高中物理人教版必修二导学案 5-1　曲线运动 Word版含答案

第五章　曲线运动
1　曲线运动
知识体系
关键点击
1个条件——物体做曲线运动的条件
2个问题——小船过河问题、关联速度问题
知识点一　曲线运动的位移
(1)描述曲线运动时要用到位移和速度两个物理量．
(2)曲线运动的位移矢量的方向不断变化，需要采用平面直角坐标系，用位移在坐标轴方向的分矢量来代表它．
知识点二　曲线运动的速度
(1)质点做曲线运动时，速度方向是时刻改变的．
(2)质点在某一点的速度方向是沿曲线上这一点的切线方向．
(3)曲线运动是变速运动
①速度是矢量，它既有大小，又有方向．不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度发生了变化，也就具有了加速度．
②在曲线运动中，速度的方向是不断变化的，所以曲线运动是变速运动．
知识点三　运动描述的实例
(1)蜡块的位置
蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右移动的速度设为vx.从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在t时刻，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝vxt，y＝vyt.
(2)蜡块的速度大小
速度的大小v＝，速度的方向满足tanθ＝.
(3)蜡块的运动轨迹：y＝·x是一条过原点的直线．
知识点四　物体做曲线运动的条件
(1)当物体所受合力方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
(2)物体加速度的方向与它受力的方向总是一致的，当物体所受合力方向跟它的速度方向在同一直线上时，物体做直线运动．
1．做曲线运动的物体，速度可能不变．(　　)
[答案]　×
2．曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动．(　　)
[答案]　√
3．物体的速度不断改变，它一定做曲线运动．(　　)
[答案]　×
4．做曲线运动物体的位移大小可能与路程相等．(　　)
[答案]　×
5．做曲线运动物体的合力一定是恒力．(　　)
[答案]　×
6．做曲线运动的物体一定有加速度．(　　)
[答案]　√
1.如图所示，小球沿光滑弯曲管道由入口进入，并经过B、A两点后离开管道．
(1)小球做什么运动？它的运动轨迹与管道有何关系？
(2)小球经B点时的速度方向向哪？离开管口A点后向哪个方向运动？
[提示]　(1)运动轨迹为一条曲线的运动是曲线运动，小球沿管道运动，管道是弯曲的，所以小球是曲线运动．
(2)小球运动经过各点时，各点的切线方向即小球在该点的速度方向．
2．如图所示，桌面上运动的小铁球在磁铁的引力作用下做曲
线运动；人造卫星绕地球运行，在地球引力作用下做曲线运动．
(1)小球、人造卫星所受合外力的方向有什么特点？
(2)小球、人造卫星的加速度的方向有什么特点？
[提示]　这两种情况均是吸引力为其合外力的情况，即小球和人造卫星在其曲线运动的过程中，作为合外力的吸引力总是与速度成一定夹角，而不在一条直线上；而由牛顿第二定律易知其运动的加速度方向也就一定与速度方向不在同一条直线上．
要点一 曲线运动的位移和速度
1．曲线运动的位置和位移描述
无法用直线坐标系描述曲线运动的位置和位移，而是采用平面直角坐标系．一般先确定x轴、y轴上的坐标变化，再利用矢量合成的方法求出总的位移．
2．曲线运动的速度
曲线运动的速度方向与该时刻运动轨迹的切线方向相同，速度的方向时刻在发生变化．
3．曲线运动性质的两种判断方法
(1)看物体所受的合外力，若物体所受的合外力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体所受的合外力为变力，则它做非匀变速曲线运动．
(2)看物体的加速度，若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动．
【典例】　如图所示，物体沿曲线由a点运动至b点，关于物体在ab段的运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体的速度可能不变
B．物体的速度不可能均匀变化
C．a点的速度方向由a指向b
D．ab段的位移大小一定小于路程
[思路点拨]　(1)物体在a点的速度方向是沿曲线上这一点的切线方向．
(2)曲线运动位移的大小小于路程．
[解析]　做曲线运动的物体的速度方向时刻改变，即使速度大小不变，速度方向也在不断发生变化，故A项错误；做曲线运动的物体必定受到力的作用，当物体所受到的合力为恒力时，物体的加速度恒定，速度均匀变化，B项错误；a点的速度方向沿a点的切线方向，C项错误；做曲线运动的物体的位移大小必小于路程，D项正确．
[答案]　D
质点做曲线运动时，速度方向一定变化，速度大小可能变化也可能不变.即使速度大小变化，也不一定均匀变化.
