南康区2019－2020学年第二学期开学检测试卷
高二数学（理）参考答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
B
D
D
D
B
C
C
D
D
二．填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题：（请写明详细解答过程，共70分。）
17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，若
（1）求角.
（2）若，，求的面积.
解：（1）由正弦定理得：
又∵ ∴
即
又∵ ∴，又A是内角 ∴
（2）由余弦定理得：
∴ 得： ∴
∴
18．（12分）已知等差数列的前n项和为，，和的等差中项为9.
（1）求及；（2）令，求数列的前n项和.
解：（1）因为为等差数列，所以可设其首项为，公差为，
因为，，
所以解得，所以
.
（2）由（1）知，
所以，
.
19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值.
解：（1）证明：取中点，连，
∵，为等边三角形，
∴，又，
∴平面，又∵平面，∴.
（2）解：∵，为中点，结合题设条件可得，
∴，∴.
如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
得，，，
设平面的一个法向量，
则即，∴.
设平面的一个法向量，
由即，∴.
∴ .
设二面角的平面角为，则由图可知，∴.
20．（12分）已知函数，，，函数在处与直线相切．
（1）求实数，的值；
（2）判断函数在上的单调性．
解：（1），由题意，解得．
（2）由（1），，
∴当时，，递增，当时，，递减．
∴函数的增区间是，减区间是．
21．（12分）己知直线：与抛物线：相交于?两点
（1）若抛物线的焦点在直线上，求抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程.
解：（1）由题意，抛物线：的焦点在：上，
令，解得，即，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，即，
设，则
联立方程组，整理得，所以，
又由，则，
代入得：，解得，
故所求抛物线方程为.
22．（12分）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与交于，两点，设为坐标原点，若，求四边形面积的最大值.
解：（1）
由题设，，所以 .又，所以.的方程为.
（2）由题设不平行于轴，设：，联立，
得.，.
因为，所以四边形为平行四边形，四边形面积 .
因为，当且仅当时取等号，于是四边形面积的最大值为.
南康区2019-2020学年第二学期线上教学检测试卷（二）
高二数学（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象在点处的切线方程为
A． B． C． D．
4．下列函数求导运算正确的个数为( )
①；②③；④；⑤
A．1 B．2 错误!未找到引用源。 C．3 D．4
5．等差数列中，，则的值为（ ）
A．20 B．－20 C．10 D．－10
6．若函数，又，，且的最小值为，则正数的值是（ ）
A. B. C. D.
7．圆关于直线对称的圆的方程为，则实数的值为( )
A．-2 B．1 C． D．2
8．已知焦点在y轴的椭圆的离心率为，则= （ ）
A．3或 B． C． D．
9．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且一个焦点与抛物线的焦点重合，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，过且倾斜角为的直线交于，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．向量，若、、三点共线，则_________.
14．已知是数列的前项和，若，则的值为_________.
15．若对于曲线上任意点处的切线，总存在上处的切线，使得，则实数的取值范围是__________．
16．已知分别是双曲线C：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心,为半径的圆上，则双曲线C的离心率为________．
三．解答题(本题6小题，共70 分)
17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，若
（1）求角.
（2）若，，求的面积.
18．（12分）已知等差数列的前n项和为，，和的等差中项为9.
（1）求及；
（2）令，求数列的前n项和.
19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值.
20．（12分）已知函数，，，函数在处与直线相切．
（1）求实数，的值；
（2）判断函数在上的单调性．
21．（12分）己知直线：与抛物线：相交于?两点
（1）若抛物线的焦点在直线上，求抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程.
22．（12分）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与交于，两点，设为坐标原点，若，求四边形面积的最大值.
南康区2019－2020学年第二学期开学检测试卷
高二数学（理）参考答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
B
D
D
D
B
C
C
D
D
二．填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题：（请写明详细解答过程，共70分。）
17．（10分）在中，角，，的对边分别为，，，若
（1）求角.
（2）若，，求的面积.
解：（1）由正弦定理得：
又∵ ∴
即
又∵ ∴，又A是内角 ∴
（2）由余弦定理得：
∴ 得： ∴
∴
18．（12分）已知等差数列的前n项和为，，和的等差中项为9.
（1）求及；（2）令，求数列的前n项和.
解：（1）因为为等差数列，所以可设其首项为，公差为，
因为，，
所以解得，所以
.
（2）由（1）知，
所以，
.
19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的正弦值.
解：（1）证明：取中点，连，
∵，为等边三角形，
∴，又，
∴平面，又∵平面，∴.
（2）解：∵，为中点，结合题设条件可得，
∴，∴.
如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
得，，，
设平面的一个法向量，
则即，∴.
设平面的一个法向量，
由即，∴.
∴ .
设二面角的平面角为，则由图可知，∴.
20．（12分）已知函数，，，函数在处与直线相切．
（1）求实数，的值；
（2）判断函数在上的单调性．
解：（1），由题意，解得．
（2）由（1），，
∴当时，，递增，当时，，递减．
∴函数的增区间是，减区间是．
21．（12分）己知直线：与抛物线：相交于?两点
（1）若抛物线的焦点在直线上，求抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程.
解：（1）由题意，抛物线：的焦点在：上，
令，解得，即，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，即，
设，则
联立方程组，整理得，所以，
又由，则，
代入得：，解得，
故所求抛物线方程为.
22．（12分）已知椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与交于，两点，设为坐标原点，若，求四边形面积的最大值.
解：（1）
由题设，，所以 .又，所以.的方程为.
（2）由题设不平行于轴，设：，联立，
得.，.
因为，所以四边形为平行四边形，四边形面积 .
因为，当且仅当时取等号，于是四边形面积的最大值为.
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南康区2019－2020学年第二学期开学检测试卷
高二理科数学（答题卡）
考试时间：120分钟
（本小题满分12分）
准 考 证 号
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姓名
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班级
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18.（本小题满分12分）
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填涂样例
正确填涂
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错误填涂
# $ %
注意事项
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔作解答题：字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题 （每小题5分，共60分）
1
2
3
4
5
6
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9
10
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A
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B
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二、填空题 （每小题5分，共20分）
13. 14._
15. 16._
三、解答题 （6个小题，共70分）
17.（本小题满分10分）
非作答区域，答题无效！
非作答区域，
1
答题无效！
非作答区域，答题无效！
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（本小题满分12分）
21.（本小题满分12分）
22．（本小题满分12分）
非作答区域，答题无效！
非作答区域，
2
答题无效！
非作答区域，答题无效！
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