课件35张PPT。第二章相交线与平行线2.2 探索直线平行的条件
第2课时学习目标1.理解并掌握内错角和同旁内角的概念,能够识别内错角和同旁内角；
2.能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行.
问题情形小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示）．小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行.
你知道他是怎样做的吗？
画板上下边缘是否平行
能利用同位角来判断吗？
如果不能，是否可以利用其他角来判断？探究新知本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了同位角、内错角、同旁内角的概念，并通过讲解实例巩固所学的知识点，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】同位角、内错角、同旁内角.31246587AEBDC探究新知内错角、同旁内角问题1：观察图中的∠3和∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？你能给它们起个名字吗？图中还有其他的同类角吗？并说出它们相对于截线和被截线的位置．31246587AEBDC探究新知问题2：观察图中的∠4和∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？你能给它们起个名字吗？图中还有其他的同类角吗？并说出它们相对于截线和被截线的位置．∠3和∠5这两个角，①都在被截线AB，CD之间；②分别在截线EF的两侧，称之为内错角．图中的∠4和∠6也是内错角；
∠4和∠5这两个角，①都在被截线AB，CD之间；②都在截线EF的同旁，称之为同旁内角．图中的∠3和∠6也是同旁内角．
总结：在形如字母“Z”的图形中有内错角；在形如字母“U”的图形中有同旁内角.探究新知变式图形如下：图中的∠1与∠2都是内错角．
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角．（4）（3）（2）（1）21212121问题情形这两个角都在直线AB、CD之间，且∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对
角叫做内错角．同样，∠4与∠6也具有类似位置特征，∠4与∠6也是内错角． FEDCBA87654321问题情形2．在下图中，∠3和∠6也在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁，像这样的一对角，我们称它为同旁内角．具有类似的位置特征的还有∠4与∠5，因此它们也是同旁内角．练一练：下图中的∠1与∠2哪些是内错角？哪些是同旁内角？（4）（3）（2）（1）21212121（8）（7）（6）（5）21212121第（1）（2）（3）（4）图中的∠1与∠2都是内错角；
第（5）（6）（7）（8）图中的∠1与∠2都是同旁内角．探究新知探究新知问题3：同位角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？
问题4：这三类角的共同特征是什么？探究新知本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行和同旁内角互补，两直线平行”，并通过例题巩固所学的知识点,有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】平行线的判定（二）.探究新知平行线的判定方法1．如图，直线AB，CD被EF所截，我们知道∠1和∠7是一对内错角，如果∠1＝∠7，直线AB与CD平行吗?猜想AB∥CD．理由如下：∵∠1＝∠7（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠3＝∠7（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．12345678ABCDEF内错角相等，两直线平行.探究新知2．如图，我们知道∠4和∠7是一对同旁内角，如果?4＋?7＝180，能判定AB∥CD吗？猜想AB∥CD．理由如下：∵∠4＋∠7＝180°，
∠4＋∠1＝180°（已知），
∴∠1＝∠7（同角的补角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．12345678ABCDEF同旁内角互补，两直线平行．探究新知例1．如图，直线DE，BC被直线AB所截．（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？∠1和∠2是内错角，
∠1和∠3是同旁内角，
∠1和∠4是同位角．EDCBA4321典型例题如果∠1＝∠4，由对顶角相等，得∠2＝∠4，那么∠1＝∠2；
因为∠4和∠3互补，即∠4＋∠3＝180°，
又因为∠1＝∠4，所以∠1＋∠3＝180°，
即∠1和∠3互补．EDCBA4321（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？典型例题例2．如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？AEFBDC典型例题解：CE∥DF．理由如下：
∵∠ACE＝∠BDF，
∠ACE＋∠ECB＝180°，
∠BDF＋∠FDA＝180°，
∴∠ECB＝∠FDA
（等角的补角相等），
∴CE∥DF
（内错角相等，两直线平行）．AEFBDC典型例题例3．如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，
DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，
试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．EABCD典型例题解：AD∥BC．理由：
∵∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，
∠DEC＝90°，
∴∠EDC＋∠ECD＝90°．
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠ADC＋∠BCD
＝2（∠EDC＋∠ECD）＝180°，
∴AD∥BC．EABCD典型例题1．（1）下列说法错误的是（ ）．
A．同位角不一定相等 B．内错角都相等
C．同旁内角可能相等 D．同位角相等，两直线平行B（2）如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）．
A．∠BAD＝∠BCD B．∠1＝∠2
C．∠3＝∠4 D．∠BAC＝∠ACD随堂练习D（3）如图，有四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中能判定AB∥CD的条件有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个BCEDA13245随堂练习C(4)根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；
