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第十八章 平行四边形
第1课时 平行四边形的性质（1）
18.1 平行四边形
学习目标
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3．初步体会几何研究的一般思路与方法．
情境导入
我们一起来观察下面的几个图形，想一想它们是什么几何图形的形象？
探究新知
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
几何语言：
因为四边形ABCD是平行四边形
所以四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD，
AD∥BC
所以
AB∥CD，
AD∥BC
因为
A
D
B
C
探究新知
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
表示：如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC，那么四边形ABCD是平行四边形．
读作：平行四边形ABCD
A
D
B
C
记作： ABCD
探究新知
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．
A
B
C
D
平行四边形相对的边称为对边, 相对的角称为对角．
对边：AB与CD; BC与DA．
对角: ∠ABC与∠CDA; ∠BAD与∠DCB．
平行四边形的有关概念
探究新知
合作探究
平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，它的边之间还有什么关系？它的角之间还有什么关系？我们一起来探究一下．
提出猜想：
平行四边形的对边相等、对角相等．
验证猜想：已知： ABCD
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C．
A
D
B
C
合作探究
合作探究
即∠BAD=∠DCB．
因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD，AD∥BC．
所以∠1=∠2，∠3=∠4．
∠1=∠2,
AC=CA，
∠3=∠4,
所以 △ABC≌△CDA（ASA）,
所以AB=CD，BC=DA，∠B=∠D
又∠1=∠2，∠4=∠3,
所以∠1＋∠4=∠2＋∠3,
在△ABC和△CDA中,
证明:连接AC．
A
D
B
C
1
2
4
3
几何语言：
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD，AD=BC．
性质定理1：平行四边形的对边相等．
性质定理2：平行四边形的对角相等．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A＝∠C，∠B＝∠D．
几何语言：
A
D
B
C
平行四边形的性质定理
合作探究
A
B
C
D
E
F
例1 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF ⊥CD，垂足分别为E、F．求证： AE=CF．
证明：
因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A=∠C，AD=CB．
又∠AED=∠CFB=90°，
所以 △ ADE≌ △ CBF．
所以 AE=CF．
应用新知
例2 求证:（1）夹在两平行直线间的平行线段相等．
（2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等．
（1）已知：如图，直线EF∥MN，A，D是直线EF上的任意两点，过点 A，D 作AB∥CD， 分别交MN于点B， C．
求证：AB=CD．
E
F
M
N
应用新知
证明：因为 AD∥BC，AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD．
E
F
M
N
应用新知
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线 EF上的任意两点，AB⊥MN，垂足是B，DC⊥MN，垂足是C． 求证：AB=CD．
（2）求证：如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等．
E
F
M
N
证明：因为 AB⊥MN，DC⊥MN，
所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD．
所以AB∥CD．
因为EF∥MN，所以AD∥BC．
应用新知
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
B
A
a
b
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的长就是a、b之间的距离．
两条平行线之间的距离
应用新知
1．如图，在
若∠A=130°，则∠B=______ 、∠C=______ 、∠D=______．
ABCD中，
A：基础知识：
B：变式训练：
（1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ 、∠B=______；
（2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=______ 、∠D=______．
50°
130°
50°
100°
80°
100°
80°
A
D
B
C
随堂检测
C:拓展延伸：
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4 B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2 D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=____， ∠BAC=____．
B
60°
80°
A
D
B
C
如图，在
ABCD中，
随堂检测
随堂检测
2．如图，△ABC是等腰三角形，P是底边BC上一动点，且PE//AB，PF//AC．求证：PE+PF=AB．
证明：因为PE//AB，PF//AC，
所以四边形AEPF为平行四边形，∠C=∠FPB．
所以PE=AF．
因为△ABC是等腰三角形，
所以∠B=∠C．所以∠B=∠FPB．
所以PF=BF．所以PE+PF=AF+BF=AB．
本节课主要学习了哪些知识?
1.本节课研究了什么图形的性质？
2.什么是平行四边形？
3.平行四边形有哪些性质？
性质定理1：平行四边形的对边相等．
性质定理2：平行四边形的对角相等．
4.什么是两条平行线之间的距离？
课堂小结
再 见
第十八章 平行四边形
18.1平行四边形
第1课时 平行四边形的性质（1）
一、教学目标
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3.初步体会几何研究的一般思路与方法．
二、教学重点及难点
重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质.