[针对训练]　2018年国际田联钻石联赛上海站女子铅球决赛中，中国选手巩立姣以19米99的成绩获得冠军．如右图所示的曲线为运动员抛出的铅球运动轨迹(铅球可视为质点)．A、B、C为曲线上依次经过的三点，ED为曲线上B点的切线，关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的是(　　)
A．沿AB方向 B．沿BC方向
C．沿BD方向 D．沿BE方向
[解析]　铅球做曲线运动，轨迹由A到C，B点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，即BD方向，故C正确，A、B、D错误．
[答案]　C
易错警示(物理学中的切线与数学中的切线不同，要考虑到速度的矢量性，故本题不能误选D.
要点二 物体做曲线运动的条件
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含三个层次的内容．
①初速度不为零；
②合力不为零；
③合力与速度方向不共线．
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线．
2．两个重要推论
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，物体做曲线运动，速率越来越大；合外力方向与速度方向夹角为直角时，物体做曲线运动，速率不变；合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做曲线运动，速率越来越小．
(2)物体的运动轨迹与合外力有关，物体运动时其轨迹总偏向合外力所指的一侧，或者说合外力总指向运动轨迹的凹侧．
【典例】　一个物体在F1、F2、F3等几个力的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去力F1，则物体(　　)
A．可能做曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．必然沿F1的方向做直线运动
D．必然沿F1的反方向做匀加速直线运动
[思路点拨]　解答本题时应把握以下三点：
(1)明确撤去F1后物体的受力情况．
(2)知道物体做直线运动和曲线运动的条件．
(3)物体所受的合力恒定，则物体的加速度恒定．
[解析]　物体做匀速直线运动的速度方向与F1的方向关系不明确，可能相同、相反或不在同一条直线上．因此，撤去F1后物体所受合力的方向与速度的方向关系不确定，物体的运动情况也不能确定，所以只有A项正确．
[答案]　A
当合力方向与速度方向共线时，物体做直线运动；当合力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动，受恒力作用时物体可能做匀变速曲线运动.
[针对训练]　质点沿如图所示的轨迹从A点运动到B点，已知其速度逐渐减小，图中能正确表示质点在C点处受力的是(　　)
[解析]　根据曲线运动中合力F应指向轨迹的“凹侧”，可排除A、D项．在B项中，F的方向与v的方向成锐角，质点从A到B加速，故B错．在C项中，F的方向与v的方向成钝角，质点从A到B减速，故C正确．
[答案]　C
易错警示
力和运动轨迹关系的两点提醒
1．物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切．
2．物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同．
要点三 运动的合成与分解
1．概念
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解．
2．运动的合成与分解的运算法则
合成与分解的内容是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量，遵循的都是平行四边形定则．
3．合运动与分运动的关系
等效性
各分运动的共同效果与合运动的效果相同
等时性
各分运动与合运动同时发生，
同时结束，经历的时间相同
独立性
各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
同体性
各分运动与合运动是同一物体的运动
【典例】　质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图象如图所示．求：
(1)物体受到的合力和初速度；
(2)t＝8 s时物体的速度；
(3)t＝4 s时物体的位移；
(4)物体的运动轨迹方程．
[思路点拨]　已知分运动求合运动，要注意各分运动的等时性和矢量(速度、位移、加速度等)合成的平行四边形定则的应用．
[解析]　(1)物体在x轴方向有ax＝0，在y轴方向有ay＝ m/s2
由牛顿第二定律得F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向
由图知v0x＝3 m/s，v0y＝0，所以物体的初速度
v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向．
(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，
所以v＝＝5 m/s
设速度与x轴的夹角为θ，则tanθ＝＝.
