18.2 特殊的平行四边形
18.2.1矩形
第1课时 矩形的性质
一、新课导入
1.导入课题
演示平行四边形方框,使方框相邻两边成直角时，让学生尝试说出此时四边形的名称，并板书课题.
2.学习目标
（1）理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
（2）掌握矩形的性质及其推论，会进行有关的计算与证明.
3.学习重、难点
重点：矩形的性质及其推论.
难点：矩形性质的运用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：P52内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：观看平行四边形方框改变成有一个角是直角时，边的关系是否发生改变.
（4）自学参考提纲：
①矩形是平行四边形吗?它具有平行四边形的性质吗？
②如图，四边形ABCD是矩形，那么：AD∥BC且AD＝BC，AB∥CD且AB＝CD，∠D=∠B=90°，∵∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠C=∠D，OA=OC，OB=OD.
③矩形还具有哪些一般平行四边形不一定具有的性质呢？结合上图进行论证归纳出来.
对于四个角来说有四个角都是直角.
对于对角线来说有对角线相等.
2.自学:结合自学参考提纲进行自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生完成参考提纲时存在的困难问题.
②差异指导：引导学生通过平行四边形性质及三角形全等知识探究矩形的特殊性质.
（2）生助生：学生之间相互交流和帮助.
4.强化
（1）矩形具有一般平行四边形的性质.
（2）矩形具有的特殊性质.
1.自学指导
（1）自学内容：P53练习以上的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：认真阅读“思考”文字内容，对照图形思考BO与AC之间存在什么关系.
（4）自学参考提纲：
①如教材中图18.2-3，因为矩形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，即O是AC的中点，BO是△ABC的边AC上的中线.
②因为∠ABC=90°，BO是AC的中线，BO=BD，AC=BD，所以BO=AC；也就是说直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
③归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
④例1中OA=OB运用了对角线相等和对角线互相平分性质.
2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生找BO与AC关系的思考过程.
②差异指导：指导学生将结论用文字表达出来.
（2）生助生：学生相互交流帮助.
4.强化：直角三角形的性质:
（1）两锐角互余.
（2）两直角边的平方和等于斜边的平方.
（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学习方法、收获和困惑之处.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生在课堂学习中的态度、方法、收获及不足.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
在学习本节课之前，学生对矩形的基本知识有一定的了解，而且有前一节探究平行四边形有关知识作为基础，学生已具有一定的独立思考和探究的能力，所以本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，促进学生能力的提高.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（共60分）
1.(15分)矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(C)
A.对边相等 B.对角相等 C.对角互补 D.对角线互相平分
2.(15分)直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边的中线长是(D)
A.26 B.13 C.8.5 D.6.5
3.(15分)矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AB=5cm，BC=12cm,则△ABO的周长等于18cm .
4.(15分)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°.点D是AB边的中点.试判断△BCD的形状，并说明理由.
解：△BCD为等边三角形.
∵∠ACB=90°,点D是AB的中点，∴CD=AB=BD.
在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°.
在△CBD中，CD=BD,∠B=60°,
∴△BCD为等边三角形.
二、综合应用（20分）
5.矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为4.5cm，求对角线长.
解：对角线长=2×4.5=9（cm）.
三、拓展延伸（20分）
6.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE=CF.
证明：∵AC、BD为矩形ABCD的对角线，∴OB=OC.
又∵∠BEO=∠CFO=90°，∠EOB=∠FOC.
∴Rt△EBO≌Rt△FCO,
∴BE=CF.
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
一、新课导入
1.导入课题
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？(板书课题)
2.学习目标
（1）能推导归纳判定一个四边形是矩形的几种方法.
（2）能选取适当的判定方法判定一个四边形是矩形.
3.学习重、难点
重点：矩形的判定方法的探究.
难点：矩形的性质与判定的综合运用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：P53最后二行至P54例2前的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学要求：用已学的矩形意义和性质推导出矩形的判定方法.
（4）自学参考提纲：
①按定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②“矩形的对角线相等”的逆命题是对角线相等的平行四边形是矩形，这个命题成立吗？请给予证明.
③有三个角是直角的四边形是矩形.
④判断：
a.对角线相等的四边形是矩形.(×)
b.对角线相等且互相平分的四边形是矩形.（√）
2.自学：结合自学指导自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否能完成对两个判定定理的推导，命题证明存在的障碍在哪里？
②差异指导：指导学生依据矩形定义完成两个定理的论证及证明一个四边形是矩形的方法步骤.
（2）生助生：同桌之间相互研讨.
4.强化
归纳矩形的三种判定方法及几何推理格式：
方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
方法2：有三个角是直角的四边形是矩形；
方法3：对角线相等的平行四边形是矩形.
1.自学指导
（1）自学内容：P54至P55例2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：边看例题，边思考解题思路及解答过程中的每步依据.
（4）自学参考提纲：
①课本中求∠OAB的度数的思路是：求∠DAB的度数→证明∠DAB=90°→证明四边形ABCD是矩形.
②（证明）解答第一步推理运用了平行四边形的性质：对角线互相平分.
第二步由OA=OD得到AC=BD的依据是等量代换.
第三步由AC=BD得到四边形ABCD是矩形的依据是对角线相等的平行四边形是矩形.
③完成课本P55练习第2题，参照例2的思路写出解答过程.
2.自学：结合自学参考提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否理解例2的解题思路和步骤，存在的困难在哪里.
②差异指导：对练习第2题的条件进行分析，猜测有什么结论.
（2）生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化
（1）矩形的判定方法.
（2）由条件到问题之间的联系如何分析.
三、评价
1.学生自我评价(围绕三维目标)：各组学生代表介绍自己的学习方法、收获及困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生课堂学习中的态度、学习方式、成果及不足之处.
（2）纸笔评价：评价作业.
3.教师的自我评价(教学反思).
本节课通过观察、探究，让学生掌握矩形的三个判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，让同学之间相互交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识.在本节课的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（50分）
1.(20分)下列判定矩形的说法是否正确？为什么？
(1)有一个角是直角的四边形是矩形.(×)
(2)四个角都相等的四边形是矩形.(√)
(3)对角线相等的四边形是矩形.(×)
(4)对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形. (√)
2.(10分)下列四边形中不一定是矩形的是 (C)
A.有三个角是直角的四边形
B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行且对角相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形
3.(20分)如图：
(1)当AC=BD 时， ABCD是矩形；
(2)当∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°时，四边形ABCD是矩形.
二、综合应用（20分）
4.已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm.(1)这个平行四边形是矩形吗？说明你的理由;(2)求这个平行四边形的面积.
解：（1）是.∵△AOB是等边三角形，∴AO=BO，
又∵AO=12AC,BO=12BD.(平行四边形的性质)
∴AC=BD.
∴ ABCD是矩形.
（2）
三、拓展延伸（30分）
5.如图，在△ABC中，D在AB边上，AD=BD=CD，DE∥AC，DF∥BC.求证：四边形DECF是矩形.
证明：∵AD=BD=CD，
∴△ABC为直角三角形，∠FCE=90°，
∵DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形DECF为平行四边形，又∵∠FCE=90°，
∴平行四边形DECF是矩形.