难点：平行四边形性质的探索、应用.
三、教学用具
能够活动的矩形框架、能够拼成平行四边形三角形、多媒体课件
四、相关资料
《平行四边形-建筑物》图片
五、教学过程
【情景引入】
我们一起来观察下面的几个图形，想一想它们是什么几何图形的形象？
【探究新知】
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？
《平行四边形-建筑物》
你能总结出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
AB//DC,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）
平行四边形的有关概念：平行四边形相对的边称为对边, 相对的角称为对角.
对边：AB与CD; BC与DA.
对角: ∠ABC与∠CDA; ∠BAD与∠DCB.
设计意图：通过播放图片及动画举出现实生活中的实例，学生对平行四边形有直观的认识，然后给出平行四边形的定义和基本特点，培养学生细心观察生活的习惯和探究精神。
【合作探究】
平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，它的边之间还有什么关系？它的角之间还有什么关系？我们一起来探究一下．
1.提出猜想：
平行四边形的对边相等、对角相等．
2.验证猜想：
已知：如图，ABCD.
求证：AB=CD，CB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD．
【分析】作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．又AC=CA，
∴△ABC≌△CDA （ASA）．
∴ AB=CD，CB=AD，∠B=∠D．又∠1＋∠4=∠2＋∠3，
∴∠BAD=∠BCD．
3.得到结论
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AD=BC.
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A＝∠C，∠B＝∠D.
设计意图：设置猜想学生通过自主探究、合作交流、互联网查找等多种方法验证猜想，最终得出结论。在这一过程中锻炼学生的探究精神和解决问题的能力。
【新知应用】
例1 （教材第42页例1）如图，在ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD,垂足分别为E，F.求证：AE=CF.
证明：
因为 四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A=∠C，AD=CB.
又∠AED=∠CFB=90°，
所以 △ ADE≌ △ CBF.
所以 AE=CF.
求证:（1）夹在两平行直线间的平行线段相等.
（2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等.
（1）已知：如图，直线EF∥MN，A，D是直线EF上的任意两点，过点 A，D 作AB∥CD， 分别交MN于点B， C.
求证：AB=CD.
证明：因为 AD∥BC，AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=CD.
（2）已知：如图，EF∥MN，A，D是直线 EF上的任意两点，AB⊥MN，垂足是B，DC⊥MN，垂足是C. 求证：AB=CD.
证明：因为 AB⊥MN，DC⊥MN，
所以AB∥CD
因为EF∥MN，所以AD∥BC.
所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD.
[引出概念]两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
如图，a//b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离.
设计意图：通过例题的形式讲解一个新的知识点，让学生在探究题目的同时学习并掌握一个新的知识，调动学生的积极性，增强学生的参与感。
【随堂检测】
1．如图，在ABCD中，
A：基础知识：
若∠A=130°，则∠B=______ 、∠C=______ 、∠D=______.
B：变式训练：
（1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ 、∠B=______；
（2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=______ 、∠D=______.
C:拓展延伸：
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( )
A. 1 ： 2 ： 3 ： 4 B.3 ： 2 ： 3 ： 2
C.2 ： 3 ： 3 ： 2 D.2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=____， ∠BAC=____.
2.如图，△ABC是等腰三角形，P是底边BC上一动点，且PE//AB，PF//AC.求证：PE+PF=AB.
证明：因为PE//AB，PF//AC，
所以四边形AEPF为平行四边形，∠C=∠FPB.
所以PE=AF.
因为△ABC是等腰三角形，
所以∠B=∠C.
所以∠B=∠FPB.
所以PF=BF.
所以PE+PF=AF+BF=AB.
设计意图：针对本节课学习的内容进行练习，让学生掌握平行四边形的定义及性质，能够独立完成相关的题目。
【课堂小结】
本节课主要学习了哪些知识?
1、本节课研究了什么图形的性质？
2、什么是平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
3、平行四边形有哪些性质？
性质定理1：平行四边形的对边相等.
性质定理2：平行四边形的对角相等.
4、什么是两条平行线之间的距离？
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识。
【板书设计】
第1课时 平行四边形的性质（1）
1.平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．
平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．
2.两条平行线之间的距离.
