18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一、新课导入
1.导入课题
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，让学生猜想打开后的图形名称，由此导入新课(板书课题).
2.学习目标
（1）能说出菱形的定义和性质.
（2）能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明.
3.学习重、难点
重点：菱形的性质.
难点：菱形性质的运用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：P55至P56例3以前的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：动手剪纸观察图案，思考定义的条件限定含义，归纳并进行说理论证.
（4）自学参考提纲：
①有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
②菱形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？
③菱形是平行四边形吗？它由一组邻边相等，可得到边有什么特点？画图看一看！
④由三角形全等的性质，通过证明三角形全等，你能得出菱形的所有性质吗？请写出来，同桌交流一下.
⑤你能归纳出菱形的所有性质吗？请写出来，同桌交流一下.
⑥已知菱形的两条对角线的长，怎样求其面积？
2.自学：结合自学指导自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生完成自学提纲时存在的问题和困难.
②差异指导：指导学生通过已学的知识探讨菱形具有的性质中遇到的困难和不全不严之处.
（2）生助生：小组研讨，交流展示，相互帮助.
4.强化
（1）菱形的定义；
（2）菱形的性质：
①它具有一般平行四边形的性质；
②它具有特殊性质；
③它是轴对称图形;
④菱形面积的求法：平行四边形面积公式；对角线乘积的一半.
1.自学指导
（1）自学内容：P56例3.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：根据问题条件，对照菱形的性质，探索解题思路，记录学习疑点.
（4）自学参考提纲：
①求两条小路长就是求菱形的对角线长，求菱形的面积可用的方法有底×高或对角线乘积的一半.
②△AOB是直角三角形吗？为什么？
③∠ABO与∠ABC是什么关系？为什么？
④AO=AB的理由是什么？
⑤为什么AC=2AO，BD=2BO？
⑥为什么？还可用=.
2.自学：结合自学指导自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生完成自学提纲时存在的问题，遇到的困难在哪里.
②差异指导：指导学生确定解题过程中每一步的依据，引导反思解题思路.
（2）生助生：学生研讨疑难之处.
4.强化
（1）把菱形问题转化为直角三角形求解.
（2）菱形的两个面积公式.
（3）总结菱形被对角线分成的四个直角三角形与菱形的边、角和对角线的关系.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己的学法、成果及困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：对学生在本节课学习中的态度、学习方式、收效及不足进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思).
本节课的教学可先从日常生活入手，让学生回忆身边的菱形物体，然而再用木条、纸片等实物进行演示，并鼓励学生分组交流.最后师生共同总结出菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.在整个教学过程中，教师应引导学生采用类比的方法，以发展学生的逻辑思维能力和演绎能力.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（60分）
1.(10分)若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为60°和120°.
2.(10分)菱形的两邻角之比为1∶2，边长为2，则菱形的面积为.
3.(10分)已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是 5 cm.
4.(20分)菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC∶BD=4：3，那么对角线AC=16cm，BD=12cm.
5.(10分)已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则另一条对角线长为 5 厘米.
二、综合应用（20分）
6.菱形的两条对角线的长的比为3∶4，面积为24cm2，求菱形的周长.
解：设一条对角线长为3x，则另一条对角线长为4x，
S=×3x·4x=24,∴x=2.
∴.
∴菱形的周长=4×5=20(cm).
三、拓展延伸（20分）
7.已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.求证：∠AEF=∠AFE.
证明：如图，连接AC,
∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD,∠ECA=∠FCA.
又∵BE=DF,∴EC=FC.
∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF,∴∠AEF=∠AFE.
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、新课导入
1.导入课题
用菱形的定义，我们容易得到，一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外还有没有其他判定方法？(板书课题)
2.学习目标
（1）能从研究菱形性质的逆命题正确性中得到菱形的判定.
（2）能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形.
3.学习重、难点
重点：菱形的判定的推导与归纳.
难点：菱形的判定的正确运用.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：P57例4的内容.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：自己写出菱形性质的逆命题，验证它们的正确性，并相互交流.
（4）自学参考提纲：
①由定义判定一个四边形是菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
②运用定义证明四边形是菱形，可先证它是平行四边形，再证它是菱形.
