第十八章 平行四边形
18.1平行四边形
第4课时 三角形的中位线
一、教学目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
二、教学重点及难点
重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
三、教学用具
平行四边形的教具，矩形及平行四边形卡片，直尺、三角板等。
四、相关资源
《三角形的中位线》图片.
五、教学过程
【情境导入】
铁匠师傅要把一块周长为30cm的等边三角形铁皮，裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮， 你能帮助他想出办法吗？ 说说你的想法.你能知道每块小三角形铁皮的周长是多少吗？
观察图形，
已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，EF，DF.像DE，EF，DF这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
问题1：一个三角形有几条中位线？
（学生集体回答）
问题2：三角形的中位线与中线一样吗？
（分小组讨论后，请小组代表回答）
问题3：三角形的中位线有什么性质？
设计意图：通过实际操作和插入图片等方式，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，让学生更好的融入的课堂中。
【合作探究】
1.动手操作
如图，DE是△ABC的中位线，用刻度尺与量角器量一量，发现DE与BC有怎样的位置关系与数量关系？
2.提出猜想
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
3.证明猜想
已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE//BC，DE=BC.
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC,DC,AF.
证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接FC,DC,AF.
∵AE＝CE，ED＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，CFDA .
∴CFBD.
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴DFBC.
∴DE∥BC，且DE＝ BC.
4.得到结论
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
∵DE是△ABC的中位线
（D、E分别是AB、AC的中点），
∴DE∥BC，DE= BC.
5.结论应用
例 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形的中位线定理找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形后，此题便可得证．
证明：连接AC.在△ABC中，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC.
同理，GH∥AC，GH= AC.
∴EF∥GH，且EF=GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
由此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．
设计意图：设置问题提出猜想，学生通过小组讨论，自主探究等方法进行学习，再经过老师的逐步引导得出结论。
随堂检测
1. 已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，12cm，连接各边中点所成三角形的周长为_________.
2. 如果等边三角形的边长为3cm，那么连接各边中点所成的三角形的周长_______.
3.已知，如图，D、F、E是△ABC的中点.
（1）若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为 ____ .
（2）若△ABC的面积为20， 则△DEF的面积为_____ .
（3）若△ABC的周长为a，面积为S，则△DEF的周为 _____，面积为 _____ .
4. 如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AC=12，BC=16.
求：四边形DECF的周长.
答案：
1.13
2.4.5cm
3.（1）6（2）5（3）a, S
4.解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是中位线，即DE=AC，且DE∥AC.
同理，DF=BC，且DF∥BC.
∴四边形的周长=DE+EC+CF+FD=AC+BC=12+16=28.
设计意图：运用本节课学习的知识，结合之前所学的知识解决问题。对于三角形中位线相关问题进行练习。
【课堂小结】
1、三角形中位线是三角形中重要的线段，要与三角形的中线区分开来.
2、三角形中位线定理有两个结论：
（1）表示位置关系------平行于第三边；
（2）表示数量关系------等于第三边的一半.
应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个.
设计意图：通过小结，回顾本节课知识，加深印象.
【板书设计】
第4课时 三角形的中位线
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则DE//BC，DE=BC.
(共16张PPT)
第18章 平行四边形
第4课时 三角形的中位线
18．1 平行四边形
学习目标
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
铁匠师傅要把一块周长为30cm的等边三角形铁皮，裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮， 你能帮助他想出办法吗？ 说说你的想法．你能知道每块小三角形铁皮的周长是多少吗？
A
B
C
E
F
G
情境导入
F
A
B
C
像DE，EF，DF这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
E
D
情境导入
已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，EF，DF．
区分三角形的中位线与中线：
中位线是连接三角形两边中点的线段；
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段．
一个三角形共有三条中位线．
情境导入
问题1：一个三角形有几条中位线？
问题2：三角形的中位线与中线一样吗？
不一样．
问题3：三角形的中位线有什么性质？
合作探究
动手操作
如图，DE是△ABC的中位线，用刻度尺与量角器量一量，发现DE与BC有怎样的位置关系与数量关系？
B
A
D
C
E
提出猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
B
A
D
E
F
证明猜想：已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE＝ BC．
C
合作探究
证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接FC,DC,AF．
∵AE＝CE，ED＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，CF DA ．
∴CF BD．
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DF BC．
∴DE∥BC，且DE＝ BC．
“ ”表示平行且相等．
得到结论：三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
用符号语言表示：
E
A
B
C
D
∵DE是△ABC的中位线
（D、E分别是AB、AC的中点），
∴DE∥BC，DE= BC．
合作探究
如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
合作探究
分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形的中位线定理找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形后，此题便可得证．
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形．
如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC．在△ABC中，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC．
同理，GH∥AC，GH= AC．
∴EF∥GH，且EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
合作探究
2． 如果等边三角形的边长为3cm，那么连接各边中点所成的三角形的周长_______．
1． 已知三角形的各边长分别为6cm，8cm，12cm，
连接各边中点所成三角形的周长为_________．
13cm
4．5cm
随堂检测
（3）若△ABC的周长为a，面积为S，则△DEF的周为 _____，面积为 _____ ．
（2）若△ABC的面积为20， 则△DEF的面积为_____ ．
（1）若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为 ____ ．
6
5
F
A
B
C
E
D
a
S
3．已知，如图，D、F、E是△ABC的中点．
随堂检测
A
B
C
D
E
F
4． 如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AC=12，BC=16．
求：四边形DECF的周长．
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是中位线，
即DE=AC，且DE∥AC．
同理，DF=BC，且DF∥BC．
∴四边形的周长=DE+EC+CF+FD=AC+BC=12+16=28．
随堂检测
2、三角形中位线定理有两个结论：
（1）表示位置关系------平行于第三边；
（2）表示数量关系------等于第三边的一半．
应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个．
1、三角形中位线是三角形中重要的线段，要与三角形的中线区分开来．
课堂小结
再 见
