第十八章 平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第2课时 矩形的判定
一、教学目标
1.理解并掌握矩形的判定方法．
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析问题的能力.
二、教学重点及难点
重点：掌握矩形的判定定理．
难点：矩形的判定定理及性质定理的综合应用．
三、教学用具
多媒体课件，4根小木板、橡皮筋等
四、相关资料
《矩形-农田》图片、《矩形-地砖》图片、《矩形-相框》图片、 《矩形的性质与判定》图片
五、教学过程
【复习巩固】
1．
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形..
2．矩形有哪些性质？
边：矩形的对边平行且相等.
角：矩形的四个角都是直角.
对角线：矩形的两条对角线相等且互相平分.
设计意图：通过平行四边形和矩形的对比发现两者之间的相通性和差异性，从而得出矩形的性质.
【新课导入】
观察下面图片你发现这些都是什么形状？
《矩形-农田》
《矩形-地砖》
《矩形-相框》
【探究新知】
情景一：问题：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
学生讨论并尝试回答.
引导学生根据矩形的定义，来判定一个平行四边形是矩形.
矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形.
平行四边形ABCD，其中∠A=90°，∴平行四边形ABCD为矩形.
你还有其他的判定方法吗？
设计意图：通过图片联系生活中有关矩形的实例，然后通过视频的讲解初步了解矩形的判定方法，调动学生学习的积极性和主动性，引导学生得出“矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形”.
情景二：课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形的活动框架.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
根据上面的实践活动提出以下两个问题：
随着的变化，两条对角线将发生怎样的变化?
当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
对比平行四边形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
请学生交流大体思路；
用规范的数学语言写出证明过程；
同学之间进行交流，找出自己还存在的问题.
验证猜想
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：平行四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.
∵AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.
得出结论：对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
（或OA=OC=OB=OD），
∴四边形ABCD是矩形.
设计意图：通过实际操作引起学生学习的兴趣，调动学生主动探究精神，设置猜想，与同学相互讨论得出结论.
情境三：李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗？为什么？
学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明.
猜想2 三个角是直角的四边形是矩形.
学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；
对比平行四边形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；
请学生交流大体思路；
用规范的数学语言写出证明过程；
同学之间进行交流，找出自己还存在的问题.
验证猜想
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180° ，
∴AD∥BC.同理，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
得出结论 有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
设计意图：学生通过实际操作切身体验，主动探究得出结论.培养学生的自主探究精神和合作意识.
【随堂练习】
1. 已知：如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求∠ACB的度数.
解：∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°.
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵OA=OD，∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°.
∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°
3. 如图，平行四边形ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由.
四边形EFGH是矩形.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ，
∴∠EAB+∠EBA=90 °.∴∠AEB=90°，即∠HEF=90°.
同理，∠EFG=90°，∠FGH=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
设计意图：结合本节课所学的知识点进行针对性的练习，让学生通过自主探究，小组讨论等多种方法进行练习，培养学生的探究精神和合作意识.
【课堂小结】
矩形的判定方法：
1.有一个角是直角的平行四边形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
插入图片，《矩形的性质与判定》总结矩形的性质和判定，加深对定理的理解.
设计意图：归纳总结本节课所学的主要知识点，让学生能够进行集中记忆，熟练掌握矩形的判定方法.
【板书设计】
第2课时 矩形的判定
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；
矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
(共18张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第2课时 矩形的判定
学习目标
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2 ．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析问题的能力.
复习回顾
一个角是直角
矩形
平行四边形
对角线
边
角
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形．
矩形的性质
矩形的对边平行且相等．
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等且互相平分．
探究新知
观察下面图片你发现这些都是什么形状？
你还有其他的判定方法吗？
平行四边形ABCD，
∠A=90°
四边形ABCD是矩形
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
探究新知
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形．
情境一
制作一个如图所示的平行四边形的活动框架．在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
探究新知
情境二
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形．
问题（1）:
随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
问题（2）:
当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
探究新知
你能证明这个猜想吗？
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD．
求证：平行四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．
∵AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°．
∴∠ABC=90°．∴平行四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
结论：对角线相等的平行四边形是矩形．
探究新知
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD
（或OA=OC=OB=OD），
∴四边形ABCD是矩形．
几何语言：
A
B
C
D
O
探究新知
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形．
探究新知
情境三
你能证明这个猜想吗？
D
A
B
C
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC．同理，AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
结论 有三个角是直角的四边形是矩形．
探究新知
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形．
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
几何语言：
探究新知
1．已知：如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求∠ACB的度数．
解：∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°．
A
B
C
D
O
随堂练习
2．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵OA=OD，∴AC=BD．
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠DAB=90°．
∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°
随堂练习
3．如图，平行四边形ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．
A
B
D
C
H
E
F
G
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ， ∴∠EAB+∠EBA=90 °．
∴∠AEB=90°，即∠HEF=90°．
同理，∠EFG=90°，∠FGH=90°．
∴四边形EFGH是矩形．
理由：
猜想：四边形EFGH是矩形
随堂练习
课堂小结
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
3．有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定方法:
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课堂小结
插入图片，《矩形的性质与判定》总结矩形的性质和判定，加深对定理的理解．
再 见
