第十八章 平行四边形
18.1平行四边形
第3课时 平行四边形的判定
一、教学目标
1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
二、教学重点及难点
重点：平行四边形的判定方法及应用．
难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资料
《平行四边形的判定》图片
五、教学过程
【回顾复习】
平行四边形的性质有哪些？
边：____________________；
角：____________________；
对角线：___________________；
设计意图：复习之前所学的平行四边形的性质，学生回答，为新课程的开展奠定基础。
【合作探究】
1.提出问题
平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
2.给出猜想
（1）若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠ABC=∠CDA，∠DAB=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；
（3）若OA=OC,OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形；
3.证明猜想
如图，已知四边形ABCD中，AC，BD相交于点O.
求证：（1）若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠ABC=∠CDA，∠DAB=∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形；
（3）若OA=OC,OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形；
【分析】（1）先证△ABC≌ △CDA，再证AD∥BC，AB∥DC，得平行四边形ABCD.
证明：（1）因为AB=CD，AD=BC，AC为△ABC与△CDA的公共边，
所以△ABC≌△CDA.（SSS）
所以∠ACB=∠CAD.（全等三角形的对应角相等）
所以AD//BC.（内错角相等，两直线平行）
又因为因为AB=CD，AD=BC，BD为△ABD与△CDB的公共边，
所以△ABD≌△CDB.（SSS）
所以∠ABD=∠CDB.（全等三角形的对应角相等）
所以AB//CD.（内错角相等，两直线平行）
所以四边形ABCD是平行四边形；
（2）（根据（1）的证明，要求学生口头证明）
（3）因为OA=OC,OB=OD，∠AOB=∠COD,
所以△AOB≌△COD.（SAS）
所以所以∠ABO=∠CDO.（全等三角形的对应角相等）
所以AB//CD.（内错角相等，两直线平行）
同理，AD//BC.
所以四边形ABCD是平行四边形.
4.得出结论
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
设计意图：设置问题学生提出猜想，进行小组讨论，自主探究等多种方法进行新课的学习，学生逐步掌握平行四边形的判定方法。
【新知巩固】
例 （教材第46页例3）如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ OC， OB＝ OD.
∵E、F分别为OA、OC中点，
∴OE＝ OA，OF＝OC.而OA＝OC，∴OE＝OF.
又OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形.
设计意图：通过例题的形式学习有关平行四边形判定的解题方法，加强学生对本节课学习的知识点的掌握。
【随堂检测】
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O.
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=_____cm，DO=______cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2.如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，E，F，G，H分别是线段AO，BO，CO，DO上的点，且AE=CG，BF=DH.求证：四边形EFGH为平行四边形.
3.如图，O是ABCD的对角线AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F. 求证：四边形AECF为平行四边形.
答案：
1.（1）8,4；（2）8,5
2. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD；AO=BO=CO=DO，
∵AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵OE+OG=FO+OH即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形．
3.证明：
由平行四边形ABCD可知AB//CD、OA=OC,
∴ ∠CAB=∠ACD,
又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等)
∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形.
设计意图：对本节课的知识点进行练习，使学生逐步掌握平行四边形的判定方法。
【课堂小结】
平行四边形的判定定理：
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
设计意图：对本节课所学的平行四边形的判定定理进行集中记忆。
【板书设计】
第3课时 平行四边形的判定
平行四边形的判定定理：
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(共19张PPT)
第十八章 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定
18.1 平行四边形
学习目标
1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．
3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（具有性质与判定的双重作用）
平行四边形的定义与性质
从“边” 看 — 两组对边分别平行．
两组对边分别相等．
性质：
从“角” 看 — 两组对角分别相等．
四组邻角都互补．
从“对角线” 看 — 对角线互相平分．
定义：
复习回顾
A
D
B
C
两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？
对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？
合作探究
1．提出问题：平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
（2）若∠A= ∠C ， ∠B= ∠D，
则四边形ABCD是平行四边形．
（3）若OA=OC，OB=OD，
则四边形ABCD是平行四边形．
O
A
D
B
C
（1）若AB=CD ， AD=BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
2．给出猜想：
合作探究
已知：如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：先证△ABC≌ △CDA，再证AD∥BC，AB∥DC，得平行四边形ABCD．
3．证明猜想:
（1）若AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形．
O
A
D
B
C
合作探究
合作探究
证明：
∵AB=CD，AD=BC，AC为△ABC与△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA．（SSS）
∴∠ACB=∠CAD． ∴AD//BC．
又∵AB=CD，AD=BC，BD为△ABD与△CDB的公共边，
∴△ABD≌△CDB．（SSS）
∴∠ABD=∠CDB． ∴AB//CD．
∴四边形ABCD是平行四边形；
分析：利用“四边形的内角和为360°” ，得∠A与∠B， ∠C与∠D互补，再利用平行四边形定义进行证明．
已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠C， ∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
合作探究
（2）若∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是平行四边形．
O
A
D
B
C
证明：
∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360?，
∴∠A+∠B=180?，∠B+∠C=180?．
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
合作探究
分析：利用三角形全等与平行四边形定义进行证明．
已知：如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（3）若OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是平行四边形．
O
A
D
B
C
合作探究
证明：
∵OA=OC,OB=OD，∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD．（SAS）
∴∠ABO=∠CDO．（全等三角形的对应角相等）
∴AB//CD．（内错角相等，两直线平行）
同理，AD//BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
合作探究
图形 定理内容 几何语言
平行四边形的判定定理
∵AB=DC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
A
D
B
C
O
定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
合作探究
得出结论：
例 如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
C
A
D
B
E
F
O
新知巩固
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ OC， OB＝ OD．
∵E、F分别为OA、OC中点，
∴OE＝ OA，OF＝OC．而OA＝OC，∴OE＝OF．
又OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O．
A
D
B
C
O
随堂检测
（1）若AD=8cm，AB=4cm，
那么当BC=_____cm，CD=_____cm时，
四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=8cm，BD=10cm，
那么当AO=_____cm，DO=______cm时，
四边形ABCD为平行四边形．
8
4
8
5
2．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，E，F，G，H分别是线段AO，BO，CO，DO上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH为平行四边形．
C
A
D
B
E
G
H
F
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD；AO=BO=CO=DO，
∵AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵OE+OG=FO+OH即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形．
随堂检测
证明：
由平行四边形ABCD可知AB//CD、OA=OC,
∴ ∠CAB=∠ACD,
又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等)
∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形．
3．如图，O是 ABCD的对角线AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F． 求证：四边形AECF为平行四边形．
随堂检测
课堂小结
平行四边形的判定定理：
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
再 见