③运用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 证明四边形是菱形时，可先证它是平行四边形，再证它是菱形.
④要证明一个平行四边形是菱形，只需先证明有一组邻边相等或对角线互相垂直.
⑤判断：
a.对角线互相垂直的四边形是菱形.（×）
b.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（√）
2.自学：结合自学指导进行自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生在完成判定定理的证明及完成自学提纲时遇到的偏差和困难之处.
②差异指导：对学生在菱形判定的证明步骤不当或思路不清之处进行点拨、引导.
（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.
4.强化
（1）菱形的判定方法：
①按定义判定.
②按对角线判定.
（2）证明一个四边形是菱形的步骤.
1.自学指导
（1）自学内容：P57例4以下至P58练习的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：写出菱形性质“菱形的四条边相等”的逆命题，再作图思考如何证明逆命题的正确性.
（4）自学参考提纲：
①“菱形的四条边相等”的逆命题是四条边相等的四边形为菱形.
②如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证:四边形ABCD是菱形.
a.若按定义证：先证它是平行四边形，再证它是菱形，要证它是平行四边形，需找两对对角相
等.因此可连接对角线.再运用三角形全等得到角相等.请按上述分析填空尝试证明；
b.若按对角线来判定，则需先证它是平行四边形，再证对角线垂直，这就只需证它的一组邻边
相等，就可得它是菱形.证一组对边平行就可通过连接一组对角线，运用一组内错角相等证得
一组对边平行且相等.然后再证对角线垂直.尝试分析填空写出证明过程.
c.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，则它是菱形吗？为什么？它的面积是多少？
解：画出图形如图所示，根据题意，有AD=9,BD=,AC=12,根据平行四边形的性质知,则在△AOD中，AO2+DO2=AD2,∴△AOD为直角三角形，∴AO⊥OD也即AC⊥BD,∴平行四边形ABCD为菱形，其面积为
③完成P58练习题第1(1)题和第3题.
2.自学：结合自学指导自主学习.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对P57最后一个“思考”的判断和论证存在的困难在哪里.
②差异指导：引导学生运用两个方法证明“思考”中的结论.
（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.
4.强化
（1）画菱形的方法.
（2）菱形的判定:
①按定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②按对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③按边：四条边相等的四边形是菱形.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：交流自己这节课的学习有哪些收获和困惑.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生的学习积极性和学习成果.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思).
本节课的教学以学生自主探究为主，通过观察和推理，让学生掌握菱形的三种判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.在教学的过程中，对于学生难于理解的地方，教师要进行专门的讲解和指导.教学时应充分发挥学生的主动性，并增强与学生的互动和交流.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（60分）
1.(15分)下列条件中，能判定一个四边形是菱形的条件是(B)
A.对角线互相平分的四边形 B.对角线互相垂直且平分的四边形
C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
2.(15分) ABCD的对角线AC平分∠BAD，则 ABCD 是 (填“是”或“不是”)菱形.
3.(15分)已知 ABCD中，对角线AC=24，BD=10，一边长为13，则 ABCD是 菱形 .(填“平行四边形”、“矩形”或“菱形”)
4.(15分)四边形ABCD是平行四边形，请补充一个条件：AB=BC，使它是菱形.
二、综合应用（20分）
5.如图，AE∥BF，ＡＣ平分∠BAD，且交ＢＦ于点Ｃ，ＢＯ平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AE∥BF,∴∠EAC=∠ACB.
又∵AC平分∠BAD,∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.
同理：AB=AD,∴AD=BC,而AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
三、拓展延伸（20分）
6.如图，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA.
请你以其中的三个作为题设，以“四边形ABCD是菱形”作为结论.
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例加以说明.
解：（1）若①②③，则四边形ABCD是菱形.
∵AC⊥BD,AC平分BD,
∴∠BOC=∠DOA=90°,BO=OD.
又∵AD∥BC,∴∠OBC=∠ODA.
∴△BOC≌△DOA,∴OC=OA.
∴AC、BD互相垂直且平分，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）若②③④，则四边形ABCD是菱形.
反例：当四边形ABCD是矩形时，满足②③④，但不是菱形.
