第二章相交线与平行线
2.4用尺规作角
一、教学目标
1.会用尺规作一个角等于已知角；
2.会利用测量、比较等方式难新作的角是否等于已知角，可以用尺规作角来画已知直线的平行线.
二、教学重点及难点
重点：按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角．
难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用．
三、教学资源
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB．
（1）请过C点画出与AB平行的另一边．
（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
设计意图：通过具体问题，让学生在学过的尺规作线段的基础上，进一步感受用尺规作角的必要性，引入课题．
【探究新知】
探究：用尺规作一个角等于已知角
活动1.已知：∠AOB．
求作： ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．
作法与示范：
作法 示范
（1）作射线 O′A′
（2）以点O为圆心，以 任意长为半径画弧， 交OA于点C，交OB 于点D；
（3）以点 O′为圆心，以 OC长为半径画弧， 交 O′A′于点 C′；
（4）以点 C′为圆心，以 CD长为半径画弧， 交前面的弧于点 D′；
（5）过点 D′作射线O′B′,∠A'O'B'就是所求作的角．
活动2.利用尺规完成本节课开始时提出的问题．
如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB．
（1）请过点C画出与AB平行的另一边．
（2）如果只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
作法：
（1）以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，交AC于点E，交OB于点G；
（2）以点C为圆心，以AE长为半径画弧，交AC的延长线于点CF；
（3）以F为圆心，EG长为半径画弧，交前面的弧于点H；
（4）连接CH并延长交木板边界于点D，则四边形ABCD即为所作．如图：
【典型例题】
例1 ．下列作图属于尺规作图的是( )D
A．画线段MN＝3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
解析：A．画线段MN＝3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B．用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D．正确．故选D．
设计意图：尺规作图的判断方法：看作图时所使用的作图工具是否为没有刻度的直尺和圆规，如果作图工具是没有刻度的直尺和圆规，那么就属于尺规作图，否则就不是尺规作图．
例2 ． 已知∠AOB，用尺规作图法作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．
分析：先作一个角等于∠AOB，再以这个角的一边为边在其外部作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．
解：作法：
①作∠DO′B′＝∠AOB；
②在∠DO′B′的外部作∠A′O′D＝∠AOB，∠A′O′B′就是所求的角(如图)．
例3．如图，已知，求作．
分析：我们可以先作出一个角等于，再在这个角的外边，以这个角的一边为边作一个角等，这就作出了这两个角的和，这个过程可以简化成如下过程．
作法：（1）作射．
（2）以O为圆心任意长为半径画弧交OA于E，OB于F；再以为圆心同样长为半径画弧交于，于．
（3）以为圆心，以OE为半径画弧交于．
（4）以为圆心，以EF为半径画弧，于前弧交于D点；再以D点为圆心，以为半径画弧，交、D所同在的弧为点．
（5）作射线，则就是所求的角．
例4.试画出的余角；
解：如图，作其中一边的反向延长线，设的顶点为O．
①以O为圆心，任意长为半径画弧交直线AB为A、B两点；
②分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于E、F两点；
③连结OE、既为所求．
例5.已知，如图，锐角，求作：，使得
分析：首先作出，再求的补角即是所求的角．
作法：1．作，
2．以为始边作
3．反向延长射线到．
为图中所示的
设计意图：与互补互余关系相结合的尺规作图，在基本作图的基础上进一步巩固尺规作图.
【随堂练习】
1．．画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边， 在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°，正确的图形是（ ）
2．判断：
（1）尺规作图是指用刻度尺和圆规作图( ) ×
（2）尺规中的尺是指没有刻度的直尺( ) √
（3）用直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线是尺规作图( ) ×
（4）最基本的尺规作图是作线段和角( ) √
3. 任意画一个三角形，然后用尺规作它的3个内角的和，并且用量角器度量3个内角的和为多少．
已知：如图，已知三角形．
求作：，使．
作法：（1）作；
（2）以OE为一边，在的外部作；
（3）以OF为一边，在的外部作．
就是所求作的角（如图）．
用量角器量得．
设计意图：熟悉尺规作图的要求，熟练掌握尺规作图作简单图形.
