第十八章 平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第1课时 矩形的性质
一、教学目标
1. 理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
2. 经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3.能够用综合法证明矩形的性质定理以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力.
4.探索并掌握直角三角形的性质定理.
二、教学重点及难点
重点：掌握矩形的性质，并学会应用.
难点：理解矩形的特殊性.把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形.
三、教学用具
平行四边形的教具，矩形及平行四边形卡片，直尺、三角板等.
四、相关资源
《矩形-地砖》、《矩形-相框》图片等资源
五、教学过程
【复习回顾】设置问题，复习前面所学的平行四边形的知识.
1.什么叫平行四边形？
2.平行四边形有哪些性质？
①边:
②角:
③对角线:
学生回答：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .
对边平行且相等.
对角相等且邻角互补.
互相平分.
设计意图：可以在课前播放有关矩形性质的视频，让学生对矩形有初步的了解，并结合课本相关内容进行预习，课上复习有关平行四边形的性质.培养学生良好的学习习惯，调动学生课堂的参与性.
【新知讲解】
（一）矩形的概念
1.什么叫矩形？
2.矩形有哪些性质？
学生分析并回答，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
设计意图：本动画资源拖动改变平行四边形的形状，观察当有一个角是直角时，平行四边形对应的变化情况，加深学生对矩形的认识，体现矩形是一种特殊的平行四边形.
（二）矩形的性质
活动一：通过观察视频，发现矩形在平行四边形性质的基础上还具有哪些特有性质？
学生分析并回答，矩形的四个角都是直角.
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.对称轴分别是经过两组对边中点的两条直线.
例1、已知：如图，四边形ABCD是矩形，且∠A=90°.
求证：∠A= ∠B= ∠C=∠D=90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C=∠A=90°，∠D=∠B，AD∥BC.
∴ ∠A+ ∠B=180°，
∴ ∠D=∠B=180°-∠A=180°- 90°=90°，
即矩形的四个角都是直角.
结论：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．
符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
活动二：观察图形的变化.你发现了什么？
学生分析并回答，矩形的对角线相等.
例2、已知：四边形ABCD是矩形.求证：AC = BD.
证明：在矩形ABCD中，∵∠ABC = ∠DCB = 90°，AB = DC ， BC = CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC = BD，
即矩形的对角线相等.
结论：矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.
符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD.
例3、已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证: BO =AC.
证明：延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∴BO=BD= AC.
结论：直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
符号语言：Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，OA=OC，∴BO=AC.
设计意图：这些例题针对矩形的不同性质进行详细的讲解，通过激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性.
【随堂练习】
1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠BOC＝120°，AB＝6cm. 求AC的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO.
∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，
∴△ABO为等边三角形.
∴AO=AB=6cm，∴AC=2AB=12cm.
2.已知: 如图, 过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于E . 求证：∠CAE=∠CEA.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，CD∥AB.
∵CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形.
∴CE=BD，∴AC=CE.
∴ ∠CAE=∠CEA.
3.在 ABCD中，点E在边CD的延长线上，且AE//BD，EF⊥BC，交BC的延长线于点F.
求证：DF= CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD ， AB∥CD.
又 ∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB，∴CD=DE.
又∵EF⊥BC于F，
∴在Rt△CEF中得，?DF=CE.
设计意图：针对本节课所讲的知识点设置题目，学生通过自主探究，小组讨论等多种方式解答题目，老师根据学生的反馈进行针对性的讲解.
【课堂小结】
矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：
矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.
直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
设计意图：归纳总结本节课的主要知识点，有利于学生的理解和掌握.
【板书设计】
第1课时 矩形的性质
矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：
矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.
直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
六、拓展素材
(共21张PPT)
第十八章 平行四边形
18．2 特殊平行四边形
第1课时 矩形的性质
学习目标
1． 理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
2． 经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．
3．能够用综合法证明矩形的性质定理以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．
4．探索并掌握直角三角形的性质定理．
1．什么叫平行四边形？
2．平行四边形有哪些性质？
①边:
②角:
③对角线:
A
B
C
D
对边平行且相等．
对角相等且邻角互补．
互相平分．
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．
复习回顾
活动一：
通过观察，发现矩形在平行四边形性质的基础上还具有哪些特有性质？
矩形的四个角都是直角．
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．对称轴分别是经过两组对边中点的两条直线．
新知讲解
A
D
C
B
求证：矩形的四个角都是直角．
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是矩形，且∠A=90°．
求证：∠A= ∠B= ∠C=∠D=90°．
新知讲解
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C=∠A=90°，∠D=∠B，AD∥BC．
∴ ∠A+ ∠B=180°，
∴ ∠D=∠B=180°-∠A
=180°- 90°=90°，
即矩形的四个角都是直角．
A
B
C
D
新知讲解
结论：
矩形的性质定理 矩形的四个角都是直角．
A
B
C
D
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
新知讲解
活动二：
观察图形的变化． 你发现了什么？
矩形的对角线相等．
新知讲解
求证：矩形的对角线相等．
已知：四边形ABCD是矩形．求证：AC = BD．
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC = ∠DCB = 90°，
AB = DC ， BC = CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC = BD，
即矩形的对角线相等．
新知讲解
结论：
矩形的性质定理 矩形的对角线相等．
A
B
C
D
符号语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD．
新知讲解
O
C
B
A
D
证明：延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC．
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线．
求证: BO = AC．
∴BO= BD= AC．
新知讲解
直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
C
B
A
O
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，OA=OC，
∴BO= AC．
新知讲解
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠BOC＝120°，AB＝6cm．
求AC的长．
A
B
C
D
O
随堂练习
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO．
∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，
∴△ABO为等边三角形．
∴AO=AB=6cm，
∴AC=2AB=12cm．
A
B
C
D
O
随堂练习
2．已知: 如图, 过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于E ． 求证：∠CAE=∠CEA．
O
A
B
C
D
E
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，CD∥AB．
∵CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴CE=BD，∴AC=CE．
∴ ∠CAE=∠CEA．
随堂练习
3．在 ABCD中，点E在边CD的延长线上，且AE//BD，EF⊥BC，交BC的延长线于点F．
求证：DF= CE．
A
B
C
D
E
F
随堂练习
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD ， AB∥CD．
又 ∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB，∴CD=DE．
又∵EF⊥BC于F，
∴在Rt△CEF中得，?DF=CE．
A
B
C
D
E
F
随堂练习
矩形的概念：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的性质：
矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．
矩形的性质定理2：矩形的对角线相等．
课堂小结
直角三角形的性质定理2：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
拓展素材
拓展素材
再见
