第二章相交线与平行线
2.3平行线的性质
第1课时
一、教学目标
1．掌握平行线的性质，能利用性质进行简单的推力和运算；
2．探索直线平行的性质，培养推理能力和有条理的表达能力．
二、教学重点及难点
重点：探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算．
难点：能区分平行线的性质和判定，平行线的性质与判定的混合应用．
三、教学准备
多媒体课件
四、教学资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
1.回顾平行线的判定方法.
（1．同位角相等，两直线平行．2．内错角相等，两直线平行．3．同旁内角互补，两直线平行．）
2.已知公路c分别与两条互相平行的公路a，b相交，两辆汽车在公路a，b上同向行驶拐弯后上公路c又同向行驶．
（1）如果公路c与公路a的交角为70°，那么公路c与公路b的交角是多少度呢？
（70°）
（2）如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
（直观上判断：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角均分别相等）
设计意图：平行线的判定定理与性质定理是互逆的，对初学者来说易将它们混淆，因此，复习平行线的判定为后面性质与判定的比较作好准备，同时利用平行线的判定定理和性质定理的互逆关系自然引入新课．
【探究新知】
活动1.（1）用直尺和三角板画出两条平行线a，b，再画一条截线c与直线a，b相交，标出所形成的八个角．
（2）测量填表，作出猜想．
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？
在详尽分析后，写出猜想：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、分别相等，同旁内角互补.
（3）验证猜测、给出结论．
在上图中，再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，检验你的猜想是否还成立？
如果直线a与b不平行，你的猜想还成立吗？
（不成立）
设计意图：在学生合作交流后，教师归纳并板演平行线的性质，规范文字语言．
活动2.平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为：两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为：两直线平行，内错角相等．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为：两直线平行，同旁内角
互补．
如图
性质1．∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
性质2．∵a∥b（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
性质3．∵a∥b（已知），
∴∠2＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
设计意图：帮助学生理解文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化，为今后进一步学习推理打下基础．
活动3.对比平行线的判定方法和性质，说出它们的区别:
判定与性质最大的区别在于条件和结论互逆，即从角的相等或互补关系得到两直线平行是平行线的判定；反过来，由直线的平行得到角的相等或互补关系，是平行线的性质．
结合下图，用符号语言表达平行线的这三条性质，并对应写出平行线的判定．
平行线的性质 平行线的判定
（1）因为a∥b， （1）因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠2． 所以a∥b．
（2）因为a∥b， （2）因为∠2＝∠3，
所以∠2＝∠3． 所以a∥b．
（3）因为a∥b， （3）因为∠2＋∠4＝180°，
所以∠2＋∠4＝180°． 所以a∥b．
讨论结果：两者的因为“部分”和所以“部分”正好交换．
设计意图：这是学生升入初中以来第一次接触判定和性质，要让学生明确它们之间的区别，防止在应用时发生混淆．为后面学习其他图形的判定和性质作好铺垫．
【典型例题】
例1 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形另外两个角分别是多少度？
解：因为AB∥CD，
所以∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°．
于是∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80°，
∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°．
所以梯形的另外两个角分别是80°，65°．
例2.如图，BCD是一条直线，∠A＝75°，∠1＝53°，∠2＝75°，求∠B的度数．
分析：本题是平行线的判定和性质的综合应用，要引导学生观察图形，考察已知角的数量关系以及所求角与已知角的关系，从而确定解题的思路．
解：因为∠A＝∠2＝75°，
所以AB∥CE．（同位角相等，两直线平行）
所以∠B＝∠1＝53°．（两直线平行，内错角相等）
例3.如图：一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4.
