收效和不足之处进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价(教学反思).
本节课通过学生的观察、实验、猜想、验证、推理等活动过程，让学生感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性，发展学生的动手操作能力、推理能力及数学应用意识.另外，教师应要求学生将五种判定的数学语言和符号语言都按格式书写出来，这样有利于学生数学习惯的培养.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（60分）
一、基础巩固（45分）
1.(10分)下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是(A)
A.AB∥CD,AD∥BC B.∠A=∠B，∠C=∠D
C.AB=BC,AD=DC D.AC=BD
2.(10分)四边形ABCD中，已知AB∥CD，再添加一个条件AB=CD，使四边形ABCD是平行四边形.
3.(10分)如图，△ABC平移后得到△DEF，则图中的平行四边形分别有 ACFD、 ABED、 BCFE .
4.(15分)如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BE=DF,求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：如图，连接AC交BD于O.
由平行四边形的性质可得：OA=OC，OB=OD.
又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF，∴OE=OF.
又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.
二、综合应用（35分）
5（15分）.如图， ABCD中，线段EF、GH分别在AB、CD上运动，在运动过程中总是保持EF=GH.
（1）试猜想四边形EFGH的形状，并说明理由.
（2）若EF=13AB，且，则 8 .
解：（1）四边形EFGH为平行四边形.
由平行四边形的性质得：AB∥CD，即EF∥GH，
又∵EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形.
6.（20分）如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗?为什么？
分析：先根据平行四边形两组对角分别相等可得∠ABC=∠CDA，∠A=∠C，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和得出四边形BFDE的两组对角分别相等，即可证明四边形BFDE是平行四边形.?解：四边形BFDE是平行四边形.
理由：在?ABCD中，∠ABC=∠CDA，∠A=∠C，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC，∠CDF=∠ADF=12∠CDA，
∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF，
∵∠DFB=180°-∠CFD=∠C+∠CDF，∠BED=180°-∠AEB=∠ABE+∠A，
∴∠DFB=∠BED，
∴四边形BFDE是平行四边形.
三、拓展延伸（20分）
7.如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF．求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△BCE、△ACF、△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，即∠BCA=∠ECF，
在△BCA和△ECF中，BC=EC，∠BCA=∠ECF，AC=FC，
∴△BCA≌△ECF（SAS），∴AB=EF，
∵AB=AD，∴AD=EF，同理DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
第2课时 平行四边形的判定（2）
一、新课导入
1.导入课题
同学们，我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，应该怎样判定呢？今天，我们一起来探究平行四边形的另一种判定方法.
2.学习目标
（1）利用一组对边判定平行四边形的书写格式.
（2）归纳并总结平行四边形的五种判定方法，掌握它们之间的联系与区别.
3.学习重、难点
重点：利用一组对边平行且相等判定平行四边形.
难点：综合运用平行四边形的各种判定方法进行推理论证.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：探究：一个四边形的一组对边满足什么条件时，这个四边形是平行四边形.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：结合平行四边形性质和尝试作图进行猜想，并思考证明猜想的方法.
（4）探究提纲：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
②结合①和平行四边形图形，想一想：如果只考虑四边形的一组对边，那么这组对边要满足什么条件时，这个四边形是平行四边形？
③你能用已学过的判定方法证明你的猜想吗？画图，写出你的已知、求证和证明，并相互交流一下.
④归纳探究结果：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2.自学：结合探究提纲自助学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生的探究思路和方法，看学生在探究中有什么困惑.
②差异指导：指导学生用三角形全等来证明另一组对边的关系.
（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.
4.强化
（1）定理的条件：一组对边平行(位置关系)且相等(数量关系).
（2）运用时，先证相等，再证平行或先证平行，再证相等.
1.自学指导
（1）自学内容：P47例4.
（2）自学时间：4分钟.
（3）自学方法：认真阅读例题的证明过程，思考证明的思路及每步的依据.
（4）自学参考提纲：
①在 ABCD中，AB=CD，EB∥FD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EB=FD，∴EB∥FD且EB＝FD,∴四边形EBFD是平行四边形.
②完成P47练习的第3、4题.
2.自学：结合自学指导自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生能否从条件中找到合适的判定方法，在方法选用中是否逐一比较优劣.
②差异指导：指导选择判定方法的依据及优越性.
（2）生助生：学生研讨疑难之处.
4.强化
（1）回顾平行四边形的五种判定方法.
（2）点学生板演P47练习第3、4题，并点评.
三、评价
1.学生自我评价(围绕三维目标)：各小组代表介绍自己的学习方法、收获及困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在课堂学习中的态度、方法、收效和不足之处进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师自我评价(教学反思).
本节课是在掌握平行四边形的四种判定方法的基础上展开的，在探究利用一组对边判定平行四边形时，教师注重学生自主思考的过程，类比之前几种判定方法的探索过程，让学生自主归纳并进行证明.教师同时引导学生总结平行四边形的五种判定方法，巩固学生对各种判定方法的认识及运用.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（50分）
1.(10分)下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(A)
A.AB=CD，AD∥BC B.AB=CD，AB∥CD
C.AB∥CD，AD∥BC D.AB=CD，AD=BC
2.（10分）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6，当AD= 6 时，四边形ABCD是平行四边形.
3.（10分）四边形ABCD中，AD=BC,BD为对角线，∠ADB=∠CBD，则AB与CD的关系为
4.如图，DB∥AC，DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE.
证明：∵E为AC的中点，DB=AC.
∴DB=CE.又∵DB∥AC，即DB∥CE,
∴四边形BCED为平行四边形，
∴BC=DE.
二、综合应用（35分）
5.如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
分析：首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
?证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA，
在△ADF和△CBE中，∠DFA=∠BEC，∠ADF=∠CBE,AF=CE,
∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE=DF，又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．
三、拓展延伸（25分）
6.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF．
又∵AF＝CE，DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．