(3)当t＝4 s时，x＝v0xt＝12 m，y＝ayt2＝4 m，
物体的位移l＝＝4 m
设位移与x轴的夹角为α，则tanα＝＝.
(4)由x＝v0xt＝3t，y＝ayt2＝t2，联立得y＝.
[答案]　(1)1 N　3 m/s，沿x轴正方向
(2)5 m/s，方向tanθ＝(θ为速度与x轴的夹角)
(3)4 m，方向tanα＝(α为位移与x轴的夹角)
(4)y＝
合运动性质的判断
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速直线运动
①当两分速度v1、v2等大反向时，合速度v＝0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀变速直线运动
①v合与a共线时，物体做匀变速直线运动
②v合与a不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变速直线运动
①v合、a合共线时，物体做匀变速直线运动(含v合＝0)
②v合、a合不共线时，物体做匀变速曲线运动
[针对训练]　两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，关于它们的合运动的轨迹，下列说法正确的是(　　)
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果＝，那么轨迹一定是直线
[解析]　本题考查两直线运动的合运动性质的确定，解题关键是明确物体做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与合速度的方向不在同一条直线上．如果＝，那么合加速度的方向与合速度的方向一定在同一条直线上，所以D正确．
[答案]　D
易错警示
1．我们所说的合运动是指物体的实际运动．
2．运动的合成与分解的规律：
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减；
(2)两分运动不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解．
1．(曲线运动的位移)关于曲线运动的位移，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动的位移是曲线
B．位移是描述直线运动的，路程是描述曲线运动的
C．物体做曲线运动，位移的大小与路程有可能相等
D．做曲线运动的质点在一段时间内水平分位移是4 m，竖直分位移是3 m，则其位移大小为5 m
[解析]　曲线运动的位移是指从运动物体的出发点到终点的有向线段，不是曲线，A错误；位移和路程既可以描述直线运动，也可以描述曲线运动，B错误；物体做曲线运动，位移的大小一定小于路程，C错误；如果做曲线运动的质点在一段时间内水平分位移x＝4 m，竖直分位移y＝3 m，则其位移大小为l＝＝5 m，D正确．
[答案]　D
2．(曲线运动的速度)如图所示，篮球沿优美的弧线穿过篮筐，图中能正确表示篮球在相应点速度方向的是(　　)
A．v1 　　　B．v2
C．v3 　　　D．v4
[解析]　速度方向沿该点的切线方向．
[答案]　C
3．(多选)(曲线运动的条件)关于物体做曲线运动的条件，下列说法正确的是(　　)
A．物体受变力作用才可能做曲线运动
B．物体受恒力作用也可能做曲线运动
C．物体所受合力为零时不可能做曲线运动
D．物体只要受到合力作用就一定做曲线运动
[解析]　物体做曲线运动的条件是合力不为零且与速度不共线，与合力是变力还是恒力无关，选项A错误，B正确；若物体所受合力为零，则物体静止或做匀速直线运动，选项C正确；物体做匀变速直线运动时，也受到合力作用，选项D错误．
[答案]　BC
4．(合运动的轨迹判断)如右图所示，内壁光滑的牛顿管抽成真空，现让牛顿管竖直倒立，同时水平向右匀速移动，则管中羽毛的运动轨迹可能是(　　)
[解析]　羽毛在水平方向做匀速运动，在竖直方向受重力的作用，根据合力方向应该指向曲线凹的一侧可知，羽毛的运动轨迹可能是C.