③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD．
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．故选C．BCEDA13245随堂练习（5）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（ ）
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°随堂练习D 汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明这前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二次应左拐，两次拐的方向是相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不变．故选D．DCBEA随堂练习同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8，∠6与∠3，∠4与∠A，∠8与∠A；
内错角：∠4与∠5，∠3与∠8，∠6与∠A，∠2与∠A；
同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠8，∠5与∠A，∠3与∠A．2．如图，直线DE截AB，AC，指出所有的同位角、内错角、同旁内角．ABC12348567DE随堂练习随堂练习3．下图中，∠1与∠2，∠3与∠4各是哪一条直线截哪两条直线而成的？它们各是什么角？
随堂练习解：图（1）∠1与∠2是直线DE，BC被直线AB所截得的同位角；∠3与∠4是直线AB，AC被直线DE所截得的同旁内角．
图（2）∠1与∠2是直线DE，AC被直线BD所截得的内错角；∠3与∠4是直线AE，BD被直线AC所截得的同旁内角．
图（3）∠1与∠2是直线AB，DC被直线AC所截得的同位角；∠3与∠4是直线AD，BC被直线AC所截得的同旁内角．
?
随堂练习4.已知直线a，b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°，试判断直线a，b的位置关系，并说明理由．
解：a∥b．
理由是：∵∠1＋∠2＝180°，
又∵∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠2＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
随堂练习5.如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，试证明DC∥AB．
证明：∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠1＝∠3（角平分线的定义）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．
1．内错角和同旁内角的概念．
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．课堂小结再 见谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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第二章相交线与平行线
2.2探索两直线平行的条件
第2课时
教学目标
知识技能
会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角．
数学思考
经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题．
解决问题
经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力．
情感态度
使学生在参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系．
教学重点
会识别内错角、同旁内角；能用内错角相等、同旁内角互补判别两直线平行．
教学难点:
在稍为复杂的图形中识别内错角和同旁内角．
教学过程设计：
情境导入
在实际生活中，还存在着两条直线被第3条直线所截的情况，如风筝空中飞舞的美丽画面，你知道风筝骨架的构成吗？
我们知道两条直线被第3条直线所截形成8个角，这8个角中有多种关系，如∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8，∠1和∠3是对顶角，通过上一节课的学习知道：∠2与∠6，∠3与∠7，∠1与∠5，∠4与∠8分别是对顶角，除了对顶角和同位角，还有没有其它新关系的角呢？如∠3与∠6，∠3与∠5等，这节课我们就继续来研究这些角．
设计意图：通过对对顶角，同位角的复习，借助三线八角．使学生认识到探究新的角间关系的必要性．
探究新知
本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了同位角、内错角、同旁内角的概念，并通过讲解实例巩固所学的知识点，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】同位角、内错角、同旁内角.
（一）探索内错角、同旁内角
1．看下图中∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，且∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧，像这样的一对角叫做内错角．同样，∠4与∠6也具有类似位置特征，∠4与∠6也是内错角．
变式图形如下：图中的∠1与∠2都是内错角．
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角．
2．在下图中，∠3和∠6也在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁，像这样的一对角，我们称它为同旁内角．具有类似的位置特征的还有∠4与∠5，因此它们也是同旁内角．
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角．
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角．
设计意图：在认识了同位角的概念后，自主探索同旁内角、内错角是一种发展的眼光认识事物的过程，探索的意义在于描述和理解位置关系，并把同种位置关系的角归为一类．
本图片是微课的首页截图，本微课资源讲解了平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行和同旁内角互补，两直线平行”，并通过例题巩固所学的知识点,有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】平行线的判定（二）.