六、课堂小结
1．用尺规作一个角等于已知角．
2．用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍．
3．借助于已经学的用尺规作线段和角来设计图案．
七、板书设计
(
2.4
尺规作角
一
、
尺规作角的基本步骤
：
二、练习：
)
(共21张PPT)
第二章相交线与平行线
2.4 尺规作图
学习目标
1.会用尺规作一个角等于已知角；
2.会利用测量、比较等方式难新作的角是否等于已知角，可以用尺规作角来画已知直线的平行线.
要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB．
（1）请过C点画出与AB平行的另一边．
（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
A
B
C
问题情境
已知：∠AOB．
求作：作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角
探究新知
作法 示范
（1）作射线O'A'
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（4）以点C'为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D'；
（5）过点D'作射线O'B'．∠A'O'B'就是所求作的角．
作法与示范
探究新知
利用尺规完成本节课开始时提出的问题．
A
B
C
探究新知
如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB．
（1）请过点C画出与AB平行的另一边．
（2）如果只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
作法：
（1）以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，
交AC于点E，交OB于点G；
（2）以点C为圆心，以AE长为
半径画弧，交AC的延长线于点F；
（3）以F为圆心，EG长为半径
画弧，交前面的弧于点H；
（4）连接CH并延长交木板边界于点D，则四边形ABCD即为所作．如图：
A
E
C
F
H
G
B
D
探究新知
例1．下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．画线段MN＝3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
典型例题
D
例2．已知∠AOB，用尺规作图法作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．
分析：先作一个角等于∠AOB，再以这个角的一边为边在其外部作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．
A
B
O
典型例题
D
B′
O′
A′
典型例题
解：作法：
∠DO′B′＝∠AOB；
②在∠DO′B′的外部作∠A′O′D＝∠AOB，∠A′O′B′就是所求的角(如图)．
例3．如图，已知
∠AOB、∠A′O′B′,求作∠A′′O′′B′′=∠AOB+∠A′O′B′.
A
O
B
E
F
A′
O′
B′
E′
F′
典型例题
作法：（1）作射O′′A′′.
（2）以O为圆心任意长为半径画弧交OA于E，OB于F；再以O′为圆心同样长为半径画弧交O′A′于E′ ， O′B′于F′.
（3）以O′′为圆心，以OE为半径画弧交O′′A′′于E′′.
（4）以E′′为圆心，以EF为半径画弧，于
前弧交于D点；再以D点为圆心，以E′F′为半径
画弧，交E′′ 、D所同在的弧为F′′点.
（5）作射线O′′F′′ ，则∠ A′′O′′B′′就是所求的角．
B''
F''
D
E''
A''
O''
例4.试画出∠α余角
解：如图，作∠α其中一边的反向延长线，设∠α的顶点为O．
①以O为圆心，任意长为半径画弧交直线AB为A，B两点；
②分别以A，B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧在∠α的同侧相交于E点；
③连接OE．∠β既为所求．
O
B
A
E
α
β
典型例题
例5.已知，如图，锐角∠AOB，求做：∠β，使得
∠β =180°-2∠AOB
分析：首先作出2∠AOB，再求∠AOB的补角即是所求的角．
O
A
B
典型例题
作法：1．作∠A′O′B′= ∠AOB，
2．以O′B′为始边作∠B′O′C′= ∠AOB，
3．反向延长射线O′A′到D′．
∠β为图中所示的∠′O′D′
O′
A′
D′
C′
B′
O
A
B
典型例题
随堂练习
1．画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边， 在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°，正确的图形是（ ）
随堂练习
2．判断：
（1）尺规作图是指用刻度尺和圆规作图( )
（2）尺规中的尺是指没有刻度的直尺( )
（3）用直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线是尺规作图( )
（4）最基本的尺规作图是作线段和角( )
错
对
错
对
随堂练习
3. 任意画一个三角形，然后用尺规作它的3个内角的和，并且用量角器度量3个内角的和为多少．
已知：如图，已知三角形 ．
求作： ，使 ．
随堂练习
作法：（1）作 ；
（2）以OE为一边，在 的外部作 ；
（3）以OF为一边，在 的外部作 ．
就是所求作的角（如图）．
1．用尺规作一个角等于已知角．
2．用尺规作一个角等于已知角的和、差、倍．
3．借助于已学的用尺规作线段和角来设计图案．
课堂小结
再见