（1）∠1与∠3的大小有什么关系？∠2和∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
解：（1）∵AB∥DE，
∴∠1=∠3；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠4；
（2）BC与EF平行，理由为：
证明：∵∠2=∠4，
∴BC∥EF．
设计意图：平行线的判定与性质的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
例4．如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．
分析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．
解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE．理由如下：过点E作EG∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE．∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；
(2)同(1)可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF．∵∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，∴∠BAE＋∠CDE＝∠BAF＋∠CDF，∴∠AED＝∠AFD．
设计意图：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．
【随堂练习】
1．（1）如图，若AD∥BC，则∠______＝∠______，∠______＝∠______，∠ABC＋∠______＝180°；若DC∥AB，则∠______＝∠______，∠______＝∠______，∠ABC＋∠______＝180°．
解：1； 5； 8； 4； BAD； 2； 6； 3； 7； BCD．
（2）如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是南偏西56°，甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通，则乙地所修公路的走向是__________，因为______________________________．
解：北偏东56°； 两直线平行，内错角相等
（3）如图，已知∠1＝110°，∠2＝110°，∠3＝70°，则∠4的度数是 ．70°
（4）如图，AB∥EF，∠ECD＝∠E，则CD∥AB．
说理如下：
因为∠ECD＝∠E，
所以CD∥EF（ ）．
又AB∥EF，
所以CD∥AB（ ）．
解：内错角相等，两直线平行 平行于同一条直线的两直线平行．
2.（1）如图a∥b，a，b被c所截，得到∠1＝∠2的依据是（ ）．A
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
（2）同一平面内有四条直线a，b，c，d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c，d的位置关系为（ ）．B
A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定
（3）如图，AB∥CD，那么（ ）．C
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠2＝∠4 D．∠2＝∠5
（4）如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）．D
A．∠1＋∠2＝180° B．∠2＋∠3＝180°
C．∠3＋∠4＝180° D．∠2＋∠4＝180°
3．如图，已知：DE∥CB，∠1＝∠2，求证：CD平分∠ECB．
∵DE∥CB，
∴∠1＝∠DCB．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB．
∴CD平分∠ECB．
设计意图：在学完本节知识后，学生容易出现一个知识负迁移，认为同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，为此在学生动手探究的过程中，不仅要关注学生对直线a与b平行时被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角之间数量关系的探索，同时也要关注学生对直线a与b不平行时同位角、内错角、同旁内角之间关系变化的认识，从而突出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的前提条件．虽然现在对于推理论证的要求还不高，为了培养学生思维的严谨性和条理性，无论在性质的证明还是在例题教学中，要求学生尽可能的将推理过程书写规范．
六、课堂小结
平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
七、板书设计
(
2.3
平行线的性质（
1
）
一
、
平行线的性质
：
（1）
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为：两直线平行，同位角相等．
（
2
）
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为：两直线平行，内错角相等．
（
3
）
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为：两直线平行，同旁内角互补．
二
、
练习
：
)
(共29张PPT)
第二章相交线与平行线
2.3平行线的性质
第1课时
学习目标
1．掌握平行线的性质，能利用性质进行简单的推力和运算；
2．探索直线平行的性质，培养推理能力和有条理的表达能力．
复习回顾
1.回顾平行线的判定方法.
（1）同位角相等，两直线平行．
（2）内错角相等，两直线平行．
（3）同旁内角互补，两直线平行．
70°
问题情境
已知公路c分别与两条互相平行的公路a，b相交，两辆汽车在公路a，b上同向行驶拐弯后上公路c又同向行驶．
（1）如果公路c与公路a的交角为70°，那么公路c与公路b的交角是多少度呢？
（2）如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
（直观上判断：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角均分别相等）
1.用直尺和三角板画出两条平行线a，b，再画一条截线c与直线a，b相交，标出所形成的八个角．
c
a
b
1
4
3
2
5
8
7
6
探究新知
平行线的性质
2．测量填表，作出猜想．
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数 ? ? ? ? ? ? ? ?