（二）探究平行线的判定方法
1．如图，直线AB，CD被EF所截，我们知道∠1和∠7是一对内错角，如果∠1＝∠7，直线AB与CD平行吗?
直观上看AB∥CD．
理由如下：∵∠1＝∠7（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠3＝∠7（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
2．如图，我们知道∠4和∠7是一对同旁内角，如果(4＋(7＝180能判定AB∥CD吗？
直观上看AB∥CD．
理由如下：∵∠4＋∠7＝180°，∠4＋∠1＝180°（已知），
∴∠1＝∠7（同角的补角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
设计意图：让学生经历从图形到文字到符号的转换过程，使学生加深对数学语言的理解．发展推理能力，引导学生及时反思，养成更正、归纳的学习习惯．
三、典例精讲
例1．如图，直线DE，BC被直线AB所截．
（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
答：（1）∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角．
（2）如果∠1＝∠4，由对顶角相等，得∠2＝∠4，那么∠1＝∠2；
因为∠4和∠3互补，即∠4＋∠3＝180°，
又因为∠1＝∠4，所以∠1＋∠3＝180°，
即∠1和∠3互补．
设计意图：一方面让学生复习同位角、内错角、同旁内角的概念，另一方面也要求学生进行说理，为后面学习平行线做好铺垫．
例2．如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？
分析：要判定CE∥DF，需满足∠ECB＝∠FDA，利用“内错角相等，两直线平行”即可判定．
解：CE∥DF．理由如下：因为∠ACE＝∠BDF，又因为∠ACE＋∠ECB＝180°，∠BDF＋∠FDA＝180°，所以∠ECB＝∠FDA(等角的补角相等)，所以CE∥DF(内错角相等，两直线平行)．
设计意图：综合运用补角的性质及等量代换，将已知条件转换为内错角相等来判定两条直线平行，充分运用转化思想．
例3．如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
分析：先根据三角形内角和定理得出∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°．再由∠DEC＝90°得出∠EDC＋∠ECD＝90°．由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，可知∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，由此可得出结论．
解：AD∥BC．理由如下：∵∠EDC＋∠ECD＋∠DEC＝180°，∠DEC＝90°，∴∠EDC＋∠ECD＝90°．∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴∠ADC＋∠BCD＝2(∠EDC＋∠ECD)＝180°，∴AD∥BC．
设计意图：本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
四、课堂练习
1．下列说法错误的是( )．
A．同位角不一定相等 B．内错角都相等
C．同旁内角可能相等 D．同位角相等，两直线平行
2．如图所示，如果∠D＝∠EFC，那么（ ）．
A．AD∥BC B．EF∥BC
C．AB∥DC D．AD∥EF
3．在同一平面内，若直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，则b与c的位置关系是______．
4．如图，直线DE截AB，AC，指出所有的同位角、内错角、同旁内角．
答案：1．B；2．D；3．b∥c．
4．两条直线是AB，AC，截线是DE，
同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8，∠6与∠3，∠4与∠A，∠8与∠A；
内错角：∠4与∠5，∠3与∠8，∠6与∠A，∠2与∠A；
同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠8，∠5与∠A，∠3与∠A．
五、拓展提升：
例3．如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线平行吗？为什么？
解：平行
∵∠1+∠3=90°，∠2+（90°-∠3）
＝180°
∴∠3=90°-∠1，
∠2+90°-90°+∠1=180°
∴∠2+∠1=180°
∴l1∥l2
设计意图：巩固平行线的判定方法，培养学生的推理论证能力．
六．拓展练习
1．如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝5．其中能判定AB∥CD的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为( )
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°
答案：①根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
①∵∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD；②∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；④∵∠B＝∠5，∴AB∥CD．∴能得到AB∥CD的条件是①③④．故选C．
