南康区2019－2020学年第二学期线上教学检测试卷（三）
高二数学（理）参考答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
D
B
B
A
B
A
A
C
C
A
二．填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题：（请写明详细解答过程，共70分。）
17．（10分）
已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列。
(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.
解：（1）由题意，得，，所以由，
得，解得，所以，即。
（2）由（1）知，则，，
.
18．（12分）已知函数的最小正周期是.
（1）求函数在区间的单调递增区间；
（2）求在上的最大值和最小值.
解：（1），
，
最小正周期是，所以，从而，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为和
（2）当时，，
，
所以在上的最大值和最小值分别为1、
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.
（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.
解：（1）证明：∵底面是正方形,∴,
∵侧面底面,侧面底面,
∴由面面垂直的性质定理,得平面.
（2）设,的中点为,的中点为,
则,.由面面垂直的性质定理知平面,
又平面,故.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.∵侧面为正三角形,∴,
则,,,,∵为的中点,∴,
∴,,设平面的法向量,
则,即,即,所以可取,
平面的法向量可取,
于是,
由同角三角函数关系式可求得
所以,二面角的正弦值为.
20．（12分）设函数的图象与直线相切于点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值；
解：（1），，
根据题意，，解得，.
故.
（2），取，解得，.
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
，，，.
故函数的最大值为，最小值为.
21．（12分）己知直线：与抛物线：相交于?两点
（1）若抛物线的焦点在直线上，求抛物线的方程；
（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程.
解：（1）由题意得椭圆的焦点在轴上，设方程为，
其左右焦点为，，所以，
又因为椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形，所以
又因为，所以.所以椭圆的方程为.
（2）①双曲线右顶点为.当直线的斜率存在时，设的方程为
由得设直线与椭圆交点，，则，，则，，
所以
当，即时为定值.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
由得，不妨设，，由可得.
，，所以
综上所述当时为定值.
22.（12分）已知.
（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.
解：（1） ，
当时，，.∴在上单调递增；
当时，由，得.
当时，；当时，.
所以在单调递减；在单调递增.
（2）令，
问题转化为在上恒成立，
，注意到.
当时，，
，
因为，所以，，
所以存在，使，
当时，，递减，
所以，不满足题意.
当时， ，
当时，，，
所以，在上单调递增；所以，满足题意.
综上所述：.
南康区2019－2020学年第二学期线上教学检测试卷（三）
高二数学（理）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．已知集合，，集合，则集合（ ）A． B． C． D．
2．命题“ ， ”的否定为( )
A． B．
C． ， D． ，
3．下列说法中错误的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件．
B．当时，幂函数在区间上单调递减．
C．设命题对任意；命题存在，则为真命题．
D．命题“若都是偶数，则是偶数”的否命题是“若都不是偶数，则不是偶数”
4．在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，若，则( )
A． B． C． D．
5．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
8．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱锥P-ABC中，，且，则该三棱锥的外接球的体积等于( )
A． B． C． D．
10．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆的焦点为，，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知△ABC中，的对边分别为且，，的面积为2，则______．
14．曲线在点处的切线与圆相切，则______．
15．过点的直线与圆相交于，两点，当时，直线的方程为__________．
16．设是椭圆的一个焦点，点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围是_____________。
三．解答题(本题6小题，共70 分)
17．（10分）
已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列。
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18．（12分）已知函数的最小正周期是.
（1）求函数在区间的单调递增区间；
（2）求在上的最大值和最小值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
20．（12分）设函数的图象与直线相切于点.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值；
21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其焦点与双曲线的焦点重合，且椭圆的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过双曲线的右顶点作直线与椭圆交于不同的两点.设，当为定值时，求的值；
22.（12分）已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围.
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南康区2019－2020学年第二学期线上检测试卷
高二理科数学（答题卡）
考试时间：120分钟
（本小题满分12分）
准 考 证 号
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姓名
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班级
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18.（本小题满分12分）
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填涂样例
正确填涂
!
错误填涂
# $ %
注意事项
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔作解答题：字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题 （每小题5分，共60分）
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二、填空题 （每小题5分，共20分）
13. 14._
15. 16._
三、解答题 （6个小题，共70分）
17.（本小题满分10分）
非作答区域，答题无效！
非作答区域，
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答题无效！
非作答区域，答题无效！
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（本小题满分12分）
21.（本小题满分12分）
22．（本小题满分12分）
非作答区域，答题无效！
非作答区域，
2
答题无效！
非作答区域，答题无效！
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