图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？
在详尽分析后，写出猜想：如果两条直线平行，那么同位角、内错角均分别相等，同旁内角互补．
探究新知
3．验证猜测、给出结论．
在上图中，再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，检验你的猜想是否还成立？
如果直线a与b不平行，你的猜想还成立吗？
探究新知
不成立
平行线的性质：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为：
两直线平行，同位角相等．
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为：
两直线平行，内错角相等．
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为：
两直线平行，同旁内角互补．
探究新知
符号语言表达上述三个性质．
如图:
性质1．
∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠2
（两直线平行，同位角相等）．
c
b
2
1
a
探究新知
性质2．
∵a∥b（已知），
∴∠2＝∠3
（两直线平行，内错角相等）．
a
3
2
b
c
探究新知
性质3．
∵a∥b（已知），
∴∠2＋∠4＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）．
c
b
2
4
a
探究新知
对比平行线的判定方法和性质，说出它们的区别:
判定与性质最大的区别在于条件和结论互逆，即从角的相等或互补关系得到两直线平行是平行线的判定；反过来，由直线的平行得到角的相等或互补关系，是平行线的性质．
探究新知
平行线的性质 平行线的判定
（1）因为a∥b， （1）因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠2． 所以a∥b．
（2）因为a∥b， （2）因为∠2＝∠3，
所以∠2＝∠3． 所以a∥b．
（3）因为a∥b， （3）因为∠2＋∠4＝180°，
所以∠2＋∠4＝180°． 所以a∥b．
1
4
3
2
c
a
b
探究新知
例1．如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形另外两个角分别是多少度？
解：∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，∠B＋∠C＝180°．
∴∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80°，
∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°．
∴梯形的另外两个角分别是80°，65°．
A
B
C
D
典型例题
例2．如图，BCD是一条直线，∠A＝75°，∠1＝53°，∠2＝75°，求∠B的度数．
解： ∵ ∠A＝∠2＝75°，
∴AB∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠1＝53°．（两直线平行，内错角相等）
A
B
C
D
E
2
1
典型例题
典型例题
例3.如图：一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4.
（1）∠1与∠3的大小有什么关系？∠2和∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
解：（1）∵AB∥DE，∴∠1=∠3；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠4；
（2）BC与EF平行，理由为：
证明：∵∠2=∠4，
∴BC∥EF．
例4．如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF．
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
（2）求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．
分析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．
A
B
D
C
G
E
F
典型例题
解：（1）∠AED＝∠BAE＋∠CDE．理由如下：
过点E作EG∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥CD，
∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE．
∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，
∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；
A
B
D
C
G
E
F
典型例题
（2）同（1）可得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF．
∵∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF，
∴∠BAE＋∠CDE＝ ∠BAF＋ ∠CDF，
∴∠AED＝ ∠AFD．
3
2
3
2
3
2
A
B
D
C
G
E
F
典型例题
1．（1）如图，若AD∥BC，则∠______＝∠______，∠______＝∠______，∠ABC＋∠______＝180°；若DC∥AB，则∠______＝∠______，∠______＝∠______，∠ABC＋∠______＝180°．
A
D
B
C
1
8
7
2
3
4
5
6
1
5
8
4
BAD
2
6
3
7
BCD
随堂练习
北偏东56°
两直线平行，内错角相等
北
北
乙
甲
56°
随堂练习
（2）如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是南偏西56°，甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通，则乙地所修公路的走向是__________，因为_________________________．
随堂练习
（3）如图，已知∠1＝110°，∠2＝110°，∠3＝70°，则∠4的度数是 ．
70°
（4）如图，AB∥EF，∠ECD＝∠E，
则CD∥AB．
B
A
E
F
D
C
说理如下：
因为∠ECD＝∠E，
所以CD∥EF（ ）．
又AB∥EF，
所以CD∥AB（ ）．
内错角相等，两直线平行
平行于同一条直线的两直线平行
随堂练习
随堂练习
2.（1）如图a∥b，a，b被c所截，得到∠1＝∠2的依据是（ ）．
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
A
随堂练习
（2）同一平面内有四条直线a，b，c，d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c，d的位置关系为（ ）．
A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定
（3）如图，AB∥CD，那么（ ）．
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠2＝∠4 D．∠2＝∠5
B
C
随堂练习
（4）如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的
是（ ）．
A．∠1＋∠2＝180°
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠3＋∠4＝180°
D．∠2＋∠4＝180°
D
随堂练习
3．如图，已知：DE∥CB，∠1＝∠2，求证：CD平分∠ECB．
证明：∵DE∥CB，
∴∠1＝∠DCB．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB．
∴CD平分∠ECB．
平行线的性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
课堂小结
再见
