第18章 特殊平行四边形
18.2 特殊平行四边形
第5课时 正方形
一、教学目标
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，进一步体会特殊与一般的关系．
二、教学重点及难点
重点：正方形的概念及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
三、教学用具
多媒体课件，A4纸．
四、相关资源
五、教学过程
【课堂导入】
做一做：用一张长方形的A4纸片（如图所示）折出一个正方形．
设计意图：学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
【新知讲解】
问题1：什么样的四边形是正方形？
正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
[指出]正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意思：
（1）有一组邻边相等的平行四边形（矩形）；
（2）有一个角是直角的平行四边形（菱形）．
问题2：正方形有什么性质？
正方形的性质：
（1）它具有平行四边形的一切性质：
两组对边分别平行且相等，
两组对角相等，
对角线互相平分.
（2） 具有矩形的一切性质：
四个角都是直角，对角线相等.
（3）具有菱形的一切性质：
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角．
问题3：如何判定一个四边形是正方形呢？
（学生经过独立思考、小组交流后各组选代表回答问题）
问题4：平行四边形和矩形、菱形、正方形之间的关系是什么？
设计意图：通过问题的方式，培养学生独立思考的能力，加深对正方形的认识．
【典型例题】
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD， AC⊥BD，
AO＝CO＝BO＝DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
设计意图：本题利用正方形的性质来证明三角形全等的等腰直角三角形，巩固了正方形的性质．
例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明：连接PC.
∵PM⊥BC ， PN⊥DC，四边形ABCD是正方形，
∴∠NCM=90°.
∴四边形PMCN是矩形.∴PC=MN.
又四边形BAPC关于BD成轴对称，
∴AP＝PC，
∴AP＝MN.
设计意图：通过练习，巩固加深学生对正方形性质的理解.
【随堂练习】
1．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD， ∠BCD= ∠DCE=90°.
∴ ∠ACB=45°.
∵CE=AC， ∠CAE+ ∠E= ∠ACB，
∴ ∠E=22.5°，
∴ ∠AFC= ∠DCE+ ∠E=90°+22.5°=112.5°.
2．直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC.求证：四边形CEDF是正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
又∠ACB=90°，
∴ 四边形CEDF为矩形.
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC， DF⊥BC，
∴DE=DF.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
3．四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：连接AC.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B=90°，AB=BC.
∵ EC=50m，EB=30m，
∴ S正方形ABCD=40 2=1600(m2)，
设计意图：通过练习，掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们解决实际问题．
【课堂小结】
一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
1．正方形的四条边都相等.
2．正方形的四个角都相等.
3．正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角.
设计意图：通过小结，回顾本节课知识，加深印象.
【板书设计】
第5课时 正方形
正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形的性质：
（1）它具有平行四边形的一切性质：
两组对边分别平行且相等，
两组对角相等，
对角线互相平分.
（2）具有矩形的一切性质：
四个角都是直角，对角线相等.
（3）具有菱形的一切性质：
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
(共16张PPT)
第18章 平行四边形
第5课时 正方形
18.2 特殊的平行四边形
学习目标
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，进一步体会特殊与一般的关系．
课堂导入
做一做：
用一张长方形的A4纸片（如图所示）折出一个正方形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
新知讲解
正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形
邻边相等的矩形
想一想：正方形是怎样的矩形？
一个角是直角的菱形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形
新知讲解
(1)它具有平行四边形的一切性质：
两组对边分别平行且相等，
两组对角相等，
对角线互相平分.
(2) 具有矩形的一切性质：
四个角都是直角，对角线相等.
(3)具有菱形的一切性质：
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.
O
A
B
C
D
正方形的性质：
新知讲解
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
1、
正方形
菱形
2、
一内角是直角
问题3：如何判定一个四边形是正方形呢？
菱形法
矩形
3、
一组邻边相等
正方形
矩形法
定义法
新知讲解
新知讲解
问题4：平行四边形和矩形、菱形、正方形之间的关系是什么？
四边形
平行四边形集合
菱形
矩形
正方形
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
O
A
B
C
D
已知，如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相较于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
典型例题
典型例题
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
O
A
B
C
D
例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明:
A
B
C
D
P
M
N
连接PC.
∵PM⊥BC ， PN⊥DC，四边形ABCD是正方形，
∴∠NCM=90°.
∴四边形PMCN是矩形.
∴PC=MN.
又四边形BAPC关于BD成轴对称，
∴AP=PC，
∴AP=MN.
典型例题
1、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD， ∠BCD= ∠DCE=90°.
∴ ∠ACB=45°.
∵CE=AC， ∠CAE+ ∠E= ∠ACB，
∴ ∠E=22.5°，
∴ ∠AFC= ∠DCE+ ∠E=90°+22.5°=112.5°.
A
B
D
C
E
F
随堂练习
2、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC.求证：四边形CEDF是正方形.
A
B
C
D
E
F
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
∴DE=DF.
∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC， DF⊥BC，
∴ 四边形CEDF为矩形.
又∠ACB=90°，
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
证明：
∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
随堂练习
3、四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
D
解：连接AC.∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B=90°，AB=BC.
∵ EC=50m，EB=30m，
∴ S正方形ABCD=40 2=1600(m2)，
B
C
E
随堂练习
1. 正方形的四条边都相等.
2. 正方形的四个角都相等.
3. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，
且每一条对角线平分一组对角.
O
A
B
C
D
一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
课堂小结
再见