[答案]　C
知识拓展之——运动的合成与分解的两类典型问题
一、小船渡河问题
1．小船渡河问题可以基于以下几点进行理解和分析
(1)将船实际的运动看成船随水流的运动和船在静水中的运动的合运动．
(2)如图所示，v水表示水流速度，v静水表示船在静水中的速度，将船的速度v静水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，v∥＝v静水cosθ，则v水－v静水cosθ为船实际上沿水流方向的运动速度，v⊥＝v静水sinθ为船在垂直于河岸方向的运动速度．两个方向的运动情况相互独立、互不影响．
2．两类渡河问题
(1)渡河时间最短问题
渡河时间仅由v静水垂直于河岸的分量v⊥决定，即t＝(d为河宽)，与v水无关．要使渡河时间最短，应使船在垂直河岸方向的速度最大，如图所示，当sinθ＝1，即v静水垂直于河岸时，渡河所用时间最短，最短时间为t＝，与v水无关．
(2)渡河位移最小问题
渡河位移由实际运动轨迹的方向决定，要使渡河位移最小，应使合位移(或合速度)方向尽可能与河岸垂直．
①当v水②当v水>v静水时，不论船的航向如何，总是会被水冲向下游，此时合速度v与河岸方向的夹角α越大，船渡河的位移越小．那么，在什么条件下α角最大呢？如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v静水的大小为半径画圆，当合速度与圆相切时，α角最大．这时船头指向与河岸的夹角θ满足cosθ＝，最小位移s＝d，渡河时间t＝＝ .
【典例1】　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析]　(1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为v，垂直河岸的分速度为v2＝5 m/s.
t＝＝＝ s＝36 s
v＝＝ m/s
x＝vt＝90 m.
(2)若v2＝5 m/s，v2>v1，则若欲使船渡河航程最短，则应垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸方向成某一夹角α，如图乙所示．
由v2cosα＝v1，得α＝60°
所以当船头指向上游且与河岸成60°角时航程最短．
x＝d＝180 m
t＝＝＝ s＝24 s.
(3)若v2＝1.5 m/s，v2sinα＝＝，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向．
t＝＝ s＝150 s
v＝v1cosα＝2 m/s
x＝vt＝300 m.
[答案]　(1)船头垂直于河岸　36 s　90 m　(2)船头指向上游且与河岸成60°角　24 s　180 m　(3)船头与上游河岸成53°角　150 s　300 m
(1(不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关.
(2(当v水(3(当v水>v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝d.
注意：小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短.
[针对训练1]　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s.
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°＝0.6)
[解析]　(1)小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间
t＝＝ s＝40 s，
小船沿河流方向的位移
x＝v水t＝3×40 m＝120 m，
即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸．
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合速度v合应垂直于河岸，如图所示，则
v合＝＝4 m/s，
经历时间t＝＝ s＝50 s.
又cosθ＝＝＝0.6，
即船头指向河岸的上游，与岸所成角度为53°.
[答案]　(1)小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸
(2)船头指向河岸的上游，与岸成角度为53°行驶，50 s到达对岸
二、“关联”速度问题
1．模型分析
在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度．解决“关联”速度问题的关键有两点：一是物体的实际速度是合速度；二是不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，则各点在沿杆(或绳)方向的分速度大小相等．
2．常见模型
【典例2】　用跨过定滑轮的绳子把湖中小船向右拉的过程中，如图所示，若保持人拉绳子的速度v不变，则小船的速度(　　)
A．不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
[解析]　小船的运动为实际运动，故把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分运动，如图所示，小船运动过程中保持人拉绳子速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向夹角θ逐渐增大．v船＝，由于θ不断增大，则cosθ不断减小，故v船逐渐增大，选项A、C、D错误，B正确．
[答案]　B
(1(运动的分解应按实际的运动效果进行.
(2(在分析用绳(或杆(相连的两物体的速度关系时，均是将物体的速度沿绳(或杆(方向和垂直于绳(或杆(方向进行分解.
(3(物体在沿绳(或杆(方向的分速度大小相等.
[针对训练2]　如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1A．v2sinθ B.
C．v2cosθ D.
[解析]　物体N的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动，M的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于M的速度v1，而N的实际运动应是合运动(沿杆向下)，合速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度(即两个实际运动效果)．因此v1跟v2的关系如右图所示，由图可看出M的速度大小v1＝v2cosθ，所以选项C正确．
[答案]　C