②汽车两次拐弯后，行驶的路线与原路线一定不在同一直线上，但方向相同，说明这前后路线应该是平行的．如图，如果第一次向右拐，那么第二次应左拐，两次拐的方向是相反且角度相等的，两次拐的角度是同位角，所以前后路线平行且行驶方向不变．故选D．
七、课堂小结
1．内错角和同旁内角的概念
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
八、布置作业
1．如图，（1）∠BAD与∠CDA是直线__________和__________被__________所截，构成的同旁内角．
（2）∠1和∠2是直线__________和__________被__________所截，构成的内错角．
（3）∠3和∠4是直线__________和__________被__________所截，构成的内错角．
（4）∠DCE与∠ABC是直线__________和__________被________所截，构成的同位角．
2．如图，
（1）∠AED和∠ACB是__________、__________被________所截得的__________角．
（2）∠DEB和__________是直线DE，BC被__________所截得的内错角．
（3）∠__________和∠__________是直线DE，BC被直线AC所截得的同旁内角．
（4）∠__________和∠__________是直线AB，AC被直线BE所截得的内错角．
3．如图，直线AB，AC被直线BC所截，则∠1与∠2是__________角，∠1与∠4是__________角，∠3与∠4是__________角，∠2与∠3是__________角，∠2与∠4是__________角．
4．如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（ ）．
A．∠BAD＝∠BCD B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠BAC＝∠ACD
5．下图中，∠1与∠2，∠3与∠4各是哪一条直线截哪两条直线而成的？它们各是什么角？
6．如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，试证明DC∥AB．
答案：
1．（1）AB；CD；AD．
（2）AD；BC；AC．
（3）AB；CD；AC．
（4）AB；CD；BE．
2．（1）DE；BC；AC；同位．
（2）∠EBC；BE．
（3）DEC；C．
（4）ABE；BEC．
3．同位；对顶；邻补；同旁内；内错．
4．D．
5．图（1）∠1与∠2是直线DE，BC被直线AB所截得的同位角；∠3与∠4是直线AB，AC被直线DE所截得的同旁内角．
图（2）∠1与∠2是直线DE，AC被直线BD所截得的内错角；∠3与∠4是直线AE，BD被直线AC所截得的同旁内角．
图（3）∠1与∠2是直线AB，DC被直线AC所截得的同位角；∠3与∠4是直线AD，BC被直线AC所截得的同旁内角．
6．证明：
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠1＝∠3（角平分线的定义）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．
九、课堂检测
1．如图所示，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）．
A．AB∥EF，CD∥EF B．∠5＝∠A
C．∠ABC＋∠BCD＝180° D．∠2＝∠3
2．下图，由图中的已知条件，判断下列选项中正确的是（ ）．
A．由∠1＝∠6，得AB∥FG
B．由∠1＋∠2＝∠6＋∠7，得CE∥EI
C．由∠1＋∠2＋∠3＋∠5＝180°，得CE∥FI
D．由∠5＝∠4，得AB∥FG
3．如图，若∠2＝∠6，则__________∥__________；如果∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°，那么__________∥__________；如果∠9＝__________，那么AD∥BC；如果∠9＝__________，那么AB∥CD．
4．判断题
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角也相等．（ ）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角互补，那么同旁内角相等．（ ）
5．如图，如果∠3＝∠7，或__________，那么__________，理由是________；
如果∠5＝∠3，或__________，那么_____________________________________；
如果∠2＋∠5＝__________或者__________，那么a∥b，理由是_____________．
6．已知直线a，b被直线c所截，且∠1＋∠2＝180°，试判断直线a，b的位置关系，并说明理由．
答案：
1．D． 2．D． 3．BC； AD； AD； BC； ∠BAD； ∠BCD．
4．（1）√； （2）√．
5．∠1＝∠5或∠2＝∠6或∠4＝∠8； a∥b； 同位角相等，两直线平行； ∠2＝∠8，a∥b； 内错角相等，两直线平行； 180°； ∠3＋∠8＝180°； 同旁内角互补，两直线平行．
6．a∥b．
理由是：因为∠1＋∠2＝180°，
又∠3＝∠1（对顶角相等），
所以∠2＋∠3＝180°，
所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
