第18章 特殊平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第4课时 菱形的判定
一、教学目标
1．理解并掌握菱形的两个判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算.
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
二、教学重点及难点
重点：掌握菱形的两个判定方法．
难点：掌握判定方法的证明方法及运用．
三、教学用具
多媒体课件
四、相关资源
《菱形的判定》图片.
五、教学过程
【复习回顾】
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形.
（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
菱形的性质2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
设计意图：通过复习旧知识，引出新知识。
【新知讲解】
1．提出问题
①要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其他的判定方法吗？
自己先猜想一下，并想方法进行验证.
小组成员互相交流，归纳出本组成员的成果.
②你为什么有这样的猜想？
③你能否证明猜想的正确性？
2．分组讨论，给出猜想
①对角线互相垂直的四边形是菱形，
或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
②四条边相等的四边形是菱形.
3．验证猜想
（学生经过独立思考、小组交流后各组选代表上台验证本组的猜想）
4．师生达成共识
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
∵四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.
∵AB＝BC＝CD＝AD ，
∴四边形ABCD是菱形.
设计意图：通过分组讨论，来判定什么样的四边形是菱形，加深对判定的认识，培养学生合作的意识.
【典型例题】
例1 已知： ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在 ABCD中，OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴ AB＝BC，
∴ 四边形ABCD是菱形．
（判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
设计意图：本题巩固菱形的判定方法，用到的是对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例2 已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形.
（判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形）
设计意图：通过练习，巩固加深学生对菱形的判定的理解.
【随堂练习】
1．已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AE∥FC.∴ ∠1＝∠2．
∵ EF平分AC，∴ AO＝OC．
又 ∠AOE＝∠COF＝90°，
∴ △AOE≌△COF（ ASA），∴ EO＝FO，
∴ 四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC，∴ 四边形AFCE是菱形.
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AO＝3，BO＝4，AB＝5.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AO＝3，BO＝4，AB＝5，
∴AB2＝AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形.
∴AC⊥BD.
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
3．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.
证明：∵ DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形且∠EDA＝∠DAF.
∵ AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠EAD＝∠DAF.
∴∠EDA＝∠EAD，∴EA＝ED.
∴四边形AEDF是菱形.
设计意图：通过练习，使学生掌握菱形的判定方法，提升学生的探究能力.
【课堂小结】
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.
设计意图：通过小结，回顾本节课知识，加深印象.
【板书设计】
第4课时 菱形的判定
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.
(共18张PPT)
第18章 特殊平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第4课时 菱形的判定
1．掌握菱形的两个判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
学习目标
复习回顾
菱形的定义 菱形的性质
边 角 对角线 对称性
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的四条边都相等
菱形的对角相等，邻角互补
菱形的对角线互相垂直平分，并且平分对角
菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形
复习回顾
新知讲解
菱形判定方法有哪些？
自己先猜想一下，并想方法进行验证.
小组成员互相交流，归纳出本组成员的成果.
给出猜想：
①对角线互相垂直的四边形是菱形，
或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
②四条边相等的四边形是菱形.
新知讲解
判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
符号语言：
新知讲解
判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=AD ，
∴四边形ABCD是菱形.
符号语言：
新知讲解
此处图片是《菱形的判定》，请下载使用此资源.
新知讲解
菱形的判定定理
典型例题
判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例1：已知： ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：在 ABCD中，OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴ AB＝BC，
∴ 四边形ABCD是菱形．
A
B
C
D
O
典型例题
判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形
已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形
证明：∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
随堂练习
1 .已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ △AOE≌△COF（ ASA），∴ EO＝FO，
随堂练习
∴ AE∥FC.∴ ∠1＝∠2．
∵ EF平分AC，∴ AO＝OC．
又 ∠AOE＝∠COF＝90°，
∴ 四边形AFCE是平行四边形
又∵EF⊥AC，∴ 四边形AFCE是菱形.
2 .如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5.求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
随堂练习
证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5，
∴ AB2=AO2+BO2.
∴ △OAB是直角三角形.
∴ AC⊥BD.
又四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
随堂练习
3 .如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.
随堂练习
证明：∵ DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是菱形.
随堂练习
∴四边形AEDF是平行四边形且∠EDA=∠DAF.
∵ AD是△ABC的一条角平分线，
∴∠EAD=∠DAF.
∴∠EDA=∠EAD，∴EA=ED.
菱形的判定：
菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形.
课堂小结
再见
