第18章 特殊平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第3课时 菱形的性质
一、教学目标
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
二、教学重点及难点
重点：掌握菱形的性质．
难点：掌握菱形的性质及菱形知识的综合应用．
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资源
五、教学过程
【课堂导入】
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，知道有一个角是直角的平行四边形是矩形，在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，让平行四边形的一组邻边相等能否得到一个特殊的平行四边形？请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
设计意图：教师借助已学过的知识，引导学生进入本节的学习．
【新知讲解】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】菱形：（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．
1．菱形的性质．
动手操作
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
如图，ABCD是菱形，分别用刻度尺与量角器测量角度、边长即对角线长度．
边：________________;
角：________________;
对角线：_____________________.
2．提出猜想
（1）菱形具备平行四边形的所有性质；（对边平行、对边相等，对角相等，对角形互相平分）
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
设计意图：通过动手操作，猜想菱形的基本性质。
3．证明猜想
（1）菱形是平行四边形，所以具备平行四边形的所有性质；
（2）学生自己证明；
（3）已知：如图，ABCD是菱形.
求证：AC⊥BD，AC平分∠A与∠C，BD平分∠B与∠D.
证明：∵ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD.（SSS）.
∴AC⊥BD，AC平分∠A与∠C，BD平分∠B与∠D.
由此结论，可以得到菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
设计意图：通过例题证明菱形是平行四边形，所以具备平行四边形的所有性质.
4．得到结论
（1）菱形的性质1：菱形的四条边都相等；
（2）菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
（3）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
5．菱形面积的表示方法.
例：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
引导观察：
在教师的引导下，让学生发现菱形的对角线将菱形切成四个全等的直角三角形，以此可推出菱形的面积S菱形＝AC·BD.即菱形的面积等于两对角线长度积的一半.
【典型例题】
例1 已知：如图四边形ABCD是菱形，求证:
（1）AB＝BC＝CD＝DA；
（2）AC⊥BD， AC平分∠DAB和∠DCB， BD平分∠ADC和∠ABC.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC.
∵DA＝BC，AB＝DC，
∴AB＝BC＝DC＝DA.
（2）在△DAC中，∵AO＝CO
∴BD⊥AC，
BD平分∠ADC（三线合一）
同理， BD平分∠ABC；
AC平分∠DAB和∠DCB.
设计意图：通过练习，巩固菱形的性质.
例2 菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的面积.
解：
设计意图：本题巩固菱形的基本性质，运用性质来求面积.
【随堂练习】
1．已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______.
3．菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
4．菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm，AO＝4cm，求两对角线AC、BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵Rt△AOB中，OB2＋OA2＝AB2，AB＝5cm，AO＝4cm，
∴OB＝3cm.
∴BD＝2OB＝6cm，AC＝2OA＝8cm.
设计意图：通过练习，巩固加深学生对菱形的性质的理解，提高学生的分析能力和观察能力.
【课堂小结】
1．菱形的性质
（1）菱形的性质1：菱形的四条边都相等；
（2）菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
（3）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
2．菱形的面积公式：菱形的面积等于两对角线长度积的一半.S菱形ABCD＝AC·BD.
设计意图：通过小结，巩固学生对本节课知识点体系的认识.
【板书设计】
第3课时 菱形的性质
1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：
（1）菱形的性质1：菱形的四条边都相等；
（2）菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
（3）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
3．菱形的面积公式：菱形的面积等于两对角线长度积的一半.S菱形ABCD＝AC·BD.
(共21张PPT)
第十八章 特殊平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第3课时 菱形的性质
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．掌握菱形的定义及性质，会计算菱形的面积．
3．运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
学习目标
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
菱形
邻边相等
课堂导入
ABCD是菱形，分别用刻度尺与量角器测量角度、边长即对角线长度.
1. 边：________________;
2. 角：________________;
3. 对角线：_____________________.
新知讲解
（1）菱形具备平行四边形的所有性质；（对边平行、对边相等，对角相等，对角形互相平分）
提出猜想：
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
新知讲解
菱形是平行四边形，所以具备平行四边形的所有性质.
证明猜想：
求证：AC⊥BD，AC平分∠A与∠C，BD平分∠B与∠D
新知讲解
证明：∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD.（SSS），
∴AC⊥BD，AC平分∠A与∠C，BD平分∠B与∠D.
新知讲解
得到菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
新知讲解
菱形的四条边相等.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形.
菱形的性质
新知讲解
菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD.求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
你有什么发现？
新知讲解
解：∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△OAB中，
∴花坛的两条小路长：
AC=2AO=20m
BD=2BO=≈34.64m
花坛的面积：
新知讲解
菱形的面积公式
E
A
B
C
D
O
新知讲解
例1：已知:如图四边形ABCD是菱形，
A
B
C
D
O
（1）AB=BC=CD=DA；
求证:
（2）AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC.
典型例题
A
B
C
D
O
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC.
∵DA=BC，AB=DC，
∴AB=BC=DC=DA.
证明：
典型例题
（2）在△DAC中, ∵AO=CO
∴BD⊥AC，BD平分∠ADC（三线合一）
同理， BD平分∠ABC；AC平分∠DAB和∠DCB.
A
B
C
D
O
证明：
典型例题
例2：菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的面积.
解：
A
B
C
D
O
典型例题
随堂练习
3 .菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
2 .如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则∠ABD＝_____.
1 .已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
3cm
60°
C
A
B
C
D
O
4 .菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm，AO=4cm，求两对角线AC、BD的长.
A
B
C
D
O
随堂练习
A
B
C
D
O
随堂练习
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2，AB=5cm，AO=4cm，
∴BD=2OB=6cm，AC=2OA=8cm.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=3cm.
菱形的性质：
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等；
菱形的性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
课堂小结
菱形的概念：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的面积：
菱形的面积等于两对角线长度积的一半.S菱形ABCD＝AC·BD.
再 见
